\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{circle,russcorr}
\setcounter{задача}{0}
\begin{document}
\заголовок{20 декабря 2003 г.}{Олимпиада}{10}
\z $2003$ бильярдных шара покрасили в $7$ цветов радуги (все цвета
использованы). После этого на каждом
шаре написали число шаров цвета этого шара. Получилось $2003$
числа. Чему может быть равна сумма обратных к ним чисел?

\z На доске написаны два числа. Каждый день старший научный сотрудник
Петя стирает с доски оба числа и пишет вместо них их среднее
арифметическое и среднее гармоническое. Утром первого дня на доске
были написаны числа $2$ и $3$. Найдите произведение чисел, написанных
на доске вечером пятьдесят седьмого дня. (Средним арифметическим чисел
$a$ и $b$ называется число $\frac{a+b}{2}$, а средним
гармоническим~--- число \raisebox{1mm}{$\frac{\scriptscriptstyle 2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$}.)

\z Покажите, как любой четырёхугольник разрезать на три
трапеции. Параллелограмм можно считать трапецией.

\z Числа $p$, $q$ и $r$~--- простые. Известно, что
$p^q+q^p=r$. Найдите $p$ и $q$. (%Напоминание:
Единица не является простым числом.)

\z В треугольнике $ABC$ проведены биссектриса $AK$, медиана $BL$ и
высота $CM$. Треугольник $KLM$ равносторонний. Докажите, что
треугольник $ABC$ тоже равносторонний.

\z На плоскости лежит чёрный квадрат со стороной $1$м. Имеется
$100$ красных квадратов со стороной $1$м. Можно ли выложить все
красные квадраты на плоскости (возможно, с наложениями) так, чтобы
чёрный квадрат был полностью покрыт ими, но при убирании любого из
красных квадратов какой-нибудь кусок чёрного квадрата становился видимым?

\end{document}
