В последнее время комбинаторика диаграмм Юнга и теория симметрических
многочленов вызывает дополнительный интерес из-за ряда новых приложений в
теории случайных матриц, теории представлений и задачах математической физики.
Основная цель курса — дать комбинаторное введение в этот круг вопросов.
В качестве приложений мы ответим, в частности, на следующие вопросы:
- Почему любая последовательность различных натуральных чисел длины $kl+1$ имеет
либо возрастающую подпоследовательность длины $k+1$, либо убывающую
подпоследовательность длины $l+1$?
- Сколько существует последовательностей фиксированной длины из чисел $1,\ldots,k$,
таких что длина максимальной возрастающей подпоследовательности равна
фиксированному числу $m$?
- Пусть у нас есть площадь (прямоугольник со сторонами $K$ и $L$) и $N$ кубиков.
Сколькими способами мы можем построить на этой площади мавзолей? Симметричный
мавзолей?
Программа курса
- Стандартные и полустандартные таблицы Юнга. Алгоритм Робинсона-Шенстеда.
Биекция между словами и парами таблиц. Длина максимальной возрастающей
подпоследовательности в слове. Теорема Грина (интерпретация длин строк и
столбцов в терминах возрастающих и убывающих подпоследовательностей).
- Алгоритм Робинсона-Шенстеда-Кнута (RSK). Биекция с парами полустандартных
таблиц. Эквивалентность слов по Кнуту. $^\ast$Симметрия. $^\ast$Дуальный RSK.
$^\ast$Диаграммы роста.
- Симметрические многочлены. Мономиальные, элементарные и полные
симметрические многочлены. Многочлены Шура. Числа Костки. Тождество Коши.
Теоремы о связи различных наборов многочленов.
- Вычисление многочлена Шура в единицах и в геометрической прогрессии. Число
стандартных и полустандартных таблиц, формула крюков, число плоских разбиений,
формула Мак-Магона. $^{\ast\ast}$Представления симметрической группы.
$^\ast$ — программа «с превышением»;
$^{\ast\ast}$ — будет разобрано в виде ряда задач.
Для понимания курса не требуется никаких знаний, выходящих за рамки программы
9-го класса.
Основной акцент будет сделан на комбинаторные приложения, в то время как связь
с представлениями симметрической группы будет разобрана в виде ряда задач для
слушателей, знакомых с основами теории представлений конечных групп.
Материалы
