Читать приведенные ниже литературу и мысли не обязательно. Но, надеемся, они будут интересны и полезны - особенно если у Вас возникли вопросы "почему и зачем нужны нижеприведенные правила сдачи зачета".
D. Meyer, Develop a question before answering it.
Статьи и предисловия о том, как учить(ся)
D. Meyer, Create a headache before offering aspirin.
Inquiry-based learning.
Предисловие в книге Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник, Конкретная математика. М.: Мир, 1998.
П.Л. Капица, Как следует изучать физику, М. 2020.
Памятка поступающим в 9й класс 179й школы, от Н.Н. Константинова, Мат. Просвещение 29 (2022) 86-91.
`Feynman' technique.
В.И. Арнольд, Новый обскурантизм
и российское просвещение, Фазис, М. 2003 (неомракобесие и преподавание математики).
А.Х. Шень, О преподавании
и пр..
М.Б. Лагутин,
Наглядная математическая статистика, к читателю.
Введение, стр. 7-12.
Введение, стр. 6-7.
П. 11.2 и 11.3 главы
11 <<О преподавании>>.
- `It's too difficult.' - `Write simply.' - `That's hardest of all.'
(I. Murdoch, The Message to the Planet)
The modern world is full of theories which are proliferating at a wrong level of
generality, we're so good at theorizing, and one theory spawns another,
there's a whole industry of abstract activity which people mistake for thinking.
(I. Murdoch, The Good Apprentice)
The preceeding theorem generalizes to many situations.
In fact, there may not actually be an optimal generalization in the sense that no matter what
generalization is given, someone could produce a more general one.
One of the advantages of being an understander rather than a theorem quoter is that one may be able
to obtain approaches to a wide variety of theorems some of which may not even have been formulated yet.
(R. H. Bing, The geometric topology of 3-manifolds)
Мы стараемся свести к~минимуму число понятий, откладывая определения до момента, когда они напрашиваются
сами собой, и~избегая задач на понимание и~применение формальных определений (типа <<является ли множество
целых чисел группой по сложению>>).
(Задачи по математике под редакцией А.Х. Шеня.)
Listeners are prepared to accept unstated (but hinted) generalizations much more than they are able,
on the spur of the moment, to decode a precisely stated abstraction and to re-invent the special cases
that motivated it in the first place.
(P. Halmos, How to talk mathematics.)
При изложении материала нужно ориентироваться на объекты, которые основательнее всего укореняются
в~человеческой памяти.
Это - отнюдь не системы аксиом и не логические приёмы в доказательстве теорем.
Изящное решение красивой задачи, формулировка которой ясна и~доступна, имеет больше шансов удержаться
в~памяти студента, нежели абстрактная теория.
Скажем больше, именно по такому решению, при наличии некоторой математической культуры, студент
впоследствии сможет восстановить теоретический материал.
Обратное же, как показывает опыт, практически невозможно.
(Колосов В.А., Теоремы и~задачи алгебры, теории чисел и~комбинаторики.)
Дао, имеющее имя, не есть настоящее дао.
(Дао-дэ-цзин)
Вследствие природных свойств нашего интеллекта, понятия должны образовываться путем отвлечения от
наглядных представлений, причем последние должны предшествовать понятиям.
Если дело действительно принимает такой оборот, как это бывает с теми, для кого личный опыт служит и
учителем, и книгой, то человек прекрасно знает, какие наглядные представления подходят под каждое из его
понятий к замещаются им: и те, и другое он познает вполне отчетливо и приобретает правильную точку зрения
на все происходящие пред ним явления.
Такой путь можно назвать естественным воспитанием.
And the leap is not - is not what I think you sometimes see it as - as breaking, as acting.
It's something much more like a quiet transition after a lot of patience and - tension of thought,
yes - but with that [enlightenment] as its discipline, its orientation, its truth.
Not confusion and chaos and immolation and pulling the house down, not something experienced as
a great significant moment. (I. Murdoch, The Message to the Planet)
Тот, кто упражняется в дао, ежедневно теряет что-то из его внешнего, ложного блеска.
(Чжуан-цзы, см. сноску 4 в в заметке)
...Miteineander angenehm und klug zu sprechen ist nicht dasselbe, als miteinander ein paar Jahre lang
zu leben und zu arbeiten.
Hier ist eine Werkstatt, und hier wird gearbeitet, nicht geplaudert, und hier gilt nicht das, was einer
etwa sich ausgedacht hat und zu sagen weiss, sondern einzig das, was einer mit seinem H\"anden
herzustellen versteht.
(H. Hesse, Narziss und Goldmund.)
The principle is this: that in everything worth having, even in every pleasure, there is a point
of pain or tedium that must be survived, so that the pleasure may revive and endure.
The joy of battle comes after the first fear of death;
the joy of reading Virgil comes after the bore of learning him;
the glow of the sea-bather comes after the icy shock of the sea bath;
and the success of the marriage comes after the failure of the honeymoon.
All human vows, laws and contracts are so many ways of surviving with success
this breaking point, this instant of potential surrender.
In everything on this earth that is worth doing, there is a stage when no one
would do it, except for necessity or honour...
The whole aim of marriage is to fight through and survive the instant when
incompatibility becomes unquestionable. (G. K. Chesterton, What's Wrong With The World)
Как-то я (16-летний мальчик) спросил Сергея Петровича, зачем самому повторять стандартные трудоемкие
выкладки, если они тысячи раз уже проделаны и всем ясно, что результат верен?
Сергей Петрович очень серьезно мне ответил:
'Если вы не проведете выкладки самостоятельно, то потеряете контакт с реальностью и не сможете понять
следующий шаг'.
(А. Буфетов, статья памяти
С.П. Новикова)
Голый результат без пути, к нему ведущего, есть труп, мертвые кости, скелет истины, неспособный к
самостоятельному движению, как прекрасно выразился в своей "Феноменологии духа" диалектик Гегель.
Готовая, словесно-терминологически зафиксированная научная истина, отделенная от пути, на котором
она была обретена, превращается в словесную шелуху, сохраняя, однако, все внешние признаки истины.
И тогда мертвый хватает живого, не дает ему идти вперед по пути науки, по пути истины.
Истина мертвая становится врагом истины живой, развивающейся.
Так получается догматически окостеневший интеллект, оцениваемый на выпускных экзаменах на "пятерку",
а жизнью - на "двойку" и даже ниже.
Такой не любит противоречий, потому что не любит нерешенных вопросов, а любит только готовые ответы;
не любит самостоятельного умственного труда, а любит пользоваться плодами чужого умственного труда, -
тунеядец-потребитель, а не творец-работник.
(Э. Ильенков, "Школа должна учить мыслить".)
См. также эпиграфы к главам в книге.
О математике
См. еще на
странице.
Мудрые мысли о том, как учить(ся)
AS: Непонятно? См. цитату из А. Шопенгауэра ниже.
Наоборот, при искусственном воспитании, путем подсказывания, обучения и чтения, голова начиняется
понятиями прежде, чем имеется налицо более или менее широкое знакомство с миром наглядным.
А наглядные представления ко всем этим понятиям опыт должен будет составить лишь впоследствии:
до той же поры понятия применяются ложно, и о вещах и людях образуется ложное суждение, ложный взгляд,
ложное с ними обхождение.
Таким образом, воспитание портит головы, и вследствие этого в юности после долгого учения и чтения мы
вступаем в мир отчасти простодушными, отчасти сбитыми с толку, и ведем себя то боязливо, то высокомерно;
ибо голова наша полна понятиями, которые мы стараемся теперь применять, - но применяем их почти всегда
неверно.
Это является следствием того asteron proteron [здесь в оригинале греческое выражение asteron proteron,
означающее <<последующее вместо предыдущего>>; <<смешение основания и следствия>>], благодаря
которому мы, в противоположность естественному ходу нашего умственного развития, сначала получаем понятия,
а затем лишь наглядные представления, причем воспитатели, вместо того чтобы развивать у мальчика
способность познавать, судить и мыслить, стараются лишь набить его голову чуждыми, готовыми мыслями.
Впоследствии продолжительный опыт должен исправлять все эти суждения, созданные ложным применением понятий.
Поэтому лишь немногие ученые обладают здравым человеческим рассудком, который так часто встречается у
совсем неученых людей.
(А. Шопенгауэр "Parerga и Paralipomena" в двух томах. Том второй: Paralipomena. Kapitel 28, Ueber
Erziehung)
AS: Длинно? См. цитату из Дао-дэ-цзин выше.
AS: Если заменить `трудоемкие выкладки' на `упражнения, которые начинающему могут показаться слишком
простыми или, наоборот, слишком техническими', то я с этим полностью согласен.
(Как правило, когда материал - учебный или научный - по-настоящему понят, то можно обойтись без
трудоемких выкладок.)
Более того, я следую традиции так строить изложение, что глубокие идеи постепенно вырисовываются, в т.ч.
в ходе проработки лекций упражнениями (и, тем самым, оказываются по-настоящему понятыми).
Задача заключается не в том, чтобы учить математике, а в том,
чтобы при посредстве математики дисциплинировать ум. (В. Шрадер)
В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления. (В. П. Ермаков)
Лучший способ изучить что-либо это открыть самому. (Д. Пойа)
Математика - королева и служанка наук. (Э. Т. Белл)
Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед! (А. Нивен)
Много из математики не остается в памяти, но когда поймешь ее,
тогда легко при случае вспомнить забытое. (М.В. Остроградский)
Первое условие, которое надлежит выполнять в математике, это быть точным,
второе быть ясным и, насколько можно, простым. (Л. Карно)
Правильному применению методов можно научиться, только применяя их на разнообразных примерах.
(Г. Цейтен)
Предмет математики столь серьезен, что не следует упускать
ни одной возможности сделать его более занимательным. (Б. Паскаль)
Пристальное, глубокое изучение природы есть источник самых плодотворных открытий математики.
(Ж. Фурье)
Хорошо, когда кого-нибудь называют не математиком, или проповедником, или красноречивым оратором,
а просто порядочным человеком. (Б. Паскаль)
За свою короткую жизнь Выготский успел увидеть, что сам процесс записи собственных мыслей ведет к тому,
что человек начинает их уточнять и искать новые способы мышления.
В этом смысле процесс письма в действительности воспроизводит в одном человеке диалектику, о которой Сократ
рассказывал Федру. Другими словами, попытки писателя выразить идеи более точными словами на письме
содержат в себе внутренний диалог, который каждый из нас, если он или она когда-нибудь испытывали
затруднения в выражении мысли, знает из собственного опыта.
Мы наблюдаем, как идеи меняют форму при каждой попытке их записать.
(Марианна Вулф, Мартин Вулф "Пруст и кальмар. Нейробиология чтения")
Q and A (читать не обязательно)
A: Их нужно решать и обсуждать, ибо их правильные решения нужны для понимания дальнейшего
материала и успешного написания контрольных и экзаменационных работ.
Напрямую за них баллы не ставятся.
Q: Будет ли видеозапись занятий?
A: Против видеозаписи я не возражаю, но она не всегда ведется.
Изучение книги, самостоятельное решение домашних задач и их обсуждение полезнее просмотра видео.
Q: В третьем семестре я не изучал курс (1) Введение в топологию.
Разумно ли сейчас изучать курс (2) дифференциальной топологии?
A: Без изучения какого-то курса изучение курсов, которые на него опираются, будет вредной тратой
времени. (Как, например, изучать курс математического анализа без предварительного изучения графиков
линейной функции и квадратного трехчлена.)
Поэтому проще всего для Вас было бы сдать оба курса через год (если Вы второкурсник, то с небольшими доп.
заданиями для третьекурсников - учебная часть такое разрешала).
Более трудоемкий вариант вариант - изучить в ближайшие 2-4 недели необходимый материал (конкретные задачи
указаны выше) курса (1) - самостоятельно плюс по доп. занятиям в начале курса (2).
Если этот вариант нравится, то решайте задачи по (1) из списка и приходите на первое занятие курса (2) -
там можно обсудить подробнее.
Ваши отзывы (читать не обязательно)
Как учить(ся) математике? Диалог.
В этом тексте обсуждаются отзывы о курсе Введение в топологию (дискретные структуры и
алгоритмы в топологии) студентов, его изучавших (выложенные с их разрешения и в основном анонимные).
Коллегам.
Буду благодарен за Ваше мнение о своих курсах и стиле преподавания.
По моему мнению, публичное профессиональное обсуждение разных стилей преподавания способствует развитию
науки и образования.
Традиция таких обсуждений восходит к Лао Цзы и Платону и продолжена, в частности, Д. Майером,
П.Л. Капицей, Н.Н. Константиновым, В.И. Арнольдом и А.Х. Шенем (см. публикации выше).
По моему мнению, закулисные административные обсуждения разных стилей преподавания вредят развитию науки
и образования, а также ухудшают репутацию соответствующей администрации.
Отзывы преподавателей (выложенные
с разрешения авторов и в основном анонимные).
Письмо от студента к студентам.
Изучающим и изучившим какой-то из курсов
Дорогой друг,
Будем благодарны за Ваше пожелание о курсе.
Если Вы уже сдали курс, то за отзыв о курсе: что стоит сохранить, а что желательно изменить, что
оказалось полезным для Вашей дальнейшей учебы и работы, что не оказалось, а чего не хватало.
Говорите / пишите и о программе-содержании курса, и об уровне-стиле преподавания.
По возможности будьте конкретны: по одному-двум Вашим примерам мы поймем Вашу общую мысль,
а верно проинтерпретировать общие слова может не получиться.
Ваши критические замечания ценны, ибо помогут продумать изменения.
То, что нам нравится, мы часто считаем само собой разумеющимся - но не забывайте явно отметить
понравившееся, ибо сохранить его может оказаться непросто.
Конструктивность (т.е. наличие предложений, а не только критики) приветствуется, но не обязательна.
Будьте осторожны, Ваши пожелания могут быть исполнены!
Поэтому желайте то, чего Вам действительно хочется.
(Например, после того, как мы в один из семестров учли пожелание уделить побольше времени непрерывности,
многие студенты перестали ходить на занятия. Значит, на самом деле желалось чего-то другого?)
Продумывание Вашего отзыва разумно совместить с изучением опыта преподавания и обучения,
см. литературу и цитаты в поэзии.
Здесь приведены уже имеющиеся отзывы
(выложенные с разрешения авторов и в основном анонимные).
Они могут помочь Вам удачно сформулировать Ваши мысли, но их лучше прочитать после
продумывания Вашего отзыва.
Вы можете поговорить с нами, или написать нам лично, или (если важна анонимность) написать в анонимную
форму, или в анонимную форму на сайте кафедры.
Ваши отзывы не повлияют на Ваши оценки, если Вы их еще не получили.
Прошу Вашего разрешения опубликовать Ваш отзыв/пожелание в интернете анонимно
(т.е. без Вашей фамилии; без Вашего разрешения публиковать не буду).
Такая публикация сделает более видимыми и достоинства курса, и работу
команды курса над его недостатками (даже если недостатки озвучены в отзывах в благожелательной форме).
Опубликованные отзывы мы сможем использовать в обсуждениях с коллегами.
Если получу Ваше пожелание опубликовать Ваш отзыв с Вашей фамилией
(и тогда, желательно, со ссылкой на Вашу интернет-страницу), то сделаю это.
Нам было интересно с Вами заниматься (или вести совместные занятия),
и мы рады этой возможности продолжить общение.
Учебу оценивать очень трудно. Но без ее оценки, пусть несовершенной, и поощрения, практически невозможно поддержать энтузиазм и направить его в созидательное русло.
Оценка за семестр по дискретному анализу в 428 группе равна [L/23]-1.
Оценка за курс "Линейно-алгебраический метод в топологии: теория гомологий" равна
Оценка за курс "Алгоритмы распознавания реализуемости гиперграфов" равна
Оценка за курс "Введение в топологию" равна примерно [L/37]-1
(максимальное количество баллов --- примерно 480).
Здесь оценки, большие 10, занижаются до 10; коэффициенты в формулах слегка изменятся
к концу семестра; оценки за курсы, не перечисленные выше, вычислялись (или будут
вычисляться) аналогично; лагранжиан L состоит из следующих слагаемых.
(1) Плюсик за домашний пункт, который студент ставит себе сам - 1 очко
(даже если пункт сдан им устно на прошлом занятии).
Если решение проверяется (у доски или на месте), то 1 заменяется на число от -4 до +5
в зависимости от того, насколько сложен пункт, насколько серьезны ошибки в решении
и исправлены ли они в процессе обсуждения.
После рассказа решения студентом (и, возможно, комментариев преподавателя)
преподаватель предлагает слушателям разбора задать вопросы, кратко рассказать идею
другого решения (если оно красивое) и т.д.
Если студент участвует в этом обсуждении, то 1 заменяется на число от +1 до +4;
минусы и наведенные минусы по умолчанию не ставятся, даже если при этом обсуждении
в решении слушателя разбора нашлась ошибка
(минусы и наведенные минусы могут быть поставлены только по явной просьбе студента).
Успешная подготовка домашних пунктов не только даёт возможность получить за них
много баллов, но и помогает в получении баллов по другим слагаемым лагранжиана.
Подробнее о слагаемых (1) и (3) см. ниже.
(2) Контрольная на N минут (в частности, большая устная контрольная на
дифф. зачёте или на экзамене) оценивается из 3N/4 очков.
За неполное решение ставится часть очков.
Типичное пояснение
к контрольной работе.
Контрольные минут на 15-20 проходят почти на каждом втором семинаре по курсу
<<Введение в топологию>>.
Сценарий большой устной
контрольной, БУЛЛА экзаменаторам / принимающим (ее разрешается подсмотреть и
студентам), общие критерии проверки.
(3) Письменное решение для пользователя - 7-8 очков (если не вошло в учебник
по курсу) или 11 очков (если вошло).
Решения домашних пунктов, слишком легких для записи, могут оцениваться ниже.
За непринятое письменное решение ставится 0 очков (независимо от
<<существенности>> недочетов).
Если решение не принято, то после получения замечаний можно и даже
рекомендуется написать и сдать новую версию решения.
Если Вы хотите получить 0, то не читайте
рекомендации по письменным
решениям для пользователя, иллюстрирующие содержательные требования.
Решения проверяются одна версия в две недели.
Если решение не сдано вовремя студентом, присутствовавшим на обоих занятиях, то
возможность его сдать (скажем, в конце семестра) пропадает.
Можно сдавать либо новое решение с данного или прошлого занятия, не опирающеееся на
другие пункты из того же задания, либо новую версию не засчитанного решения.
(4) Устная задача, сданная на занятии - от 1 до 3 очков (в зависимости от сложности;
отрицательные очки за незасчитанные решения не ставятся).
(5) Нахождение жука в учебнике (не найденного ранее) - 1 очко.
Принцип непредвзятости.
В лагранжиан не входит ничто другое (пол, возраст, национальность сдающего/-щей,
его/ее желание сделать что-то, не входящее в лагранжиан и т.д).
Каждая оценка ставится только один раз (в частности, уже написанная контрольная
не переписывается; готовьтесь к контрольным до них, а не после них).
Оценка может быть исправлена, если студент или преподаватель нашел ошибку в решении или в проверке.
Указания или решения (или ссылки на них) для многих пунктов к некоторому занятию
приведены на предыдущей лекции.
См. также указания в конце параграфов в литературе по курсу.
Иногда в задании имеются видео и программы.
Cмотреть их не обязательно, но это поможет Вам решить обязательные пункты.
Мы разрешаем (а если пункт не получается, даже рекомендуем) просить и
получать указания друг у друга и у преподавателей.
При этом будьте осторожны: низкая самостоятельность при решении домашних пунктов
(тем более списывание) помешает (сделает невозможным)
* ответить на вопросы по решению и тем самым завоевать положительный балл за его
рассказ,
* решить задачу на контрольной работе и дифф. зачете,
* решить следующее домашнее задание;
* применить недополученные знания и умения в жизни.
Помните, что учиться по учебникам и лекциям надежнее, чем по чатам.
Перед тем, как задавать вопрос, поищите указание в учебнике.
Если у Вас есть указание, то предложите (А. Скопенкову) дать его в учебнике.
Если Вы даете указание в чате, то позаботьтесь о тех, кто хочет порешать самостоятельно
(например, начав со слова <<спойлер>>).
Каждое следующее задание делать легче, если Вы разобрались во всех предыдущих заданиях и при этом большую часть решили <<самостоятельно>> (используя лекции и книгу). Задания несложны при условии, что студент овладел лекциями, указанными кусочками книги и необходимой техникой для выполнения заданий.
Готовьтесь к рассказу решений. Нужно уметь
* давать определения понятий, используемых в условии пункта и в Вашем его решении
(кроме наглядных задач на рисование, вырезание и разрезание);
* формулировать и доказывать все используемые утверждения из данного курса
(в частности, доказанные на лекциях или на прошлых занятиях) - если не оговорено,
что чем-то можно пользоваться без доказательства;
* приводить детали доказательств, которые могли не разбираться на лекции, в книге
или на прошлом занятии;
* доказывать не засчитанные Вам утверждения из предыдущих заданий, используемые
в Ваших решениях текущего.
При рассказе решений (как и на экзамене по дискретному анализу):
* если определение не засчитано, то рассказ, использующий это определение,
не заслушивается, а за него ставится минус;
* если формулировка не засчитана, то его доказательство не заслушивается,
а за него ставится минус;
* если умение приводить строгие определения, формулировки и доказательства
продемонстрировано студентом на нескольких примерах, то этот (но не другой) студент
далее может рассказывать менее строго, наводя строгость только в указанных слушателями
местах (например, в тех, где без строгого изложения невозможно по-настоящему проверить
результат);
* можно пользоваться без доказательства теми результатами из других курсов,
формулировки которых (и необходимые для них определения) Вы готовы привести;
приводить их нужно только по просьбе слушателей;
* иногда проще не повторить доказательство лекционной теоремы (или разобранного
пункта) и использовать ее для решения, а повторить необходимый небольшой фрагмент
доказательства на примере решения данного пункта.
Для обучения важна свобода выбора метода решения задач (ср. с. Auftragstaktik).
Свобода выбора не должна отделяться от ответственности за него.
Иначе студенты осваивают неправильные и неудобные идеи вместо правильных и удобных
(приведенных на лекциях и в книге).
Поэтому при приеме пунктов мы проверяем, имеется ли у студента решение (возможно, с
недочетами, которые он смог бысто исправить) на момент начала рассказа, а не то,
доводится ли идея решения до полного решения за неограниченное время.
Поэтому вдумчиво проверяйте свои решения до (а не после) проставления
единичек за них - в частности, обсуждением и частичной записью.
Это увеличит вклад разбора пунктов на занятии в Ваши умения и в зачет.
Конкретнее, это позволит на занятии разбирать (а не решать) домашние пункты, тем самым
тратить на них меньше времени, тем самым тратить на обсуждение нового материала больше
времени, тем самым тратить на новое задание по новому материалу меньше времени, и т.д.
Более конкретно, если в рассказе найдены недочеты, то мы даем время на их
исправление, но не более двух попыток исправления, не более двух минут на подготовку
исправлений и не более двух минут на их рассказ (это на все исправления одного студента
по одному пункту; время на исправление по сложным пунктам может быть немного больше).
Если при первой итерации рассказа решения мы скорее помогаем, чем критикуем, то рассказ
после второй попытки исправления слушается только до появления первого неверного
утверждения или неопределенного объекта.
Если время и число попыток вышло, то мы ставим минус (даже если решение <<доводится>>).
После выставления оценки мы будем рады предложить более удачную идею (отметив, что
студент и сам бы до нее дошел, если бы честно пытался довести решение до конца и
использовал лекции и книгу).
По просьбе студента и при наличии времени мы можем обсудить со студентом доведение
его идеи.
Баллы за такое обсуждение (после выставления оценки) не снимаются и не добавляются.
Плюс за домашний пункт оценивается в -4 очка, если у студента на момент
начала проверки нет записанных ответа (если он требуется) или картинки (если
она требуется) или длинных вычислений (если они есть в решении этого студента) или
перебора (если в решении этого студента есть перебор более трех случаев, включая
подслучаи) или формулы для \delta_f(\epsilon) (возможно, записанной в несколько шагов;
если решение включает доказательство непрерывности по определению).
(Начало проверки - это момент, когда преподаватель говорит: `прошу всех показать
картинки по таким-то пунктам', а не несколько минут после этого.)
Это происходит независимо от причин, по которым необходимого нет (забыл тетрадь дома,
погас интернет и т.д.), кроме прерывания связи при дистанционной сдаче.
В последнем случае студент сразу переходит к очному преподавателю для сдачи всех таких
пунктов (включающих необходимый текст или рисунок) в данный день.
* Будьте осторожны!
Если в цепочке пунктов каждый опирается на предыдущий, Вы не решили первого из них
(возможно, из прошлых заданий), и им не разрешено пользоваться без доказательства
(в этом задании), то Вы получите минусы за каждый пункт этой цепочки.
Даже если преподаватель не напомнил Вам, что за первое утверждение цепочки (возможно,
из прошлых заданий) у Вас неположительный балл.
Поэтому не забывайте самостоятельно приводить в решении пункта из данного задания
доказательства всех утверждений из данного курса, которые требуются, и за которые у Вас
не стоит положительного балла.
Это правило помогает студентам осваивать глобальную структуру материала - что где
используется - а также не пропускать доказательств важных фактов, используемых
далее.
* Будьте осторожны!
За решение с использованием факта из курса (утверждения с лекций или другого пункта из
задания), который студент не доказал после двухминутной подготовки (и про который в
задании не написано, или при вызове к доске не сказано, что им разрешается пользоваться
без доказательства), ставится отрицательная оценка.
* Будьте аккуратны при проставлении себе единичек в таблицу.
Эта таблица - основной документ для выставления семестровой оценки.
Поэтому исправления в нем после его копирования в преподавательскую таблицу (за 5 минут
до занятия) не допускаются, даже если единички были (или не были) поставлены по ошибке.
В частности, если Вы по ошибке поставите другому студенту единички, то он может
получить за них минусы, а Вы не сможете получить за них плюсы.
Если Вы опасаетесь, что кто-то ошибочно поставит единички в Вашу строчку, то Вы можете
договориться с 6 или более студентами (которые доверяют аккуратности друг друга), и по
Вашей общей просьбе будет сделана отдельная таблица
(которую другие студенты не смогут заполнять).
Этим правом на отдельную таблицу пока никто не пользовался.
Участники обсуждения после рассказа решения награждаются баллами (т.е. заменой
нуля или единички, проставленных студентом, на +1 или +2) за
* дельные замечания,
* вопросы, показывающие, что студент внимательно слушал рассказ
и не постеснялся высказать свое непонимание деталей.
Аналогичное обсуждение (с аналогичной наградой) может происходить и по пунктам,
не решенным ни одним студентом - если преподаватель (с помощью студентов и при наличии
времени) решает его устроить, а не просто дать подсказки по этим пунктам.
При этом преподаватель (с помощью студентов) старается
* не удлинять обсуждением разбор пункта, который для слушателей оказался
тривиальным (не забывая, что разбор, который студентам кажется тривиальным, часто
оказывается не таковым);
* не награждать баллами за замечания типа <<у меня такое же решение>>.
Дополнительные пункты отмечены звездочкой. Обычно они посложнее (и потому за их рассказ ставится больший балл). Они принимаются (в любом виде: рассказ у доски, РдП) только у того, кто сделал все пункты без звездочки на данный семинар, кроме, быть может, трех. Соответственно, в конце семинара все положительные баллы по * заменяем на 0, если есть хотя бы 4 незасчитанные пункта без *, а все отрицательные баллы по * оставляем. Будьте осторожны, выставляя себе единичку по *. Это правило позволяет студентам эффективно работать: перед решением сложного пункта (или простого, который подводит к сложному) изрешать достаточное количество простых (и проверить их решения).
Мы приветствуем сдачу в качестве РдП не только решений, но и:
Студенты, пропустившие занятия, могут досдавать пункты. Баллы за (1) --- домашние пункты --- умножаются на 2/3. Пункты по занятию, за которое стоит 0 баллов (пропущенному), можно досдавать только в течение 30 дней после этого занятия; в эти 30 дней не входят дни болезни. Например, если студент пропустил занятие 1 марта и принес справку о болезни с 25 февраля по 5 марта, то досдавать задачи можно не позже 4 апреля. Досдача происходит раз в неделю в удобное преподавателям время, объявляемое в начале семестра.
Досдача и пересдача предполагают, что студент ознакомился с обсуждением пунктов на семинарах (лучше обсудить решения с одногруппниками; можно также --- если доступно --- посмотреть видео). Досдача и пересдача, в отличие от семинара --- в первую очередь проверка, а лишь затем обучение. На них мы даем меньше подсказок и времени на исправление недочетов, чем на семинаре.
Возможно, студент опоздал к началу занятия, т.е. к вызову к доске по поставленным им в таблицу единичкам (за домашние пункты). Тогда эти единички не подтверждены возможностью вызова его по любой из них. Поэтому при опоздании на 1-4 полные минуты баллы домножаются на 2/3. При опоздании более чем на 5 минут баллы домножаются на 0 (с возможностью досдать позже с домножением на 2/3, см. выше).
Все студенты, не писавшие контрольную, пишут ее позже в одно и то же время.
Пожалуйста, напишите по эл. почте skopenko@mccme.ru, на какое время Вы договорились,
за 3 дня или более до него, с копиями всем студентам, не писавшим контрольную
(в подтверждение их согласия с этим временем).
Если хотя бы один студент (не писавший контрольную) не явится в это время и не пришлет
электронного письма с отказом от возможности получить баллы за контрольную, то
контрольная в это время не состоится.
Вы наберете больше баллов за написание не написанной контрольной, если перед
этим досдадите устные и письменные пункты по теме контрольной.
Если контрольная не написана (позже, чем вся группа, и) до зачетной сесии, то мы
назначаем время написания в зачетную сесию или в последнюю неделю занятий.
Мы постараемся, чтобы это время было приемлемо (для студентов, не писавших
контрольную), но не гарантируем этого.
Студент, не пришедший в назначенное время, теряет возможность получить баллы за
контрольную (кроме случая предоставления справок об отсутствии по уважительным причинам
за все время от написания контрольной всей группой до назначенного времени).
Домашние задания (Если источник не указан, то задание по
электронной версии книги [S20].
Бумажная версия книги [S20] доступна в библиотеке МФТИ -
просите 2-е издание 2020 года - но нумерация в ней может отличаться.
Окончательны только задания с жирными датами.
Перед решением каждого задания обновите pdf-файл книги/статьи.)
К 6.02: 1.3.2a*, 2.2.1ab*, 2.2.2ab*, 2.2.3ab, 2.4.1ad*, 2.8.1ad*.
Прочитайте первую фразу в п. 2.2.
Определения ленты Мебиуса, тора и бутылки Клейна можно найти в п. 2.1 (или в Википедии).
Посмотрите мультфильмы про тор и
Cutting a Moebius strip in half (and more).
К 13.02: 2.2.4ab, 2.2.5*(две), 2.2.5**(?ниже) и
1abcd*, 2ab* (нестрогое обоснование аналогично книге, используя без доказательства теорему 2.3.5с), 3abc, 4,
5с из п. 2.3 и 1.3.1abc*, 1.3.3ab, 1.3.2ac, 2.4.2, 2.4.3a (в этом задании в пп. 1.3, 2.3 и 2.4 используйте
без доказательства неравенство Эйлера 2.5.4a), 1.4.1c, 1.4.2a.
Определение сферы с ручками можно найти в п. 2.1 (или в Википедии), а букета циклов - на рис. 1.2.1.
Определение связности можно найти в п. 1.3.
Прочитайте текст "Как учить(ся) математике (в т.ч. об экзамене/зачете)"
и подготовьте вопросы по нему.
Попробуйте программу A
polygonal line avoiding an obstacle.
Посмотрите мультфильмы про крендель
и про сферу с ручками.
Посмотрите картину
`Wedge on sphere with handles' (О. Рыжова).
Не позже 16.02 можно (но не обязательно) заполнить гуглформу с пожеланиями.
К 20.02: 2abc*, 1d', 5, 6a'ab'b, 4, 3* из п. 1.4 и 1.3.3c(\le2)*(\ge2), 1.3.3d*, 1.3.2b, 2.4.4a
(теоремой Жордана для треугольника можно пользоваться без доказательства тому, кто сделал 1.4.1d';
в этом задании в п. 1.3 используйте без доказательства 1.4.2d, а в п. 2.4 - неравенство Эйлера 2.5.4a),
[S, 1.3.6a*].
Определения плоского графа и его грани можно найти в п. 1.3 (или в Википедии).
Подготовьте вопросы по тексту "Как учить(ся) математике (в т.ч. об
экзамене/зачете)".
Посмотрите мультфильмы `Euler's Formula and Graph
Duality' и Euler inequality.
Посмотрите картину
`Three Moebius bands cut out of a surface' (Я. Шульгинтовский).
Не позже 23.02 можно (но не обязательно) записаться в подгруппу со *
(см. выше; через гуглформу или сказать преподавателю на семинаре 20.02).
К 27.02: (уже нельзя использовать без доказательства 1.4.2d; в этом задании в п. 2.4 используйте
без доказательства неравенство Эйлера 2.5.4a)
1.4.2d, 1.3.2d, 1.1.1a, 2.4.3b (только K_{5,4}), 2.4.6ab, 2.4.8a, 2.4.7 (для тора), 2.5.1d (используя
(b,b',с) без доказательства при условии четкой формулировки), 1.3.3d*, 1.1.1b*, 1.4.7a*, 2.4.8b*, 2.4.7*.
И по [MNS]: прочитайте "предисловие...", "о стиле..." и
п. 1.1; решите 1, 5b, 7b, 6, 5a из п. 1.3 и 2.2.2b*.
И [S, 1.3.6b*].
Посмотрите мультфильм `A map on the torus that cannot
be colored in 6 colors'.
К 6.03: (уже нельзя использовать без доказательства неравенство Эйлера): 2.5.2ba (используя
2.5.1bb'с без доказательства при условии четкой формулировки), 2.5.3ab, 1.5.1, 1.5.2abdc, 1.5.3ab, 2.2.4b,
2.7.1a и 2.5.4a*, 1.5.3a'*, 1.5.4*, 1.6.1a*d*e*.
И по [MNS]: 1.2.1, 2.2.2a*, 2.2.1*.
Попробуйте программу Boundary
circles of disc with ribbons.
К 13.03: 2abd, 3ab, 5, 6a, 7ab'b из п. 2.7 и 1f*g*, 3a*b*, 4a*b*, 6I*E*, 2* из п. 1.6 и 1.1.2*.
По [AMS]: 2.2a, 2.3, 2.4, 3.2.
К 20.03:
По [AMS] 3.1, 4.5a, 4.1, 4.2ab, 4.3*.
И 2.7.7b'b и прочитайте пп. 5.1-5.3 и решите 5.2.2, 5.2.3ab, 5.3.2abc, 5.4.2abc, 5.2.3f.
И 1.6.5*, 2.7.2c*, 2.7.8a*b*, 2.7.9b*a*, 2.6.2b*.
Попробуйте программу
Homeomorphism between ribbon graph and sphere with handles and holes.
К 27.03: 5.2.3f ', 5.4.1ab, 5.3.3 (только тогда), 5.3.1a (используйте без доказательства 5.3.3,
если доказали ее часть "только тогда"), 5.3.3 (тогда; используйте без доказательства 2.7.8b и 5.4.2d),
5.5.2c (на интуитивном уровне), 5.5.4ab, 5.5.3bcdgh, 5.5.4c, 5.2.3d* (используйте без доказательства 2.7.8b
и 5.4.2d) и 3a'*a*, 4a*a'*b*, 6E*, 1*, 8b* из п. 2.6.
Посмотрите мультфильмы Real projective plane and
Moebius strip, The cross-cap и
Moebius strip and Cross-cap.
Напоминание от 31.03.
Истек срок досдачи задач по пропущенным занятиям 6-27.02.
Нули за 6-20.02 уже не изменятся.
В виде исключения задачи по пропущенному занятию 27.02 можно досдать не позже 5.04 своему (или другому)
преподавателю.
К 3.04 (добавлены 5.5.3bcd и указание): 5.3.3 (тогда; используйте без доказательства 2.7.8b и
5.4.2d), 2ab (гомеоморфность - на интуитивном уровне), 3bcdefh, 1abc, 5 из п. 5.5 (в 5.5.3 не забудьте дать,
следуя лекциям или замечанию 5.1.1d и абзацу перед задачей 5.5.2, строгие определения тех гиперграфов,
эйлерову характеристику которых вычисляете) и 5.7.1abcd, 2.6.10E*, 2.6.9*, 2.4.5*, 2.7.7с*, 2.8.3a*,
2.8.5a*, 5.5.2d*e*f* и [S, 4.1.1] (1<=>2<=>3<=>5;
укажите минимальные импликации между 1,2,3,5, которые Вы доказали; минимальность означает отсутствие тех
импликаций, которые получаются по транзитивности).
К 10.04: По [S]:
4.1.2, 4.1.2'* и 1, 2ab, 3, 5ab, 4ab, 6, прочитайте* 8a*b*с* из п. 4.2 и 1.5.9abc.
По [S20]: 5.5.5, 2.7.7c*, 5.5.2e*f*, 5.5.6b*c*d*, 5.5.7* (из 5.5.6bcd).
(к 17.04) [S20u, 1.3] Дайте определение `абстрактной плоской диаграммы'.
Докажите, что для любой абстрактной плоской диаграммы существует узел, проецирующийся на нее.
(к 17.04) [S20u, 3.2*] Пусть существует точка диаграммы узла (отличная от перекрестков), такая что
если мы идем вдоль диаграммы, начиная с этой точки, то сначала встречаем только переходы, а затем только
проходы.
Тогда этот узел изотопен тривиальному узлу.
К 17.04: По [S]: 1.3.4, 4.3.1, 4.3.2b
(используйте без доказательства 4.3.2a; для подгрупп со * нужна не картинка, а явное построение примера,
зато обоснования - при правильном примере - не требуется), 4.4.2, 4.2.7*, 4.3.4b*c*.
По [S20u]: 1.1ac, 1.3, 2.1a, 4.2, 3.2*, 3.3*, 5.1a*b*.
По [AS], Russian.: 1.2, 3.1a, 1.3, 1.4, ?3.3ab.
По [S20]: 2.6.6I*, 5.5.7*.
Посмотрите первую часть лекции и
вторую часть рекламы.
К 24.04: По [S20u]: 1.1aс, 5.2a*b*.
По [AS], Russian: ?3.1bc, 3.2, 3.5*, 4.1*, 4.2*, 4.3*.
По [S20]: 3.2.1ab и 1, 2ab, 3abc, 3d ('объединение' непрерывных функций f:A\to\R и g:B\to\R, заданных на
замкнутых подмножествах A,B\subset\R^d и совпадающих на их пересечении, непрерывно), 4a, 6ab из п. 3.3.
Здесь и далее: рассказ (но не придумывание) доказательства непрерывности отображения f начинайте либо с
приведения формулы для него и формулировок тех теорем о непрерывности, которые Вы используете, либо с
приведения формулы \delta_f(\epsilon)=... (не забудьте получить -4, если Вы не заготовили этого заранее).
Напоминание от 25.04.
Перед решением каждого задания обновите pdf-файл книги/статьи.
К необязательной консультации 4.05, 19.00, ориентировочно полчаса, дистанционно от
А.Д. Руховича: 3.3.3c, 3.3.4ab, 3.3.6b, 3.3.7ab, 3.4.2bcd.
По [AS], Russian: 4.4a*b*, 1.5a*.
На консультации (и только на ней) можно будет сдать эти задачи (перезаданные из задания на 24.04 и
наиболее простые из лекции 24.04).
На консультации можно также задать вопросы (в т.ч. по материалу со *).
По договоренности между студентами и преподавателями, достигнутой не позже 28.04, консультация может
быть проведена в другое время.
А если не позже 28.04 наберется хотя бы семеро желающих (или хотя бы одно требование очной консультации или
хотя бы три пожелания очной консультации), то еще один преподаватель [Э.В. Алкин или А.В. Мирошников] готов
провести очную консультацию (можно в другое время не на выходных/праздниках и не позже 6.05).
К 8.05: 3.3.4d, 3.3.5ac, (3.2.1с <=> 3.3.5b) и 1bce, 2e, 3ab, 4bcd, 5abcd из п. 3.4.
По [Sk14, \S2.2, \S2.3]: 2.4a*b*, 1.1'*, 1.2'*.
По [BMS]: 5.1*, 5.3a*b*c*.
Посмотрите мультфильм о векторных полях.
Готовьтесь к контрольной работе на 15 минут в начале лекции, прорешивая задачи и прочитав
типичное пояснение (а дальше уж и без предупреждения).
К 15.05: 3.4.1cea*, 3.4.5d, 3.5.1 (Re<=>3.2.1с) (Br=>Re) (Re=>Br) (Re=>Sp; докажите напрямую)*
Sp (докажите), (Br=>3.1.2b)*, 3.5.2 (3.1.5<=>c) (b<=>c), (d=>c)* (3.1.5=>d)*, 3.6.1abcd, 3.6.2a*b*, 3.7.1ac,
3.8.1ab.
По [Sk14, \S2.3]: 1.2'*.
Посмотрите кино о лемме Шпернера в мат. экономике,
кино о теореме Борсука-Улама,
короткометражку о гомотопии и
первую половину немого кино о накрытиях.
К дифф. зачету 22.05 (12.20-13.40 и 15.30-17.00, разбор задач + разрешенные правилами досдачи +
устная контрольная работа; принимают внешние преподаватели и семинаристы): 3.1.2b, 3.5.1 (Sp=>Re), 3.7.1a,
3.10.1d, 3.10.2abс* (далее 3.10.1e можно использовать без доказательства), 3.10.3abc*de*, 3.5.1
(Re; докажите напрямую)*, 3.6.2d*, 3.8.1bdc, 3.8.2a'a''*b'*
(далее лемму 3.8.2b' о поднятии гомотопии можно использовать без доказательства), 3.8.2cde*, 3.5.2b
(докажите), 3.1.6b, 3.8.3a.
Для желающих студентов (из всех подгрупп, как со *, так и без) 22.05, 17.00-17.50 прошла
завершающая обзорная лекция <<Вводный курс топологии изучен. Зачем теперь жить?>>.
Для необязательной самостоятельной работы (этот материал входил в курсы прошлых лет).
3.6.2c, 3.7.1b*, (тому, кто доказал лемму о поднятии пути 3.8.2a', четко сформулированные
версии леммы о поднятии гомотопии 3.8.2b можно использовать без доказательства)
(лемму о поднятии гомотопии 3.8.2b уже нельзя использовать без доказательства),
3.1.6b*, 3.1.1*, 3.1.9a*b*, 3.1.8*, 3.1.7f*, 3.4.4e*, 3.8.3bc*, 3.8.4a*b* 3.8.5a*b*, 3.9.1a*b*c*, 3.9.2*,
3.10.4a*b*c*d*e*.
4.2.1a*b*, 4.1.1a*, 4.2.2, 4.3.1abcde*, 4.2.3*. 5.4.3*, 5.7.3a* 5.8.2a*b*c*.
[S] 4.4.1a*b*, 4.4.4a* и 2a*, 3a*b*, 4a*b*c, 5* из п. 4.3.
[S20u] 2.1b*c*, 3.1.5abcd*e.
[BMS] 5.2*.
Получили рекомендацию по итогам курса (этого и других топологических) в/на выбранную аспирантуру, стажировку, летнюю школу и т.д.: Акимов Даниил, Бобохонов Мехрон, Волков Никита, Горбунова Анастасия, Деркач Илья, Жильцов Игорь, Ким Раиса, Шестакова Ксения.
Аннотация и программа для 2 курса
(2017-2024).
Похожий курс в НМУ, осень 2022: введение в топологию для пользователя.
Аннотация и программа.
В окончательную программу вошли пункты 1-7 и 12, 13 предварительной программы.
Литература: [S20, параграфы 1-5],
[S, параграфы 1, 4],
[CR, глава 5], [A, BE, P, S14, S89].
Примеры красивых теорем, которые будут изучаться: 1.1.2, 2.2.9, 2.3.2, 2.3.4, 2.3.5, 2.3.7,
3.1.1, 3.1.2, 3.1.3, 3.1.5c, 3.6.3, 3.6.4, 4.1.1, 4.1.2 из
[S20]
и 1.2, 1.5 из [S14].
Домашние задания (Если источник не указан, то задание по
электронной версии книги [S20].)
К 9.09. 1.4.1a*, 2.2.1ab*, 2.2.2a, 2.2.3a, 2.3.2ab из
[S20].
Прочитайте первую фразу в п. 2.2.
Определения ленты Мебиуса, бутылки Клейна и тора можно найти в п. 2.1 (или в Википедии).
Посмотрите мультфильмы про тор и
Cutting a Moebius strip in half (and more).
Попробуйте программу A polygonal
line avoiding an obstacle.
К 16.09. 2b, 3b, 4ab, 5* из п. 2.2 и 2c, 3abc, 4, 5c, 1ab из п. 2.3 (в 2.3.5с используйте без
доказательства неравенство Эйлера 2.5.3a) и 2.4.1a, 1.4.1ca.
Определение сферы с ручками можно найти в п. 2.1 (или в Википедии), а букета циклов - на рис. 1.2.1.
Посмотрите мультфильмы про крендель и
сферу с ручками.
К 23.09. 3c, 5c, 1ab из п. 2.3 и 2, 3a, 4a из п. 2.4
(используйте без доказательства неравенство Эйлера 2.5.3a).
Видео лекции.
К 30.09. 2.3.1b и 6a, 8a, 7(для тора) из п. 2.4 (используйте без доказательства неравенство
Эйлера 2.5.3a) и 1c, 2abcd, 5, 6ab'b, 4 из п. 1.4.
К 7.10. 1.4.2cd, 1.4.3b, 1.3.3c* (далее используйте без доказательства), 2.5.1abcde
(формулировка + нестрогое обоснование), 2.5.2ab, 2.7.2ab.
К 14.10. 2.5.1abcde (формулировка + нестрогое обоснование), 2.5.2b, 2.5.3a и
1a, 2bd, 3ab, 5 из п. 2.7.
К 21.10. 1, 2abcd, 3aa'bc* из п. 1.5 и 1.6.1abd.
Занятие 21.10 не обязательное. Оно состоялсь в 18.10-19.40 в виде
доклада на научном семинаре лаборатории алгебраической топологии и приложений на ФКН ВШЭ:
