\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{circle,russcorr}
\setcounter{задача}{0}
\begin{document}
\заголовок{6 декабря 2003г}{Раскраски}{9}

\z В каждой клетке доски $5\times5$ сидел жук. Затем каждый жук
переполз на соседнюю (имеющую общую сторону) клетку. Докажите, что получилась хотя
бы одна пустая клетка.

\z Плоскость раскрашена в два цвета. Докажите, что найдутся две точки
\p одного цвета; \p разных цветов, расстояние между которыми равно $1$м.

\z Прямая раскрашена в два цвета. Докажите, что найдётся отрезок,
концы и середина которого раскрашены в один цвет.

\z Можно ли замостить доску $10\times10$ прямоугольниками $4\times1$?

\z \p Можно ли раскрасить плоскость в три цвета так, чтобы любая
прямая  оказалась окрашена ровно в два цвета. \p Тот же вопрос,
если требуется, чтобы любые две точки, расстояние
между которыми равно $1$м, оказались окрашенными в разные цвета?

\z Клетки доскиx $8\times8$ раскрашена в четыре цвета. При этом в любом
квадратике $2\times2$ встречаются все четыре цвета. Докажите, что
угловые клетки окрашены в различные цвета.

\z Раскрасьте плоскость в семь цветов так, чтобы любые две точки,
расстояние между которыми равно $1$м, оказались окрашенными в разные цвета.

\textbf{Задача на дом.} Попробуйте уменьшить зазор между результатами
задач $5б$ и $7$.

\pagestyle{empty}

\end{document}
