Еще со времен Эйлера и Гаусса было известно, что всякое натуральное число можно продеформировать, или «проквантовать», заменив его на многочлен от формального параметра q:
[n] = 1 + q + … + qⁿ⁻¹ = (1 − qⁿ) / (1 − q)
Определенные так «q-целые числа» естественно возникают во многих задачах комбинаторики и алгебры.
В недавней серии работ С. Морье-Жену и В. Ю. Овсиенко эта классическая конструкция была обобщена сначала на рациональные, а затем и на иррациональные числа; при этом q-деформацией числа оказывается некоторый формальный степенной ряд от q. Мы увидим, как q-деформации чисел оказываются связаны с самыми разными вещами: комбинаторикой путей и паросочетаниями на графах, обобщениями цепных дробей, симметриями гиперболической плоскости, последовательностями Сомоса... Конечно же, мы поговорим и об открытых вопросах.
Пререквизиты
Для понимания курса полезно знать, что такое цепная дробь, и не бояться работать со степенными рядами.
