Юлия Ивановна Зайцева

Аффинным алгебраическим многообразием над полем $\mathbb{C}$ называется множество решений полиномиальной системы уравнений в $\mathbb{C}^n$. Аффинным алгебраическим моноидом называется алгебраическое многообразие $X$, снабжённое бинарной операцией $X \times X \to X$, $(x,y) \mapsto x*y$, удовлетворяющей трём условиям. Во-первых, она должна быть ассоциативной: $x*(y*z) = (x*y)*z$ для любых $x,y,z \in X$. Во-вторых, должен существовать нейтральный элемент, то есть такой элемент $e \in X$, что $e*x = x*e = x$ для любого $x \in X$. Наконец, операция должна быть полиномиальной, то есть координаты точки $x*y$ должны быть многочленами от координат $x$ и $y$. Примерами алгебраических моноидов служат множество матриц размера $n \times n$ с операцией умножения, прямая с операциями сложения или умножения, плоскость с операциями покоординатного сложения или умножения. Но есть и более хитрые: несложно проверить, что операция $$(x_1, y_1) * (x_2, y_2) = (x_1x_2, y_1x_2^a + y_2x_1^b)$$ задаёт структуру аффинного алгебраического моноида на плоскости $\mathbb{C}^2$ для любых целых неотрицательных $a,b$. Естественный вопрос описания всех моноидов слишком тяжёл в общем случае, но известны результаты для некоторых многообразий или при дополнительных условиях на группу обратимых элементов. Мы познакомимся с основами алгебраической геометрии, докажем некоторые общие факты об алгебраических моноидах, затронем науку о торических многообразиях и обсудим имеющиеся классификационные результаты.

Примерное описание программы

1. Введение: определения, примеры, классификации на $\mathbb{C}^1$, $\mathbb{C}^2$, $\mathbb{C}^3$, примеры на конкретных поверхностях
2. Минимум из аффинной алгебраической геометрии: аффинное алгебраическое многообразие, алгебра регулярных функций, алгебраические группы, действия.
3. Общие факты про моноиды: группа обратимых элементов открыта по Зарисскому в моноиде, каждый аффинный моноид с группой обратимых элементов $G$ однозначно задаётся двусторонним действием $G\times G$ на $X$, связь идемпотентов и подгрупп и др.
4. Результаты в зависимости от ранга группы обратимых элементов: $G = \mathbb{C}^n, G = (\mathbb{C}^\times)^n$ (торические многообразия), $G = (\mathbb{C}^\times)^{n-1} \times \mathbb{C}$ и $(\mathbb{C}^\times)^{n-1} \rightthreetimes \mathbb{C}$. Если будет время: изучение множества идемпотентов, центра моноида, их связь, картинки.