А. Н. Соболевский планирует провести 2-3 занятия.
Lisez Euler! lisez Euler! C’est nôtre maı̂tre à tous!
Базельская задача — это общепринятое, но исторически не совсем верное название вопроса о величине суммы обратных квадратов натуральных чисел. Мы начнем с небольшого обсуждения, почему этот вопрос является осмысленным. Оказывается, что даже приближенная численная оценка этой суммы очень трудна и быстро превратилась в вид спорта, популярный среди математиков XVII-XVIII веков.
После этого мы увидим, как Леонард Эйлер, которому в тот момент было чуть больше двадцати лет, сначала поставил в этом виде спорта мировой рекорд, который и сейчас кажется сверхчеловеческим (если не знать секрет его достижения), а через четыре года смог получить окончательный ответ к самой Базельской задаче: искомая сумма равна одной шестой квадрата константы «пи» — отношения длины окружности к ее диаметру. Мы детально проследим за тем, как Эйлер добрался до обоих этих результатов.
Основная идея решения, найденного Эйлером, требует строгого обоснования, которое появилось лишь около ста лет спустя благодаря Карлу Вейерштрассу. Самому Эйлеру и его современникам пришлось удовлетвориться тем, что нестрого полученный ответ с любой точностью воспроизводится аккуратными численными оценками — а значит, он не может быть ошибочным. Однако спустя 86 лет Огюстен-Луи Коши опубликовал в своем «Курсе анализа» другое, элементарное и притом строгое решение Базельской задачи. Мы расскажем о решении Коши и, если останется время, еще об одном решении, основанном на рядах Фурье, которые также были изобретены в начале XIX века.
Разумеется, эта история будет неполной, если не сказать о ее связи с дзета-функцией Римана (классическая формула для которой тоже была получена Эйлером) и свойствами простых чисел. Но подробный рассказ об этом увел бы совсем в другую сторону, куда мы только бросим взгляд...