\centerline{\bf Многочлен не может иметь много корней--2. 9 сентября}

\q1. Упростите (устно!) выражения \smallskip \\  
a) $\dfrac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}+\dfrac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+\dfrac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)}$ \smallskip \\
b) $c\cdot \dfrac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}+a\cdot \dfrac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+b\cdot \dfrac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)}$  \smallskip \\
c) $\dfrac{c^2}{(c-a)(c-b)}+\dfrac{a^2}{(a-b)(a-c)}+\dfrac{b^2}{(b-c)(b-a)}$. \smallskip

\q2. На плоскости расположено 100 точек. Известно, что через каждые четыре
из них проходит график некоторого квадратного трёхчлена. Докажите, что все
100 точек лежат на графике одного квадратного трёхчлена.

\q3. Многочлен $P(x)$ с целыми коэффициентами имеет 100 различных целых корней. 
Многочлен $Q(x)$ степени не ниже первой с целыми коэффициентами~--- делитель $P(x)+2012$. 
Докажите, что степень $Q(x)$ не меньше 9. 

\q4. Существуют ли такая последовательность действительных чисел $a_1$, $a_2$, $a_3$, \ldots
и такой непостоянный многочлен $P(x)$, что $a_m+a_n=P(mn)$ для любых натуральных $m$ и $n$?

\q5. Пусть $P(x)$~--- многочлен с целыми коэффициентами. Обозначим через $n(P)$
количество решений уравнения $\left(P(x)\right)^2=1$ в целых числах. 
Докажите, что $n(P)\leqslant \deg P+2$.
% IMO 1974, 6

% 3. For deg(P) ≤ 2 the statement is obvious, since n(P) ≤ deg(P 2 ) = 2 deg(P) ≤
% deg(P) + 2.
% Suppose now that deg(P) ≥ 3 and n(P) > deg(P) + 2. Then there is at least one
% integer b for which P(b) = −1, and at least one x with P(x) = 1. We may assume
% w.l.o.g. that b = 0 (if necessary, we consider the polynomial P(x + b) instead). If
% k 1 , . . . , k m are all integers for which P(k i ) = 1, then P(x) = Q(x)(x − k 1 ) · · · (x −
% k m ) + 1 for some polynomial Q(x) with integer coefficients. Setting x = 0 we
% obtain (−1) m Q(0)k 1 · · · k m = 1 − P(0) = 2. It follows that k 1 · · · k m | 2, and hence
% m is at most 3. The same holds for the polynomial −P(x), and thus P(x) = −1
% also has at most 3 integer solutions. This counts for 6 solutions of P 2 (x) = 1 in
% total, implying the statement for deg(P) ≥ 4.
% It remains to verify the statement for n = 3. If deg(P) = 3 and n(P) = 6, then it
% follows from the above consideration that P(x) is either −(x 2 − 1)(x − 2) + 1 or
% (x 2 − 1)(x + 2) + 1. It is directly checked that n(P) equals only 4 in both cases.




%  При каких вещественных $c$ существует такой многочлен $p$, что $p(1/n)=1/(n^2+c)$ для всех натуральных $n$?

% Назовём многочлен $f(x)$ с целыми коэффициентами {\it маленьким}, если $|f(n)|\leqslant 1000^n$
% при всех натуральных $n>1000$. Докажите, что множество маленьких многочленов конечно.