Доступно 4 видеозаписи курса.
Доступны записки: часть 1, часть 2, часть 3.
Группы гомологий это одно из центральных понятий топологии. Интуитивно можно сказать, что это способ формализации понятия «дыра в пространстве». Они обладают большим количеством хороших и полезных свойств — например, знакопеременная сумма их размерностей это эйлерова характеристика. Интересные свойства пространств находят своё отражение в интересных структурах на гомологиях: иногда на них бывает умножение, иногда скалярное произведение, иногда просто какие-то выделенные элементы. Одна из таких структур, норма Громова, измеряющая в некотором смысле размер класса гомологий — «дыры», несмотря на свою элементарность, оставалась довольно долгое время незамеченной и неисследованной. О ней, и о том, как она позволяет доказывать некоторые количественные топологические результаты, я и хочу рассказать. Нашей целью будет неравенство Кнезера. А именно, пусть заданы две замкнутые ориентированные римановы поверхности $M$ и $N$ — иными словами, сферы с каким-то количеством ручек. Пусть задано отображение $f\colon M \to N$ ненулевой степени $d$ — интуитивно это значит, что у точки общего положения $d$ прообразов (считаемых со знаком, приходящим из ориентации), а строгое определение получается как раз с использованием гомологий. Тогда $\chi(M)$ меньше или равно, чем $d\cdot\chi(N)$. Здесь $\chi$ это эйлерова характеристика, равная для сферы с $g$ ручками $(2 - 2g)$.
Мы будем иметь дело с достаточно простыми пространствами, так что о топологии и непрерывных отображениях достаточно только интуитивного понятия. С другой стороны, нам неизбежно придётся пользоваться алгебраическим аппаратом в лице абелевых групп и векторных пространств, их отображений, ядер, образов и факторов. Ближе к концу нам понадобятся некоторые сведения о геометрии Лобачевского — они будут сообщены, но также их можно будет почерпнуть из курсов Александра Гайфуллина и Владлена Тиморина.