Основной целью данного курса лекций является демонстрация того, как изучение неравенств объединяет самые различные области математики (вещественный и комплексный анализ, вариационное исчисление, дифференциальные уравнения и др.). Основное внимание будет уделено неравенствам, так или иначе связанным с уравнениями в частных производных и нахождением точных констант в них (в их числе простые версии неравенств Соболева, Харди и некоторые интерполяционные неравенства, а также их дискретные аналоги). Также будет представлена теория интерполяционных неравенств колмогоровского типа для частного случая (бесконечность, два, два). Излагаемая теория будет иллюстрироваться примерами (простыми и не очень простыми), а также задачами для самостоятельной работы (для желающих).
Пререквизиты
Первая лекция вообще не требует знаний, выходящих за рамки стандартной школьной программы. Далее сложность будет понемногу увеличиваться, в основном оставаясь в пределах первого курса университета. Выходящее за пределы первого курса будет объяснено в общих чертах, так что можно будет понимать происходящее, но про корректность некоторых переходов придётся поверить на слово. Основное — не пугаться, увидев многомерный интеграл или ряд, и не падать в обморок, услышав о дельта-функции Дирака. Знания о рядах и преобразовании Фурье приветствуются.
План
- Элементарные неравенства
— неравенства на основе выпуклости и дискретного неравенства Йенсена
— неравенства между средним арифметическим, геометрическим и гармоническим, полиномиальные средние. Примеры «олимпиадных» неравенств на их основе.
— неравенства Юнга, Коши-Буняковского, Гёлдера и Минковского.
— интегральные аналоги этих неравенств.
- От Карлсона до Соболева и Харди
— дискретные и непрерывные версии неравенства Карлсона, зависимость констант от краевых условий. Обобщения
— метод Гальярдо для вывода соболевских неравенств, неравенство Харди, простые примеры
— экстремали и точные константы. Связь с изопериметрической задачей
- Метод функций Грина
— немного о фундаментальных решениях, дельта функциях и функциях Грина
— некоторые факты из вариационного исчисления
— интерполяционные неравенства (бесконечность, два, два) методом функций Грина
- Приложения метода функций Грина
— неравенства для функций на торе, разница между одномерным и многомерным случаями
— связь с многомерными дзета-функциями Римана и функцией числа целых точек в диске
— неравенства для функций на отрезке и полупрямой с различными краевыми условиями
— нарушение симметрии: причины и следствия
