Гаянэ Юрьевна Панина

Дискретная теория Морса на первый взгляд выглядит как игрушечный вариант гладкой, однако обладает не меньшей научной мощностью: позволяет считать эйлерову характеристику, вычислять гомологические группы, упрощать изучаемое многообразие. Можно управлять градиентным векторным полем так, как этому научил Милнор, однако его знаменитая «First Cancellation Theorem» о взаимном сокращении критических точек превращается в дискретном случае в милую, почти очевидную лемму. Мы научимся пользоваться этим замечательным методом (это просто) и порешаем задачи — от простых до пока не решенных (потребуется креативность).

Программа курса

1. Гладкая теория Морса: самые общие сведения вкратце. Симплициальные комплексы, клеточные комплексы.
2. Дискретная функция Морса по Робину Форману, первые примеры.
3. Морсовы гомологии, неравенства Морса.
4. Более содержательные примеры (целая россыпь комбинаторно-геометрических объектов, которые интересны сами по себе): сферы Бира, «знаменитые» многогранники — пермутоэдр и ассоциэдр, малые накрытия (по Дэвису-Янушкевичу), конфигурационные пространства шарнирных механизмов, и другие, сколько успеем.
5. Игра «угадай подкомплекс» и дискретная теория Морса.

Для понимания (3) потребуется знание линейной алгебры и теории абелевых групп. Прочие знания (в т.ч. знание классической теории Морса) не предполагаются.