на главную страницу ЛШСМ-2024к списку курсов ЛШСМ-2024
фото лектора

Максим Александрович Королев

Арифметика и геометрия дробей Фарея

М. А. Королев планирует провести 4 занятия.

Пусть $Q\geqslant 1$. Рядом Фарея $\Phi(Q)$ порядка $Q$ называется множество упорядоченных по возрастанию правильных несократимых дробей, знаменатели которых не превосходят $Q$, например: \begin{align*} & \Phi(1)\,=\,\biggl\{\frac{0}{1},\frac{1}{1}\biggr\} && \Phi(2)\,=\,\biggl\{\frac{0}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{1}\biggr\} \\ & \Phi(3)\,=\,\biggl\{\frac{0}{1},\frac{1}{3}, \frac{1}{2},\frac{2}{3}, \frac{1}{1}\biggr\} && \Phi(4)\,=\,\biggl\{\frac{0}{1},\frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{1}{1}\biggr\} \\ & \Phi(5)\,=\,\biggl\{\frac{0}{1},\frac{1}{5},\frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{2}{5}, \frac{1}{2}, \frac{3}{5}, \frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\frac{1}{1}\biggr\} && \text{и т. д.} \end{align*} Дроби Фарея обладают рядом замечательных свойств, наиболее известным из которых является «модулярное свойство». Оно состоит в том, что для любых двух соседних дробей $c/d < a/b$ произвольного ряда $\Phi(Q)$ всегда выполнено равенство: $$ad-bc=1.$$

Ряды Фарея, открытые более двух столетий назад, долгое время служили вспомогательным инструментом для решения многих задач аналитической теории чисел. Так, их свойства существенным образом используются в так называемом круговом методе, восходящем к Г.Х.Харди и C.Рамануджану. Оказывается, однако, что ряды Фарея являются источником задач, представляющих и самостоятельный интерес.

Так, ровно сто лет назад обнаружилось, что простенькие с виду утверждения о дробях Фарея равносильны — ни много, ни мало — справедливости знаменитой гипотезы Римана о нулях дзета-функции $\zeta(s)$.

Далее, сравнительно несложно вывести асимптотику для суммы квадратов расстояний между соседними дробями Фарея; она имеет вид $$ \sum\limits_{r_{n},r_{n-1}\in \Phi(Q)}(r_{n}-r_{n-1})^{2} = \frac{12}{\pi^{2}}\,\frac{1}{Q^{2}}\biggl(\ln{Q}+\frac{1}{2}+\gamma - \frac{\zeta'(2)}{\zeta(2)}\biggr) + O\biggl(\frac{\ln^{2}{Q}}{Q^{3}}\biggr), $$ где $\gamma$ — постоянная Эйлера. А что будет, если рассмотреть расстояния между дробями, взятыми «через один» или, более общо, с шагом $h\geqslant 2$ т.е. суммировать квадраты разностей $r_{n+h}-r_{n}$?

Поиск решения этой задачи привёл в 2001 году трёх авторов — Ф.Бока, К.Кóбели и А.Захареску к открытию нового и красивого метода изучения арифметических и статистических свойств дробей Фарея. Говоря коротко, этот метод позволяет сводить подсчёт дробей заданного ряда Фарея, удовлетворяющих определённым арифметическим условиям, к подсчёту целых точек в некоторых плоских выпуклых областях.

Цель нашего миникурса двоякая: во-первых, рассказать слушателям от том, как именно связаны дроби Фарея и гипотеза Римана и, во-вторых, познакомить их с основами метода Бока, Кóбели и Захареску.

От слушателей предполагается знакомство с основными понятиями элементарной теории чисел и математического анализа (дифференцирование и интегрирование).

polygon.png farey-points

denominators.png

Программа курса

  1. Определение и простейшие свойства дробей Фарея. Функция Эйлера $\varphi(n)$. Функция Мёбиуса $\mu(n)$. Дзета-функция Римана $\zeta(s)$ и её разложение в эйлеровское произведение. Сумматорная функция $$ M(x) = \sum\limits_{n\leqslant x}\mu(n), $$ её поведение при $x\to +\infty$ и гипотеза Римана. «Пилообразная» функция $\varrho(u)$; формула Клюйвера. Доказательство теорем Ландау и Франеля о связи сумм $$ \sum\limits_{r_{n}\in \Phi(Q)}\biggl(r_{n}-\frac{n}{|\Phi(Q)|}\biggr)^{2},\quad \sum\limits_{r_{n}\in \Phi(Q)}\biggl|r_{n}-\frac{n}{|\Phi(Q)|}\biggr| $$ с гипотезой Римана.
  2. Тройки соседних знаменателей дробей Фарея. Индекс дроби Фарея. Треугольник Фарея $\mathcal{T}$. Определение областей $\mathcal{T}(k)$. Асимптотическая формула для числа дробей ряда $\Phi(Q)$, обладающих заданным индексом.
  3. Четвёрки соседних знаменателей дробей Фарея. Задача о парах соседних дробей ряда $\Phi(Q)$, имеющих заданные индексы $k_{1}$ и $k_{2}$. Определение BCZ-преобразования $T: \mathcal{T}\to \mathcal{T}$ и его простейшие свойства. Области $\mathcal{T}(k_{1},k_{2})$ и нахождение асимптотики для числа указанных пар дробей.
  4. (Если останется время) Дальнейшие обобщения. Формулировка известных результатов о распределении дробей, знаменатели которых принадлежат заданным прогрессиям по модулям $2$ и $3$. Открытые проблемы.