\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{circle,russcorr}
\setcounter{задача}{0}
\begin{document}
\заголовок{17 января 2003 г.}{Инварианты}{12}

\z На Чудо\д яблоне росло $12$ бананов и $25$ ананасов. Петя срывал с
неё плоды по два за раз. Если он срывал два банана или два ананаса, то
вырастал ещё один ананас, а если он срывал один банан и один ананас,
то вырастал один банан. В конце концов на Чудо\д яблоне остался только
один плод. Какой?

\z \p На доске написали числа от $1$ до $57$. Каждую секунду какие-то
два числа $a$ и $b$ заменяют на $a+b$. Какое число получится в итоге?
Тот же вопрос, если числа $a$ и $b$ заменяют на \p $ab$; \p $a+b-1$;
\p $ab+a+b$.

\z Хулиган Вася порвал стенгазету, причём каждый кусок он разрывал
либо на $4$, либо на $10$ частей. Могло ли получиться $2003$ куска? 

\z На $44$ деревьях, расположенных по окружности сидят $44$ чижа
(по одному на дереве). Время от времени два чижа одновременно
перелетают на соседние деревья в противоположных направлениях (один по
часовой стрелке, другой~--- против). Докажите, что чижи никогда не
соберутся на одном дереве.

\z Болельщик Боря нарисовал расположения игроков на футбольном поле к
началу первого и второго тайма. Оказалось, что некоторые игроки
поменялись местами, а остальные остались на своих местах. При этом
расстояние между любыми двумя игроками не увеличилось. Докажите, что
все эти расстояния не изменились.

\end{document}
