 |
МОСКОВСКИЙ ЦЕНТР НЕПРЕРЫВНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ НЕЗАВИСИМЫЙ МОСКОВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ |
 |
На главную страницу
МЦНМО-НМУ
К текущим докладам
English edition of colloquium talks for students" (a predecessor of Globus seminar)
Цель семинара: восстановить единство математики — мы должны (стремиться) понимать, что делают наши коллеги.
Семинар проходит (как правило) раз в две недели по четвергам в 15.40 в конференц-зале.
Приглашаются все интересующиеся математикой.
Любое полу-алгебраическое подмножество в R^n или RP^N можно задать системой квадратных неравенств. Для исследования такого подмножества удобно рассматривать двойственный объект: выпуклую оболочку множества квадратичных форм, задающих неравенства, в пространстве вещественных квадратичных форм. Оказывается, гомотопический тип множества решений системы определяется расположением этой выпуклой оболочки относительно конуса вырожденных форм. Это наблюдение позволяет эффективно находить числа Бетти множеств решений систем с очень большим числом переменных, если число неравенств невелико. Вообще, сложность вычисления чисел Бетти оказывается полиномиальной по числу переменных при фиксированном числе квадратичных неравенств. Вычисления организованы в спектральную последовательность, у которой не только член E_2, но и дифференциал d_2 имеет ясную геометрическую интерпретацию.
В этом докладе мы также обсудим сферические множества с несколькими расстояниями. Комбинация метода Дельсарта, полиномиального метода, и теоремы Лармана-Роджерса-Зайделя позволяет найти точную верхнюю оценку для сферических множеств с двумя расстояниями вплоть до размерности 39. В недавних работах докладчика совместно с А.Баргом и с Х.Нозаки этот подход был применен для множеств с несколькими расстояниями на сфере и конечных пространствах Хэмминга и Джонсона.
В докладе также предполагается обсудить обобщения теоремы Бохнера-Шёнберга для положительно определенных функций от нескольких переменных.
Подсчёт различных характеристик алгебраических объектов (корней алгебраических функций, числа овалов вещественных алгебраических кривых и пр.) всегда возможен "в принципе", иными словами, грубая верхняя оценка сравнительно легко выводится из основной теоремы алгебры и теоремы Безу.
Гораздо более трудными являются аналогичные вопросы про трансцендентные объекты, определённые алгебраическими даннными. Например, число нулей синуса, определённого линейным уравнением второго порядка, бесконечно, а про число овалов (предельных циклов) полиномиального векторного поля на плоскости неизвестно "почти ничего" (16-я Проблема Гильберта).
В докладе будет рассказано про новый класс (многозначных аналитических) специальных функций, для которых задача о подсчёте изолированных корней разрешима в явном виде. К этому классу, среди прочего, относятся периоды рациональных форм по алгебраическим циклам (в частности, абелевы интегралы), ответственные за рождение предельных циклов при возмущении интегрируемых (гамильтоновых) полиномиальных систем на плоскости. Соответствующий недавний результат принадлежит Галю Биньямини, Дмитрию Новикову и докладчику (Invent. Math. 181:2, 2010, 227-289).
Если позволит время, я попробую рассказать о новых задачах, и абсолютно открытых и недавно решённых, на стыке между алгебраической геометрией и дифференциальными уравнениями.
