1. Координатная плоскость xOy раскрашена в два цвета: чёрный и белый.
Рассмотрим следующие утверждения:
(1) для каждого x существует y, такой что точка (x,y) чёрная;
(2) существует y, такой что для каждого x точка (x,y) чёрная.
Следует ли из первого утверждения второе? А наоборот?
2. x — целое число. Известно, что из следующих пяти утверждений верно ровно три: (1) x2>4; (2) x≤1; (3) x=0; (4) {-2≤2x≤3}; (5) 3x>-7. Чему равно x?
3. Биологи одной из планет Тау Кита установили, что не любое двуногое умеет прыгать и что нет чешуйчатого, у которого две ноги. Докажите, что на этой планете есть животные без чешуи, которые не умеют прыгать.
4. Юннат Вова, наблюдая за пятью ёжиками A, B, C, D и E, выяснил следующее: если A спит, то и B спит; С и D либо оба спят, либо оба не спят; если E спит, то A и D тоже спят; всегда хотя бы один из D и E спит. Однажды, подойдя к клетке, он увидел, что спит ровно один из B и С. Какие ёжики спали в этот момент?
5. a) У электронщика Васи были схемы, реализующие логические
связки «и», «или», «не», а также схемы,
постоянно выдающие на выходе 0 и 1. Однажды у него закончились схемы
«или». Как ему собрать такую схему из схем остальных четырёх
типов?
b) В другой раз у него закончились схемы «не». Сможет ли он
собрать её из других?
c) Однажды его помощник сделал Очень Сложную Схему (из элементов
«и», «или», «не»). Но по ошибке он всюду
вместо схем «и» поставил «или», и наоборот. Вася, не
разрывая соединений внутри схемы, допаяв ко входам и выходам ещё несколько
схем, превратил её в требуемую. Что он сделал?
d) У электронщика Пети не было таких схем, а были только схемы
«и-не». Как ему собрать схемы всех пяти типов, которые есть у Васи?
(Схемы «ноль» и «единица», конечно, собрать не
получится, нужно собрать схему, которая имеет один вход и, независимо от
значений на нём, даёт на выходе 0 (соответственно, 1).)
6. В трапеции ABCD (AD||BC) AB=5, а BC=3. Какую из сторон: BC или CD, пересекает биссектриса ∠BAD?