1. Бактерии размножаются делением. Каждую минуту каждая бактерия распадается на две. Известно, что одна бактерия заполнит колбу за 20 минут. За сколько минут заполнят колбу две такие бактерии?
2. Пусть n чётно. Докажите, что n(n+1)(n+2) делится на 24.
3. Перемножили все числа от 1 до 5757. У полученного числа вычислили сумму цифр. У вновь полученного числа снова вычислили сумму цифр, и т.д. В конце получилось однозначное число. Чему оно равно?
4. Докажите, что остаток от деления простого числа на 30 — это 1 или простое число.
5. В тюрьме царя Дадона 100 камер (в каждой камере сидит ровно один пленник). На двери каждой камеры имеется ручка, вращающаяся только в одну сторону. Каждый поворот ручки меняет состояние двери с открытого на закрытое, а с закрытого на открытое. В честь праздника царь Дадон решил освободить часть пленников и накануне послал слугу, который повернул ручку на каждой двери. При этом все двери оказались отперты. После этого пришёл второй слуга и повернул ручку на каждой второй двери. Следующий слуга повернул ручку каждой третьей двери, и т. д. до сотого слуги, который повернул ручку сотой двери. Наконец, наступил праздник, и люди из открытых камер вышли на свободу. Сколько пленников освободил царь Дадон?
6. Найдите (x+y)/(x-y), если x2+y2=(5/2)*xy и x,y>0.
7. На окружности нарисованы 2003 точки. Одна из них белая, остальные чёрные. Каких многоугольников с вершинами в данных точках больше: имеющих белую вершину или только с чёрными вершинами?