Доступно 4 видеозаписи курса.
Два непрерывных отображения из $Y'$ в $Y$ называются гомотопными, если одно можно плавно продеформировать в другое. Если в $Y$ отмечена точка $y$, то отображение из $Х$ в $Y$ гомотопное отображению в точку $y$ будем называть гомотопным постоянному. Для гладкого аффинного алгебраического комплексного многообразия $X$ пишем $X(\mathbb C)$ для того же $X$, рассмотренного с обычной комплексной топологией. Мы докажем следующий общий результат и выведем из него неожиданные интересные следствия.
Теорема. Пусть $X$ — гладкое аффинное алгебраическое комплексное многообразие, причем неприводимое. Пусть $(Y,y)$ — топологическое пространство с отмеченной точкой. Пусть $\varphi\colon X(\mathbb C)\to Y$ такое непрерывное отображение, что для некоторого непустого открытого по Зарисскому подмножеству $U$ в $Х$ сужение отображения $\varphi$ на $U(\mathbb C)$ гомотопно постоянному. Тогда $\varphi$ локально гомотопно постоянному по отношению к топологии Зарисского на $X$. То есть для каждой точки $x$ в $Х$ найдется ее окрестность по Зарисскому $V$ такая, что отображение $\varphi\colon V(\mathbb C)\to Y$ гомотопно постоянному.
Множество гомотопических классов отображений $[Y,S^1]$ — это группа первых когомологий пространства $Y$. Множество гомотопических классов отображений $[Y,\mathbb СР^\infty]$ — это группа вторых когомологий пространства $Y$. Множество гомотопических классов отображений $[Y,\text{бесконечная симметрическая степень сферы } S^n]$ — это группа $n$-х когомологий пространства $Y$. Следующее следствие — это знаменитая теорема Блоха и Огуса.
Следствие 1. Пусть $Х$ как в теореме. Если $\alpha$ — класс в $H^n(X(\mathbb C),\mathbb Z)$, ограничение которого на вышеупомянутое подмножество $U(\mathbb C)$ равно нулю, то этот класс локально тривиален по отношению к топологии Зарисского на $Х$.
Следствие 2. Пусть $Е$ — комплексное векторное расслоение над $X(\mathbb C)$, ограничение которого на вышеупомянутое подмножество $U(\mathbb C)$ тривиально. Тогда $Е$ локально тривиально по отношению к топологии Зарисского на $Х$.