В курсе будет рассказано, каким образом естественные обобщения простых
механических моделей приводят к интересным моделям теории поля. Акцент
будет сделан на различных симметриях (Пуанкаре, SU(n), конформная
симметрия и т.п.) и на значении калибровочных полей, как на «мировой
поверхности», так и в «таргет-пространстве».
План
- Уравнения Ньютона как следствие принципа наименьшего действия.
Частица на римановом многообразии. Принцип Мопертюи. Гамильтонова
формулировка. Примеры симплектических многообразий. Законы сохранения
(теорема Нетер и центральное расширение). Геодезические на группе и на
некоторых однородных пространствах. Галилеева инвариантность и
Пуанкаре инвариантность.
- Частица в магнитном поле на плоскости. Частица на сфере в поле
монополя. Калибровочные поля. Магнитные геодезические. Калибровочные
поля в механике: симплектическая редукция. Системы Калоджеро—Мозера и
Тоды как примеры.
- Двумерные обобщения. Сигма-модели. Классические решения.
Минимальные поверхности и условия Вирасоро. Модель
Весса—Зумино—Новикова—Виттена. Теорема Нетер в теории поля.
Теоретико-полевая модель цепочки Тоды. Конформная инвариантность в
разных размерностях.
Пререквизиты
Для понимания курса необходимо уметь на практике применять
математический анализ (дифференцирование, интегрирование и т.п.),
также желательно знакомство с механикой и дифференциальной геометрией
(кривые, поверхности и т.д.).
