Алексей Яковлевич Канель-Белов

13-я проблема Гильберта, решенная Колмогоровым и Арнольдом, спрашивает о представимости непрерывной функции композицией функций от меньшего числа переменных. Для класса алгебраических функций на уровне ростков эта задача остается открытой.

В. И. Арнольд и А. Г. Хованский разработали топологическую теорию Галуа, позволяющую также доказывать неразрешимость трансцендентных уравнений в элементарных функциях. Из-за работы Ритта их метод (на мой взгляд гениальный) оказался недооцененным. Мы расскажем также о сведении одних трансцендентных уравнений к другим. Задачи такого рода можно решать только методом Арнольда—Хованского с привлечением некоторых тонких идей теории простых групп.

С этим связан также следующий сюжет. Квадратные уравнения решают в школе. Уравнения третьей и четвертой степени иногда встречаются на кружках. Уравнение пятой степени неразрешимо в радикалах, но сводится к уравнению $x^5-x+c=0$, а уравнение шестой степени — к уравнению $x^6+x^2+ax+b=0$. До сих пор неизвестно, сводится ли оно к одному параметру.