Пусть дана цепочка утверждений A1, A2, ..., Ak, ... Известно, что A1 верно. Также известно, что утверждения A1⇒A2, A2⇒A3, ..., Ak⇒Ak+1, ... верны. То есть у нас есть пронумерованные утверждения, причём Ak влечёт за собой Ak+1. Тогда все утверждения верны, так как A1⇒A2⇒A3⇒...⇒An для произвольного n.
1. АО "Пень-инвент" решило вырубить реликтовый сосновый лес, но экологи запротестовали. Тогда гендиректор АО ``Пень-инвент'' всех успокоил, сказав: «В лесу 99% сосен. Мы будем рубить только сосны. После рубки их останется 98% от всех деревьев». Какую часть леса хочет вырубить "Пень-инвент"?
2. В последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... каждое следующее число равно сумме двух предыдущих. a) Могут ли в ней оказаться рядом два чётных числа? b) два числа, делящиеся на 13?
3. В комнате с незеркальными стенами расставляют перегородки, одна сторона которых зеркальная, а другая — нет. Докажите, что всегда найдётся комната, в которой нет ни одного зеркала.
4. В некоторой стране каждые два города соединены либо автомобильной, либо железной дорогой. Докажите, что либо из любого города в любой другой можно добраться на автомобиле, либо из любого города в любой другой можно добраться на поезде.
5. Докажите, что для любого натурального n найдётся n-значное число, делящееся на 2n, и в десятичной записи которого есть только единицы и двойки.
6. (Ханойские башни) Имеется три стержня и несколько колец разного размера. Вначале все кольца нанизаны по порядку на один стержень (внизу — самое большое кольцо). За один ход можно переложить кольцо с одного стержня на другой, но так, чтобы кольцо большего размера не лежало на меньшем. a) Докажите, что можно перенести все кольца с одного стержня на другой. За какое наименьшее число ходов это можно сделать?