\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{circle,russcorr}
\setcounter{задача}{0}
\newsavebox{\задание}
\begin{document}
\заголовок{29 ноября 2003г}{Делимость II}{8}

\z Бактерии размножаются делением. Каждую минуту каждая бактерия
распадается на две. Известно, что одна бактерия заполнит колбу за $20$
минут. За сколько минут заполнят колбу две такие бактерии?

\medskip

\z Пусть $n$ чётно. Докажите, что $n(n+1)(n+2)\mydiv 24$.

\z Перемножили все числа от $1$ до $5757$. У полученного числа
вычислили сумму цифр. У вновь полученного числа снова вычислили сумму
цифр, \итд В конце получилось однозначное число. Чему оно равно?

\z Докажите, что остаток от деления простого числа на $30$~--- это $1$ или
простое число.

\z В тюрьме царя Дадона $100$ камер (в каждой камере сидит ровно один
пленник). На двери каждой камеры имеется ручка,
вращающаяся только в одну сторону. Каждый поворот ручки меняет состояние
двери с открытого на закрытое, а с закрытого на открытое. В честь
праздника царь Дадон решил освободить часть пленников и накануне
послал слугу, который повернул ручку на каждой двери. При этом все
двери оказались отперты. После этого пришёл второй слуга и повернул
ручку на каждой второй двери. Следующий слуга повернул ручку каждой
третьей двери, \итд до сотого слуги, который повернул ручку сотой
двери. Наконец, наступил праздник, и люди из открытых камер вышли на
свободу. Сколько пленников освободил царь Дадон?

\medskip

\z Найдите $\frac{x+y}{x-y}$, если $x^2 + y^2 = \frac{5}{2}xy$ и
$x,y > 0$.

\z На окружности нарисованы $2003$ точки. Одна из них белая,
остальные чёрные. Каких многоугольников с вершинами в данных точках
больше: имеющих белую вершину или только с чёрными вершинами?

\end{document}
