на главную страницу ЛШСМ-2024к списку курсов ЛШСМ-2024

Георгий Борисович Шабат

Замечательные решётки

Г. Б. Шабат планирует провести 4 занятия.

Слово решётка имеет много смыслов в математике. Мы, однако, будем заниматься обычными решётками на евклидовой плоскости (то есть дискретными подгруппами аддитивной группы $\mathbb{R}^2$) и их обобщениями.

Что делает решётки замечательными? Два ответа в случае плоскости почти бросаются в глаза: замечательны симметричные и плотные решётки (с точки зрения упаковок кругов одинакового радиуса с центрами в узлах решётки). Многомерные обобщения этих объектов связаны с разнообразными математическими теориями, о которых будет рассказано в курсе. В частности, будет рассказано о работах недавнего филдсовского лауреата Марины Вязовской, доказавшей (с помощью изобретенных ей волшебных функций) оптимальность двух знаменитых решёток: 8-мерной так называемой Е8 и 24-мерной решётки Лича; второе доказательство было проведено Вязовской в сотрудничестве с четырьмя соавторами.

Бо́льшая часть курса будет посвящена решёткам над $\mathbb{C}$ и над неархимедовыми полями.

Пререквизиты. Понимание разных частей курса потребует разной математической подготовки. Для первых двух лекций будет достаточно некоторого владения основами математического анализа и знания комплексных чисел; крайне желательно также умение проверять числовые равенства с помощью современных компьютерных средств. Для третьей и четвёртой лекции потребуется владение некоторыми понятиями из «взрослой» математики, которые по возможности будут объяснены.

План.

  1. Решётки в $\mathbb{R}^n$. Кристаллографические группы и орнаменты. Решётки и плотные упаковки шаров. Решётка Коркина-Золотарёва $\mathsf{E}_8$ и Лича $\mathsf{\Lambda}_{24}$. Теоремы Вязовской с соавторами.
  2. Решётки в $\mathbb{C}$. Симметрии и эндоморфизмы. Ряды Эйзенштейна и другие модулярные формы. Тета-функции и $j$-инвариант. Мнимые квадратичнех поля.
  3. Решётки в $\mathbb{C}^g$. Решётки и комплексные торы. Абелевы многообразия и многомерные тета-функции. Якобианы кривых. Проблема Шоттки. Гипотеза Новикова и теорема Шиоты-Кричевера.
  4. Неархимедовы решётки. Поля $p$-адических чисел и решётки над ними. Деревья Брюа-Титса. Тета-функции Тейта. Классическая и $p$-адическая униформизации.
Первые три лекции будут сопровождаться задачами.