Борис Сергеевич Бычков,
Кирилл Романович Ступаков

Зададимся тремя «почти школьными» вопросами:

1. Сколько существует различных деревьев на n пронумерованных вершинах?
2. Сколькими способами можно разложить цикл длины n в произведение (n-1) транспозиции?
3. Критическое значение — значение в точке, производная в которой обращается в ноль. Сколько существует многочленов степени n (со старшим коэффициентом 1 и следующим за ним, равным 0) с заданными (n-1) критическим значением?

Связь между этими задачами, по-видимому впервые, обнаружил в конце XIX века немецкий математик Адольф Гурвиц. По очереди разбираясь в этих трёх проблемах, мы затронем начала топологии — такие важные понятия, как петли и их гомотопии, разветвлённые накрытия и многое другое. Мы выясним, почему на многочлен от комплексной переменной можно смотреть как на разветвленное накрытие сферы собой, и это позволит перейти от третьего вопроса к первым двум. Если останется время мы обсудим другие важные и интересные объекты, связанные с этими задачами, такие как пространства модулей кривых.

Мы надеемся, что курс будет доступен как студентам, так и школьникам. Полезно знать, что такое комплексные числа, но и это постараемся напомнить.

Материалы

• листок 1