М. А. Королев планирует провести 4 занятия.
Доступны 4 видеозаписи курса.
Доступны записки: часть 1, часть 2, часть 3, часть 4, часть 5.
Пусть $Q\geqslant 1$. Рядом Фарея $\Phi(Q)$ порядка $Q$ называется множество упорядоченных по возрастанию правильных несократимых дробей, знаменатели которых не превосходят $Q$, например: $$\Phi(5)\,=\,\biggl\{\frac{0}{1},\frac{1}{5},\frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{2}{5}, \frac{1}{2}, \frac{3}{5}, \frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\frac{1}{1}\biggr\}$$
Дроби Фарея обладают целым рядом замечательных свойств.
Ряды Фарея, открытые более двух столетий назад, долгое время служили вспомогательным инструментом для решения многих задач аналитической теории чисел. Так, их свойства существенным образом используются в так называемом круговом методе, восходящем к Г.Х.Харди и C.Рамануджану. Оказывается, однако, что ряды Фарея являются источником задач, представляющих и самостоятельный интерес.
Так, ровно сто лет назад обнаружилось, что простенькие с виду утверждения о дробях Фарея равносильны — ни много, ни мало — справедливости знаменитой гипотезы Римана о нулях дзета-функции $\zeta(s)$.
Далее, сравнительно несложно вывести асимптотику для суммы квадратов расстояний между соседними дробями Фарея. А что будет, если рассмотреть расстояния между дробями, взятыми «через один» или, более общо, с шагом $h\geqslant 2$ т.е. суммировать квадраты разностей $r_{n+h}-r_{n}$?
Поиск решения этой задачи привёл в 2001 году трёх авторов — Ф.Бока, К.Кóбели и А.Захареску к открытию нового и красивого метода изучения арифметических и статистических свойств дробей Фарея. Говоря коротко, этот метод позволяет сводить подсчёт дробей заданного ряда Фарея, удовлетворяющих определённым арифметическим условиям, к подсчёту целых точек в некоторых плоских выпуклых областях.
Цель нашего миникурса двоякая: во-первых, рассказать слушателям от том, как именно связаны дроби Фарея и гипотеза Римана и, во-вторых, познакомить их с основами метода Бока, Кóбели и Захареску.
От слушателей предполагается знакомство с основными понятиями элементарной теории чисел и математического анализа (дифференцирование и интегрирование).
Программа курса