Ростислав Андреевич Девятов

Наборы точек на плоскости устроены сложнее, чем наборы точек на прямой, наборы точек в трёхмерном пространстве (и даже выпуклые многогранники в трёхмерном пространстве) устроены сложнее, чем плоские многоугольники. Можно предположить, что многогранники в многомерных пространствах устроены ещё сложнее. Тем не менее, оказывается, что многограники с количеством вершин, «ненамного большим», чем размерность пространства, устроены «не так сложно».

В нашем курсе мы рассмотрим конструкцию (диаграмму Гейла), которая позволяет изучать комбинаторику наборов из n точек в d-мерном пространстве (и, в частности, выпуклых n-мерных многогранников с d вершинами) с помощью наборов n точек в (n-d-2)-мерном пространстве и некоторых дополнительных данных. Также мы увидим интересные эффекты, которые имеют место для многогранников размерности 4 и выше, но не проявляются в пространствах размерности 3 и меньше.

Для понимания курса достаточно знания базовых понятий линейной алгебры: линейные пространства и отображения, задание линейных отображений матрицами.

Программа курса

1. Элементарное введение в линейную алгебру (или напоминание): ядро и образ линейного отображения, определитель, проверка линейной зависимости набора векторов с помощью определителя.
2. Комбинаторно эквивалентные многогранники. Пример многогранника с «интуитивно неочевидной» комбинаторикой: циклический многогранник.
3. Комбинаторика наборов точек в аффинном пространстве и наборов векторов: зависимости и значения.
4. (Если хватит времени.) Доказательство эквивалентности двух определений комбинаторики набора точек.
5. Построение диаграммы Гейла. Соответствие комбинаторики диаграммы Гейла конфигурации точек (многогранника) и комбинаторики самой конфигурации точек (многогранника).
6. Пример многогранника, у которого нельзя все вершины сделать рациональными, сохраняя комбинаторику.