Доступно 3 видеозаписи курса.
Доступны задачи: листок 1.
Представьте себе конькобежца: он может ехать вперед или назад, поворачивать, но не может сдвинуться вбок. Несмотря на это, он способен попасть в любую точку катка. Тот же принцип позволяет совершать параллельную парковку автомобиля: хотя машина не умеет ехать вбок, хитрая комбинация движений вперед-назад и поворотов руля позволяет сместить её параллельно самой себе.
Математически эта идея формализуется в понятии распределения плоскостей: в каждой точке пространства разрешается двигаться лишь вдоль определенной плоскости. Если эти плоскости являются касательными плоскостями к некоторому семейству поверхностей (листьев двумерного слоения пространства), то любая допустимая траектория целиком лежит в одной поверхности — трюк с параллельной парковкой не сработает. Напротив, если плоскости закручены так сильно, что подобную поверхность невозможно провести ни через одну точку пространства, то распределение называется контактной структурой. В этом случае, как окажется, любые две точки можно соединить допустимой кривой.
Мы рассмотрим стандартную контактную структуру в $\mathbb{R}^3$, познакомимся с расслоением Хопфа на трехмерной сфере, обсудим поток Риба — естественную динамическую систему, связанную с контактной структурой, — и научимся кодировать лежандровы узлы с помощью плоских рисунков с загадочными зигзагами. Цель курса — увидеть, как простое локальное ограничение на допустимые направления движения порождает удивительно богатую геометрию и топологию.
Уверенное владение основами линейной алгебры и математического анализа (дифференцирование функций нескольких переменных). Предварительных знаний по дифференциальной геометрии не предполагается.