Максим Александрович Королёв

Круговой метод в аналитической теории чисел — мощный инструмент, который позволяет находить формулы для числа решений уравнений в целых числах, таких, как уравнение Варинга, тернарное уравнение Гольдбаха и многих других. В рамках курса мы на примере решения задачи о числе представлений натурального N суммою десяти кубов натуральных чисел познакомимся с основами этого метода, узнаем, что такое «большие» и «малые» дуги, научимся записывать число решений диофантова уравнения с помощью тригонометрических сумм и освоим некоторые общие приёмы работы с последними.

Пререквизиты: для понимания курса достаточно уметь более-менее свободно оперировать с комплексными числами и интегрировать несложные выражения (экспоненты, полиномы, степени с дробным показателем).

Программа курса.

1. Постановка классических задач: проблема Варинга, тернарная проблема Гольдбаха, бинарная проблема Эйлера-Гольдбаха и др.
2. Понятие тригонометрической суммы. Запись числа решений уравнения с помощью тригонометрической суммы.
3. Разбиение отрезка на большие и малые дуги.
4. Поведение кубической тригонометрической суммы на больших и малых дугах.
5. Выделение главного члена в формуле для числа представлений N суммою 10 кубов и оценка остатка.