Глава 2. § 9  |	Оглавление |	Глава 2. § 11

§ 10.  Точка Микеля

2.85.

Четыре прямые образуют четыре треугольника.

а) Докажите, что описанные окружности этих треугольников имеют общую точку (точка Микеля ).

б) Докажите, что центры описанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности, проходящей через точку Микеля.

2.86^*.

Прямая пересекает стороны AB,BC и CA треугольника (или их продолжения) в точках C₁,B₁ и A₁;  O,O_a,O_b и O_c- центры описанных окружностей треугольников  ABC,AB₁C₁,A₁BC₁ и A₁B₁C;  H,H_a,H_b и H_c- ортоцентры этих треугольников. Докажите, что:

а)  DO_aO_bO_c ~ DABC.

б) серединные перпендикуляры к отрезкам OH,O_aH_a,O_bH_b и O_cH_c пересекаются в одной точке.

2.87^*.

Четырехугольник ABCD вписанный. Докажите, что точка Микеля для прямых, содержащих его стороны, лежит на отрезке, соединяющем точки пересечения продолжений сторон.

2.88^*.

Точки A,B,C и D лежат на окружности с центром O. Прямые AB и CD пересекаются в точке E, а описанные окружности треугольников AEC и BED пересекаются в точках E и P. Докажите, что:

а) точки A,D,P и O лежат на одной окружности;

б)  РEPO = 90°.

2.89^*.

Даны четыре прямые. Докажите, что проекции точки Микеля на эти прямые лежат на одной прямой.

Глава 2. § 9  |	Оглавление |	Глава 2. § 11

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.