на главную страницу ЛШСМ-2024 к списку курсов ЛШСМ-2024

Иван Александрович Панин

Главные расслоения

И. А. Панин планирует провести 4 занятия.

Цель курса — познакомить слушателей с простым, но очень важным понятием, главным расслоением. Часто говорят «главным G-расслоением», где G — это группа. Например, G — это $\mathbb Z/2\mathbb Z$, или окружность, или трёхмерная сфера, или... Главные расслоения играют большую роль во многих разделах математики и физики. Например, в топологии, теории многообразий, алгебраической геометрии и даже в теории чисел.

Курс будет состоять из нескольких сюжетов и в основном будет «геометрическим». Мы разберём как по одним главным расслоениям строить другие (с другой группой). Как по главному G-расслоению и действию G на F строить расслоение со слоем F.

Главные $\mathbb Z/2\mathbb Z$ — расслоения над Х — это просто двулистные накрытия Х. Их столько же, сколько непрерывных отображений из Х в $\mathbb RP^\infty$. Главные $S^1$-расслоения устроены хитрее. Но их столько, сколько отображений из $Х$ в $\mathbb СР^\infty$. Отображения рассматриваются с точностью до их плавных замен (гомотопий).

Указанные пространства — это классифицирующие пространства циклической группы порядка два и окружности соответственно. Оказывается у каждой группы G есть своё классифицирующее пространство BG такое, что главных G расслоений над Х столько, сколько непрерывных отображений из Х в BG (с точностью до гомотопий).

Курс рассчитан на студентов.