на главную страницу ЛШСМ-2024к списку курсов ЛШСМ-2024

Александр Петрович Веселов

Алгебра многогранников и обращение рядов

А. П. Веселов планирует провести 1 занятие.

Рассмотрим формальный ряд $ A(x)=1+\sum_{n\geq 1} a_n \frac{x^n}{n!} $ и его обратный по умножению $B(x)= \frac{1}{A(x)}=1+\sum_{n\geq 1}b_n \frac{x^{n}}{n!}.$ Соответствующие коэффициенты $b_n$ выражаются как некоторые многочлены от $a_1, \dots, a_n$ с целыми коэффициентами: $$b_1=-a_1,\,\,\, b_2=-a_2+2a_1^2,\,\,\, b_3=-a_3+6a_1a_2-6a_1^3,$$ $$ b_4=-a_4+8a_1a_3+6a_2^2-36a_1^2a_2+24a_1^4. $$ Замечательным образом эти многочлены описывают комбинаторику специальных многогранников, называемых пермутоэдрами. В частности, формула для $b_4$ означает, что трехмерный пермутоэдр имеет 8 шестиугольных и 6 четырехугольных граней, 36 ребер и 24 вершины.

permutohedron.png

Аналогичная связь имеется для рядов $f(x)=x+\sum_{n\geq 2} f_n x^n$ и их обратных относительно подстановки $g(x)=x+\sum_{n\geq 2} g_n x^n$ со специальными многогранниками, называемых ассоциэдрами (или многогранниками Сташефа): $$ g_2=-f_2, \,\,\, g_3=-f_3+2f_2^2, $$ $$ g_4=-f_4+5f_2f_3-5f_2^3, \,\, g_5=-f_5+6f_2f_4+3f_3^2-21f_2^2f_3+14f_2^4. $$

associahedron.png

Я расскажу о недавней совместной работе с В. М. Бухштабером, предлагающей некоторое объяснение этих удивительных связей через дифференциальную алгебру многогранников. Никаких специальных знаний от слушателей не предполагается.