Курсы топологии в исполнении А.Б. Скопенкова

  • О стиле преподавания (в т.ч. об экзамене/зачете)
  • О параллельных курсах по одной теме
  • (1) Введение в топологию (дискретные структуры и алгоритмы в топологии), ФПМИ МФТИ, 3й семестр, осень 2023 (и ранее; прежнее название для ФОПФ+ФУПМ - Основы топологии, для ФОПФ - Cовременные топологические методы в физике)
  • (1') Введение в топологию для пользователя, НМУ, осень 2022
  • (2) Конкретная дифференциальная топология, ФПМИ МФТИ, 4й семестр, весна 2024 (ранее исполнялся схожий курс `Линейно-алгебраический метод в топологии: теория гомологий')
  • (3) Алгоритмы распознавания реализуемости гиперграфов - 1, 2, часть 1: МФТИ, 5й семестр, НМУ, весна 2023 (и ранее обе части: МФТИ, НМУ)
  • (4) Введение в топологическую комбинаторику, ФПМИ МФТИ, 6й семестр, весна 2024 (и ранее: МФТИ, НМУ)
  • (5) От векторных полей к характеристическим классам, МФТИ, осень 2022 (и ранее: НМУ)
  • Классификационные проблемы в дифференциальной и гомотопической топологии, НМУ, весна 2024
  • Алгебраическая топология многообразий в интересных результатах, НМУ, осень 2023
  • Топология гиперграфов и многообразий в интересных результатах, МФТИ, 2022-2023 уч. год (и ранее: МФТИ, НМУ)
  • Классификация зацеплений, НМУ, осень 2019 (и ранее)
  • Другие ранее исполненные курсы
  • Алгебраическая топология с геометрической точки зрения
  • Мотивированное и доступное изложение основ топологии
  • Задачи для исследования (студентам и аспирантам)

    О стиле преподавания

    Поэзия

    D. Meyer, Develop a question before answering it.
    D. Meyer, Create a headache before offering aspirin.
    Inquiry-based learning.
    Предисловие в книге Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник, Конкретная математика. М.: Мир, 1998.
    П.Л. Капица, Как следует изучать физику, М. 2020.
    Памятка поступающим в 9й класс 179й школы, от Н.Н. Константинова, Мат. Просвещение 29 (2022) 86-91.
    `Feynman' technique.
    В.И. Арнольд, Новый обскурантизм и российское просвещение, Фазис, М. 2003 (неомракобесие и преподавание математики).
    А.Х. Шень, О преподавании и пр..
    М.Б. Лагутин, Наглядная математическая статистика, к читателю.
    Введение, стр. 7-12.
    Введение, стр. 6-7.
    П. 11.2 и 11.3 главы 11 <<О преподавании>>.

    Тот, кто упражняется в дао, ежедневно теряет что-то из его внешнего, ложного блеска. (Чжуан-цзы, см. сноску 4 в в заметке)

    The principle is this: that in everything worth having, even in every pleasure, there is a point of pain or tedium that must be survived, so that the pleasure may revive and endure. The joy of battle comes after the first fear of death; the joy of reading Virgil comes after the bore of learning him; the glow of the sea-bather comes after the icy shock of the sea bath; and the success of the marriage comes after the failure of the honeymoon. All human vows, laws and contracts are so many ways of surviving with success this breaking point, this instant of potential surrender. In everything on this earth that is worth doing, there is a stage when no one would do it, except for necessity or honour... The whole aim of marriage is to fight through and survive the instant when incompatibility becomes unquestionable. (G. K. Chesterton, What's Wrong With The World)

    - `It's too difficult.' - `Write simply.' - `That's hardest of all.' (I. Murdoch, The Message to the Planet)

    And the leap is not - is not what I think you sometimes see it as - as breaking, as acting. It's something much more like a quiet transition after a lot of patience and - tension of thought, yes - but with that [enlightenment] as its discipline, its orientation, its truth. Not confusion and chaos and immolation and pulling the house down, not something experienced as a great significant moment. (I. Murdoch, The Message to the Planet)

    The modern world is full of theories which are proliferating at a wrong level of generality, we're so good at theorizing, and one theory spawns another, there's a whole industry of abstract activity which people mistake for thinking. (I. Murdoch, The Good Apprentice)

    См. также эпиграфы к главам в книге.

    Проза (о занятиях и экзамене/зачете)

    Сдача экзамена/зачета проходит на занятиях (с первого по последнее) плюс итоговая часть после. Как ставится оценка за экзамен/зачет? Каждое следующее задание делать легче, если Вы разобрались во всех предыдущих заданиях и при этом большую часть решили самостоятельно.
    Перед каждым занятием отмечайте (цифрой 1) в расшаренном гуглшите (excusez mon russe) задачи, решения которых готовы рассказать на занятии у доски после трехминутной подготовки. За 5 минут до занятия я закрываю гуглшит говорю (или пишу в чате /по эл. почте), кто что готовит рассказывать. (Прошу отмечать все задачи к этому занятию, даже если некоторые из них были заданы к прошлому. Если в Вашем списке окажется менее 5 пунктов, то занятие начнется для Вас с самостоятельного решения наиболее простых из домашних задач, и начало пары произойдет позже.)
    Указания или решения (или ссылки на них) для многих задач к некоторому занятию приведены на предыдущем занятии (или на лекции по ДА). См. также указания в конце параграфов в [S20, S, S18]. Хотя смотреть видео и пробовать программы не обязательно, это поможет Вам решить обязательные задачи.
    Чем можно пользоваться без доказательства? Если не оговорено противное, в Ваших решениях не разрешается пользоваться утверждениями, доказательства которых Вы не готовы предъявить (в частности, доказанными на лекциях или разобранными или на прошлых занятиях. В частности, нужно быть готовым рассказать у доски детали доказательств, которые могли не разбираться на лекции или на прошлом занятии. При этом иногда проще не повторить доказательство лекционной теоремы (или ранее разобранной задачи) и использовать ее для решения задачи, а повторить необходимый фрагмент доказательства на примере решения данной задачи. Будьте осторожны: если в цепочке задач каждая опирается на предыдущую, Вы не решили первой из них, и ей не разрешено пользоваться без доказательства, то Вы получите минусы за каждую задачу этой цепочки.
    Заранее вдумчиво проверяйте свои решения - в частности, обсуждением и частичной записью. Это позволит увеличить вклад разбора задач на семинаре в Ваши умения и в зачет. Конкретнее, позволит на занятии разбирать (а не решать) домашние задачи, тем самым тратить на них меньше времени, тем самым тратить на новый материал больше времени, тем самым тратить на новое задание меньше времени, и т.д.   
    Дополнительные задачи отмечены звездочкой. Они принимаются (в любом виде: рассказ у доски, РдП) только у того, кто сделал все задачи без звездочки на данный день, кроме, быть может, двух. Обычно они посложнее и потому учитываются с большим весом.
    На одно из двух последовательных занятий приносите новую версию не засчитанного ранее (письменного) решения для пользователя (РдП), или новое. Полезнее (и выгоднее в плане баллов) присылать версии прежних решений, исправленные в соответствии с замечаниями, а не новые. Новое РдП можно сдавать к любой (на Ваш выбор) задаче из данного или предыдущего задания, не использующей других задач из него же. Рекомендации по решениям для пользователя иллюстрируют содержательные требования. Если наши занятия очные, то я принимаю РдП на бумаге. Если наши занятия дистанционные, то я принимаю РдП по эл. почте в pdf формате (допускающем комментарии). Я не требую распечатки файла, но советую Вам писать в файл (желательно latex), поскольку его легче редактировать (для получения плюса) и включить в электронную версию книги с Вашей фамилией. Я приветствую сдачу в качестве РдП
  • кусочка Вашего текста по мат. практикуму, содержащего формулировки и доказательства;
  • программы по курсу, выложенной на github;
  • мультфильма по курсу, выложенного на youtube.
  • В описании программы или под видео дайте гиперссылку на страничку курса (если Ютуб и Гитхаб разрешает Вам это) и укажите название курса, например: Course `Introduction to topology; discrete structures and algorithms in topology' (Russian: Введение в топологию; дискретные структуры и алгоритмы в топологии) by A. Rukhovich and A. Skopenkov at Moscow Institute of Physics and Technology.
    Договоритесь со мной перед тем, как делать эту серьезную работу.
    Типичное пояснение к контрольной работе.
    При очных занятиях я готов заниматься по скайпу и электронной почте (только) со студентами, которые вынуждены пропустить по болезни более одного занятия подряд. Но, конечно, я отвечу и здоровому студенту, если письмо допускает скорый ответ или если в нем найден недочет или неясность в домашнем задании.
    При дистанционных занятиях Вы можете показывать тетрадку с наброском решения на камеру и водить по ней ручкой. Или показывать экран своего компьютера и водить курсором по тексту и рисункам. Как и очно, я дам 5 минут на подготовку (но, для большинства задач, не больше). Поэтому нужно подготовить до занятия набросок каждого Вашего решения для показа (но не РдП). Еще Вы можете прикрепить лист бумаги (A4 или больше) к большой твердой поверхности (фанера, столешница или большая книга) скотчем или кнопками (или зубной пастой) и писать на нем фломастером (почти как на доске). Как и на очном семинаре, вопросы по решению задачи я задаю любому участнику. Потренируйтесь рассказывать решения перед семинаром, чтобы решить технические проблемы перед семинаром, а не на нем. Не болейте.

    Q: Можно ли сдавать задачи, заданные на предыдущие занятия?
    A: Из нужно решать и обсуждать с участниками курса, ибо их правильные решения нужны для понимания дальнейшего материала и успешного написания контрольных и экзаменационных работ. Напрямую за них баллы не ставятся.
    Q: Будет ли видеозапись занятий?
    A: Против видеозаписи я не возражаю, но она не всегда ведется. Изучение книги, самостоятельное решение домашних задач и их обсуждение полезнее просмотра видео.

    Критика

    Отзывы о курсе Введение в топологию (дискретные структуры и алгоритмы в топологии) студентов, его изучавших (выложенные с их разрешения и в основном анонимные).
    Изучающим и изучившим какой-то из курсов
    Дорогой друг,
    Надеюсь, у Вас все в порядке, насколько это возможно.
    Буду благодарен за Ваше мнение, что из курса стоит сохранить, а что желательно изменить. Если Вы уже сдали курс - что из него оказалось полезным для Вашей дальнейшей учебы и работы, что не оказалось, а чего не хватало. Говорите / пишите и о программе-содержании курса, и об уровне-стиле преподавания. По возможности будьте конкретны: по одному-двум Вашим примерам я пойму Вашу общую мысль, а верно проинтерпретировать общие слова может не получиться. Ваши критические замечания ценны, ибо помогут продумать изменения (они не повлияют на Вашу оценку по курсу, если Вы его еще не сдали). То, что нам нравится, мы часто считаем само собой разумеющимся - но не забывайте явно отметить понравившееся, ибо сохранить его может оказаться непросто. Уже имеющиеся отзывы (выложенные с разрешения авторов и в основном анонимные) могут помочь Вам удачно сформулировать Ваши мысли.
    Вы можете поговорить со мной, или написать мне лично, или (если важна анонимность Вашего мнения и если Вы - участник курса в МФТИ) написать в анонимную форму на сайте кафедры. Прошу Вашего разрешения опубликовать Ваш отзыв в интернете анонимно (т.е. без Вашей фамилии; без Вашего разрешения публиковать не буду). Такая публикация сделает для студентов (и для коллег) более видимыми и достоинства курса, и работу команды курса над его недостатками (даже если недостатки озвучены в отзывах в благожелательной форме). Если получу Ваше пожелание опубликовать Ваш отзыв с Вашей фамилией (и тогда, желательно, со ссылкой на Вашу интернет-страницу), то сделаю это.
    Мне было интересно с Вами заниматься (или вести совместные занятия), и я рад этой возможности продолжить общение.

    Коллегам. Буду благодарен за Ваше мнение о своих курсах и стиле преподавания. По моему мнению, публичное профессиональное обсуждение разных стилей преподавания способствует развитию науки и образования. Традиция таких обсуждений восходит к Лао Цзы и Платону и продолжена, в частности, Д. Майером, П.Л. Капицей, Н.Н. Константиновым, В.И. Арнольдом и А.Х. Шенем (см. публикации выше). По моему мнению, закулисные административные обсуждения разных стилей преподавания вредят развитию науки и образования, а также ухудшают репутацию соответствующей администрации. Отзывы преподавателей (выложенные с разрешения авторов и в основном анонимные).


    Введение в топологическую комбинаторику

    Курс проходит по средам с 7.02.2024, 17:05-20:00, в 525 ГК. Курс ориентирован на студентов 3 курса ФПМИ МФТИ, но его могут изучать все желающие, справляющиеся с домашними заданиями. Аннотация, программа и литература. О занятиях и экзамене/зачете (прочитайте к 5-10.02). Как ставится оценка за экзамен/зачет? Основная литература: [S, параграфы 2, 5, 6, 8], [S20, пункты 3.2, 8.2, 14.1-14.3], [S18, параграф 2]. Успехи студентов.
    Каждое домашнее задание, кроме первого, состоит из материала предыдущей лекции (см. примеры ниже). Оно разбирается в начале того занятия, к которому задано. Каждая следующая лекция рассчитана на тех, кто разобрался с материалом предыдущих. Достаточные предварительные умения: классифицировать с точностью до гомотопии непрерывные отображения окружности в себя, сферы в себя и S^3 в S^2 (см., например, [S20, \S3, \S8]; нужно именно классифицировать, а не выводить классификацию из теорем, доказательств которых Вы не знаете).
    Общие критерии математической культуры (на занятиях и на экзамене) такие же, как по дискретному анализу (стр. 3) и в типичном пояснении к контрольной работе.
    Материал курса имеет незначительные пересечения с материалом курса Дополнительные главы топологической комбинаторики асп. М.В. Блудова.

    Домашние задания (если источник не указан, то задание по книге [S]; cледите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг! окончательны только задания с жирными датами; основные задачи обсуждаются только с теми и засчитываются только тем, кто сделал все задачи на повторение, кроме, быть может, двух)
    К 7.02, по [S]: 2.1.3, 2.1.6, 2.2.1a, 2.2.2a, 2.2.3, 8.1.3a и по [S20]: 3.2.4a, 3.2.5ab*, 3.6.2a.
    К 14.02, повторение по [S20]: 3.1.7a, 3.10.2, 9.2.2ac.
    По [S20]: 6ab, 5b, 8abc*, 9abc*d*e*f*, 11a из п. 3.2 и 14.1.1, 14.1.5, 14.1.2ab и по [S]: 4.10.5a.
    К 21.02, повторение по бумажной версии [S20]: 9.2.2acde, 8.7.1ab, 8.7.2ab и посмотрите мультфильмы про отображение Хопфа: для взрослых, для детей-1, для детей-2.
    По [S20]: 7, 9defg, 10abc, 11bcd, 12ab из п. 3.2 и 3, 2cdeh, 4, 6ab из п. 14.1.
    К 28.02, повторение по бумажной версии [S20]: 8.7.2ab, по эл. версии [S20]: 8.3.1abcd, 8.3.2, 8.3.5abc.
    По [S20]: 3.2.10ab, 3.2.9g, 3.2.13ab*, 14.1.2deh, 14.1.6abcd*, 14.2.1abcde.
    К 6.03, повторение по эл. версии [S20]: 8.3.5defg, 8.3.6abcd, 8.4.3ab.
    К 6.03, по [S20]: 3.2.13d (аналоги 3.2.10ab) 3.2.14ab*c*, 14.3.1 (X - объединение букета окружностей и дисков по отображениям границ дисков в букет; используйте без доказательства 14.3.2 - там U_1\cap U_2 связно). 14.1.2i (используйте пояснение и без доказательства 14.3.2), 10.1.2a, 14.1.2f*g*, 14.3.2 (U_1\cap U_2 связно; образующие), 14.4.1ab, 14.4.2abde.
    К 13.03, повторение по эл. версии [S20] 8.3.7abcd, 8.4.3cdefg, 8.4.4.
    К 13.03, по [S20]: 14.4.3ab, 15.6.4bc ???15.6.4def* (подсказки: [Sk20e, \S2, Sketch of a proof of (b1) in p. 6]) по [S20e] 1.5abc, 1.6 для l четного, 1.9aa'*bb'*, 1.8ab. Если не получается что-то доказать самостоятельно в [S20e], то восполняйте детали в имеющихся набросках доказательств. Используйте без доказательства инъективность инварианта Хопфа [S20, 8.7.8g, 8.8.2c].
    К 20.03, повторение по бумажной версии [S20]: 8.7.5a, 8.7.7ab, 8.7.6a (здесь и далее, кроме 8.7.6a, можно пользоваться без доказательства корректностью определения инварианта Хопфа [S20, 8.7.6abc] и результатами о степени, аналоги которых Вы доказали для степени по модулю 2).
    К 20.03, по [S20e] для l четного: 1.7, 1.2, 1.1 и по [S20]: 15.6.4a* и по [S]: 2.1.3abd, 2.1.5 (mod Barany CCT), 2.1.6*, 2.2.1b, 2.2.2b, 2.3.1abcd, 6.1.1, 6.1.3 (mod Barany CCT), (5.8.4 или аналог для числа Радона), 6.1.2, (6.2.1 или 6.2.3 при помощи чисел ван Кампена или Радона), 7.1.1ab*, 7.1.2ab, 7.1.3bc*, (6.2.1 при помощи теоремы Борсука-Улама 5.9.1, которую можно использовать без доказательства), 5.9.1 (d=2).
    К 27.03: прочитайте п. 7.1-7.3 и 7.3.7a, 7.4.1abc*, 7.4.2(r=6), 8.1.1b* (для дерева K), 6.9.4abcdef, 6.9.3(равносильность), 6.9.1, 6.3.1, 6.3.2ab, 8.2.2abcd.
    К 3.04: 6.5.1ab и 1ab, 6, 7abcd, 8abc* из п. 8.2 и 1, 2(1)-(5), 3ac из п. 8.3 и 8.4.1abc.
    К 10.04: (7.3.2b mod 8.3.5 и 8.3.6), 8.2.7ce*, 8.4.1dee', 8.4.2, 7.3.2a (для r простого).
    К 17.04: 10.1.1 (прочитайте), 10.1.2abc, 10.1.3a*b*, 10.2.1ab, 10.2.2 (прочитайте), 10.2.3ab и 1abcdefghi, 2abc*, 3ac(необходимость)*c*, 5a, 4a из п. 10.4.
    К 24.05: 10.2.1b, 10.4.5ab, 10.4.4ab и 1abcd*, 2ab, 3ba из п. 10.5 и по [S20]: 9.4.6ab, 10.4.2aa,ab,ac,b.
    К 8.05: по [S20]: 10.4.2c и 2(аналоги 6.5.4ab и 6.5.5ab)g, 3abcd, 6(6.5.1-6.5.3), 7ab, 8* из п. 10.5 и 14.9.1 a(реализация класса) a(реализация гомологичности для n>3) b(реализация класса), 14.9.2a (для PL 3-многообразий и отображений; под $S^1$ понимается $S^1_{PL}$; значение PL отображения называется {\it регулярным}, если оно не совпадает с образом ни одной вершины некоторой триангуляции, для которой отображение симплициально) и по [S]: 10.4.6a(необходимость) и 2a, 4, 5* и 6* (для замкнутых PL 3-многообразий) из п. 10.5.
    К 15.05: 10.4.6a(необходимость), 10.5.2a и 1ba, 2, 3ab, 4 из п. 10.6 и 10.8.1b(n=2)c(n=2) и по [S20]: 10.5.2efg, 10.5.7c*, 14.9.1 b(реализация класса) a(реализация гомологичности для n>3) a(реализация гомологичности для n=3)* c(n>3), 14.9.2a(n=3)d(n=3)*, 14.9.3a(корректность для n=3).
    К консультации 20.05?: 10.6.4, 10.8.1b(n=2)c(n=2), 10.8.2b(n=3)c(n=3) и по [S20]: 14.9.1 b(реализация класса) a(реализация гомологичности для n>3) a(реализация гомологичности для n=3)* c(n>3), 14.9.2a(n=3)d(n=3)*, 14.9.3a(корректность для n=3).
    К дифф. зачету 22.05: РДП (или тексты по исследовательским задачам) и 10.8.2b(n=3)c(n=3), 10.8.3 и по [S20] и 14.5.1ab, 14.5.5ab (подсказка: определение локально-тривиального расслоения в конце п. 13.1) и 1 b(реализация класса) a(реализация гомологичности для n>3) c(n>3), 2 a(n=3) d(реализация класса)*, 3 a(корректность для n=3) b(реализация класса для n=4)*c* из п. 14.9.
    Для самостоятельной работы (этот материал входил в курсы прошлых лет): по [S20]: 14.7.1ab, 14.9.4a(корректность для n=4)*b(реализация класса)*с*. [KS21, Remark 1.3.C] и по [KS21e]: Corollary 1.2.1a (mod 1.2.3 and 2.3.2), Lemma 2.3.2 for M = R^{2k}*, Corollary 1.2.2 (mod 1.2.3 and 1.2.4a), Corollary 1.3.2ab (mod 1.3.1a, 1.3.4 and 2.1.7), Lemma 2.1.7*, Corollary 1.3.3b (mod Theorem 1.3.4). линейность* и суперкоммутативность* произведения Уайтхеда

    Топология зацеплений и конфигурационных пространств (весна 2024), среда, 11.05-12.10, 525ГК.
    Если источник не указан, то задание по [DMNS]; cледите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг! Окончательны только задания с жирными датами. Для АМ и ИЖ задачи обсуждаются только с теми и засчитываются только тем, кто сделал все задачи по топологической комбинаторике на тот же день (не на повторение), кроме, быть может, двух.
    К 10,14,17.02 (только для АМ и ИЖ). По бумажной версии [S20]: 14.4.2abd, 14.4.3ab, 8.7.1ab, 8.7.2ab, 8.7.5a, 8.8.1abc, 8.8.2b. По [S]: 4.7.1a и 5.3.9 (без доказательства тройной зацепленности), 4.7.1a (доказательство тройной зацепленности) 5.4.2, 5.2.1, 5.2.2, 5.3.2 (2ab, 4ab), 5.2.3(1<=>3), 5.2.5a, 5.2.7a, 5.3.2 (2ab, 4ab), 5.4.2. По атласу: 2.1ab, 5.1bc, 5.1e (well-defined, for l=1, mod2).
    К 21.02 (только для АМ и ИЖ), по бумажной версии [S20]: 8.8.1ac, 8.8.2b и по [S]: 5.2.7a, 5.3.2 (2ab, 4ab).
    К 21.02: 2.2, 2.3a, 2.4*, прочитайте \S3, 6.1ab.
    К 28.02 (только для АМ и ИЖ), по бумажной версии [S20]: 8.8.1c [P, \S3] и по [S]: 5.3.3, 5.3.4a.
    К 28.02: 6.2ab, 7.1, 7.2, 7.3ab, 7.4ab.
    К 6.03 (только для АМ и ИЖ), по [S]: 5.3.4bc, 5.3.7, 5.3.9* (доказательство тройной зацепленности), 5.4.1ab и и по атласу: 2.1ab и по бумажной версии [S20]: 8.8.1de, 8.8.2acd* (для п. (a) сформулируйте и~используйте без доказательства гладкий аналог лемм [S, 5.3.7 и 5.4.1b]).
    К 6.03: 7.6, 7.5ab, 7.7ab*
    К 13.03 (только для АМ и ИЖ), по [S]: 5.2.4a*, 5.2.7b, 5.3.1abc, 5.3.5, 5.3.6a, 5.3.6b (4.3.4bc)

    Аннотация, программа и литература курса для НМУ (весна 2022).
    В курсе были разобраны п. 1-3 и 7 программы, а также материал доклада "Invariants of graph drawings in the plane" на семинаре "Динамические системы" на матфаке ВШЭ.

    Гомотопическая топология с алгоритмической точки зрения (весна 2020). Аннотация, программа и литература.
    То же, что по курсу <<Введение в топологическую комбинаторику>> по [S]. И по [S20]: 2, 3, 4b, 5c, 6ab из п. 3.1 и 3.10.2, 3.10.3с, 4.3.3b*, 4.4.2ab*, 8.6.2ab*, (3.2.3a с доказательством)*, (4.2.4a для заузленных окружностей)* и 10.1.3, 10.1.7*, 14.3.3ab* и прочитайте п. 10.2 и 10.3.1.ab, 10.3.5 и 13.4.2cd*, 13.4.3ab и 5ab, 6a-g, 7a-e из п. 8.1 и 8.2.4a*b*c*, 1a-h, 2a-g, 3, 5e*f*, 6, 7 из п. 8.2 и 8.3.1a*b, 14.9.1ac, 14.9.2a (для PL многообразий и отображений), 8.7.5a, 8.7.8abc*d*e*. Утверждениями 8.2.4c, 8.2.5ef, 8.3.1a можно пользоваться в других задачах этого и следующего заданий без доказательства. И 8.3.1a*b, 8.7.8f*g*, 8.7.4b*, прочитайте п. 13.1, 13.1.1abc, 13.2.1f, 13.4.1 и 13.4.2b (с заменой векторных расслоений на I-расслоения), 13.2.3a*b*, 13.4.2c, 13.4.3ab. 13.4.4a (первая фраза), 13.3.1a*b*, 13.4.4b*c*, 4.1.6.b*, 4.9.2b*, леммы 6* и 7*; F определен на стр. 8.


    Классификационные проблемы в дифференциальной и гомотопической топологии

    Курс ориентирован на студентов НМУ и магистрантов ФПМИ МФТИ, но его могут изучать все желающие, справляющиеся с домашними заданиями. Занятия дистанционные по субботам с 10.02.2024, 17:30-19.10. Ссылка для дистанционного участия в занятии предоставляется тем, кто заранее отметил в гуглшите решенные задачи к этому занятию. Ссылку на гуглшит попросите по skopenko@mccme.ru.
    Аннотация и программа. О занятиях и экзамене/зачете (прочитайте к 5-10.09). Как ставится оценка за экзамен/зачет? Успехи студентов.

    Домашние задания (Если источник не указан, то задание по электронной или бумажной 2020 года версии книги [S20]. Следите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг! Окончательны только задания с жирными датами.)
    К 10.02, по атласу: Example 2.1ab, Example 5.1bc*e*(well-defined, for l=1, mod2) и по [S20]: 14.4.2abd, 14.4.3ab.
    К 24.02 по [S20]: 15.1.2, 15.1.6, 15.1.7a, 15.2.1 и по январскому занятию, ktori_link.pdf (используя без доказательства то, что там использовано без): Lemma 3.3 (the first three equalities), Lemma 3.4a*, Lemma 3.3 (H\lambda_-)* (далее используйте без доказательства), Theorem 2.2, (how does the Hopf invariant of a map S^3\to S^2 change under the composition with the symmetry of S^2 w.r.t. a hyperplane containing the equator), Lemma 3.5.
    К 26.02, по ktori_link.pdf (используя без доказательства то, что там использовано без): Lemma 2.4, Corollary 2.3ba. По [Sk15, \S3]: 2.1ab* for p=0 (=[Ha66A, 1.3-1.7]).
    К 4.03, По [Sk15, \S3]: 2.1b, 2.2 for p=0 (=[Ha66A, 1.3-1.7]). По атласу: 2.2(well-defined)(homomorphism), 3.2a(well-defined; use without proof the existence of a homotopy inverse)(homomorphism), 3.2bcd, 3.4.
    К 11.03, по [S20]: 15.1.6, 15.6.5ab* (подсказка: [Sk20e, Sketches of proofs of (a1,b1) in p. 6]), 15.6.6ab. По ktori_link.pdf (используя без доказательства Theorem 2.2 и то, что там использовано без): Lemma 3.4b, Theorem 2.6abcd

    Гомотопическая топология и ее приложения (осень 2023)
    Аннотация и программа. Для изучения курса достаточно владеть материалом [S20, \S\S 3, 8.1-8.3, 8.7, 14.1-14.3]. Литература: [S20, \S\S 8, 14, 15], \S3.
    Домашние задания (список сокращен) (Если источник не указан, то задание по электронной или бумажной 2020 года версии книги [S20].)
    Ко 2-16.09: 8.3.2e, 8.8.2d, 14.4.1abc*d, 14.4.2c, 14.4.3cd, 14.6.2 из бум. версии [S20] (подсказка: [DNF, ч.2, \S23.1]) и Theorem 4.1 (инъективность для p=q и PL случая; используйте теорему о незаузленности сфер, теорему о конкордантности и изотопии, и лемму о поглощении) по атласу. Theorem 4.1 (инъективность для PL случая; используйте то же) по атласу и Theorem 2.6c for closed manifolds and 2m>3n+2 (mod леммы о поглощении) и Theorem 2.6c for closed manifolds (mod леммы о поглощении).
    К 24.09-12.10:: 14.5.7ab, 14.6.3abc, 14.6.1-1, 14.6.4ab(сюръективность)c (подсказка: [DNF, ч.2, \S23.2,3]) и 8.8.3ab, 14.5.3e, 14.6.4b(инъективность), 14.8.1ab, 14.8.2abc, 14.8.3abcd, 14.8.4abc.
    Ко 28.10-23.11: по ktori_link.pdf. мотивировка к статье.
    К 30.11-14.12: по [Sk05']: (define the attaching invariant of knots S^n\to S^d with trivial normal bundle), Lemma 3.1 (the attaching invariant is a homomorphism), Symmetry Remark in \S3.
    Доп. материал:8.7.8abcdef, 14.8.4a* и 2cd, 3ab, 4b, 5, 8ab, 6, 7, 4acd из п. 14.7 и 1abc, 2abcd, 3abcdef, 4ab*, 5ab из п. 14.5, 14.5.6, 14.5.7ab, 14.5.9bcdefg, 14.5.10ab, 14.6.4de

    Через гомотопическую топологию к сверхтекучести. Мастер-класс (осень 2018), ориентированный на студентов ФОПФ. Литература: [S], [S20, параграф 8.7] и [MM95, RSS05] из [S20].


    Конкретная дифференциальная топология

    Курс проходит по средам с 7.02.2024, семинар 10.45-12.10, лекция 13:55-15:20, 525ГК. Курс проводится совместно с А.Д. Руховичем (с весны 2024). Курс ориентирован на студентов 2 курса ФПМИ МФТИ, но его могут изучать все желающие, справляющиеся с домашними заданиями. Аннотация и программа. О занятиях и экзамене/зачете (прочитайте к 5-10.02). Как ставится оценка за экзамен/зачет? Литература: [S20, параграфы 4, 6, 8, 9, 10].
    Каждое домашнее задание, кроме первого, состоит из материала предыдущей лекции (см. примеры ниже). Оно разбирается в начале того занятия, к которому задано. Каждая следующая лекция рассчитана на тех, кто разобрался с материалом предыдущих. Достаточные предварительные умения: владеть основами математического анализа нескольких переменных, основами топологии двумерных поверхностей, и гомотопической классификацией отображений окружности в себя (нужно именно классифицировать, а не выводить классификацию из теорем, доказательств которых Вы не знаете) [S20, \S\S 2, 3, 4.1]; проверьте себя, доказав теоремы 3.1.2, 3.1.3, 3.1.6, 3.1.7ab, 3.6.3(Re,Sp), 3.6.4cd, 3.7.2cd, 3.10.1c, 3.10.2, 3.11.3c, 4.1.1a, 4.2.1ab, 4.3.1ab, 4.4.2a, 4.5.1abd, 4.5.2a-g (можно использовать без доказательства 3.9.2a''b'). Эти предварительные умения одинаковы для данного курса и для курса Дифференциальная геометрия и топология. Они покрываются частью курсов Введение в топологию и `Кратные интегралы и теория поля'.
    Общие критерии математической культуры (на занятиях и на экзамене) такие же, как по дискретному анализу (стр. 3) и в типичном пояснении к контрольной работе.
    Попытайтесь решить следующие вводные задачи к первому занятию 7.02! Это поможет Вам решить, изучать ли этот курс. This trying is also sensible if you are sure that you will take the course. Not succeeding in solving these problems does not mean that you shouldn't take the course. The solutions will be discussed in the first lecture. Это поможет лектору сделать первое занятие доступным и интересным. Это также будет Вашим первым вкладом в экзамен. 4.2.2, 4.1.1a, 4.2.3, 6.1.2a, 6.6.1a, 8.1.1a, 8.1.8a(для n=3) из [S20] и 1.5ab, 1.6 из [DMNS].
    6.6.1a. Регулярные окрестности изоморфных графов в~одной поверхности не обязательно гомеоморфны.
    Примеры красивых теорем, которые будут изучаться: 4.6.2, 6.1.2b, 6.7.7, п. 8.1, п. 8.5, 9.1.3-9.1.5 из [S20].
    Вот параллельный курс Дифференциальная геометрия и топология асп. М.В. Блудова.
    С 1.03 студенты могут выбрать вариант `без *'. Те, кто выберут этот вариант, пишут все контрольные работы, начиная со 1.03, по варианту, не включающему материал со *, и более простому. При этом начиная с 1.03 им не засчитываются устные домашние задачи со *, и идеальные письменные решения задач со *. Формула для оценки за семестр `со *' и `без *' одинаковая. Однако тем студентам, у которых меньше времени на изучение курса (в частности, тем, которым приходится тратить больше времени на наработку математической культуры, необходимой для его изучения), любую оценку проще получить по варианту `без *'. Продумайте Ваш выбор до 1.03, ибо после получения варианта на контрольной 1.03 изменить Ваш выбор нельзя. Cтуденты, выбравшие вариант `без *', на части семинаров будут разбираться с домашними заданиями, консультироваться, писать РДП, писать контрольную (когда она будет). Для студентов, выбравших вариант `со *', эти части семинаров будут проходить на более высоком уровне (в частности, с более высокими требованиями).

    Домашние задания (Если источник не указан, то задание по электронной версии книги [S20]. Бумажная версия книги [S20] доступна в библиотеке МФТИ - просите 2-е издание 2020 года - но нумерация в ней может отличаться. Следите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг! Окончательны только задания с жирными датами. Перед решением каждого задания обновите pdf-файл книги.)
    К 14.02: 4.2.3, 4.2.4b*, 4.4.2b, 4.4.4ab, 5.7.1abcd, 5.7.2a, 5.7.3a*, 6.2.1abc, 6.2.2abcd*, 6.2.3bcd и 1abb'c, 2, 3, 4ab из п. 6.3.
    К 21.02: 4.3.1cde*f, 4.4.1a*, 4.5.3ab и 5abc*, 6abc*, 7abc* из п. 6.3 и 6.1.2b.
    К 28.02: 4.3.1g, 4.3.2a*, 4.1.2a*, 4.5.3c, 4.5.5ab, 4.5.6
    По гладким (под)многообразиям. По [S20], бумажной версии: 8.4.1abcde (см. определение сферы с ручками в п. 2.1), 8.4.2 (4.5.1abcdf, 4.5.2a, 4.5.4*, 4.6.1; напишите номера задач, аналоги которых сделали), 8.4.4c, 8.4.3 a(гомеоморфность)* a(подмногообразие) b* c*(подмногообразие). По п. 5.2: 0, 1abcde, 3abcde*f*.
    Примечания. Утверждения типа 8.1.8a на лекциях я предваряю вопросами типа `существует ли ненулевое касательное векторное поле на $S^3$'? Но в книгу это не включаю.
    Диффеоморфизмы ни для чего в этом курсе не нужны (см. замечание в конце п. 4.6).
    Возможно, серьезное изучение гладкой формализации понятия степени (после гораздо более простой кусочно-линейной формализации) - это то, что придется удалить из программы (наступив на горло своей песне), чтобы не перегружать студентов, а также не жертвовать более ярким материалом ради более технического.

    Q: В третьем семестре я не изучал курс (1) Введение в топологию. Разумно ли сейчас изучать курс (2) дифференциальной топологии?
    A: Без изучения какого-то курса изучение курсов, которые на него опираются, будет вредной тратой времени. (Как, например, изучать курс математического анализа без предварительного изучения графиков линейной функции и квадратного трехчлена.) Поэтому проще всего для Вас было бы сдать оба курса через год (если Вы второкурсник, то с небольшими доп. заданиями для третьекурсников - учебная часть такое разрешала).  Более трудоемкий вариант вариант - изучить в ближайшие 2-4 недели необходимый материал (конкретные задачи указаны выше) курса (1) - самостоятельно плюс по доп. занятиям в начале курса  (2).  Если этот вариант нравится, то решайте задачи по (1) из списка и приходите на первое занятие курса (2) -  там можно обсудить подробнее. 

    Линейно-алгебраический метод в топологии: теория гомологий: аннотация и программа; видеозаписи занятий (2021).
    Домашние задания 2023 года (список сокращен) (Если источник не указан, то задание по электронной версии книги [S20]. Задачи со * обсуждаются только с теми и засчитываются только тем, кто решил все задачи без *, кроме не более чем двух.)
    К 20.09: 6.3.7b* (контрпример для не локального евклидовых гиперграфов), 6.3.8abc, 6.4.1abc, 6.4.2a, 6.4.3* и 1abc, 2, 3a*, 4ab, 5ab из п. 6.5.
    К 27.09: 5.9.1ac (по эл. версии), 6.5.3ab, 6.5.6a, 6.7.1a' (пересечение ребра \sigma и ребра \tau^*, двойственного к ребру \tau, равно \delta_{\sigma\tau}), 6.7.1a(без симметричности), 6.7.1bc.
    К 4.10: 1d(определите `естественные' отображения $f$ и $f^*$), 2ab, 2d (форма пересечений симметрична), 3a (достаточно нестрогих рассуждений), 4, 5abcd*ef из п. 6.7 (здесь и далее используйте без доказательства утверждение 6.7.5d для других утверждений) и 6.5.6a, 6.6.1a.
    К 11.10: 2.2.5d*, 6.6.1b* (достаточно нестрогих рассуждений), 6.6.2, 6.7.2c, 6.7.3b*, 6.7.5g, 6.7.6, 8.1.1b, 8.1.2 (напишите номера задач, аналоги которых сделали), 8.1.3 (равносильность).
    К 18.10: по электронной версии 8.1.2(3.7.2d), 8.1.3(доказательство), 8.2.1eg, 8.3.6abcd, 8.3.7abcd, 8.4.3abce, 8.4.4, 8.4.5, по бум. версии 10.6.8*.
    К 25.10: по электронной версии 8.2.1g, 8.2.2c и 3e, 4, 5, 6abd из п. 8.4 (утверждением 8.4.5 можно пользоваться в других задачах без доказательства) и 8.1.3(доказательство), 8.1.5ab, 8.1.8(b=>a) и по [KS21e]: read definitions before Addendum 2.4.3, 2.4.3a ( for any k-face s in K-T there is a unique non-zero k-cycle in H_k (T U s) ), 2.5.4ab*c*d и KxI (K стягиваем <=> KxI стягиваем), DHxI (DHxI сдавливаем)*,
    К 1.11: по электронной версии 8.4.5, 8.4.6abd, 8.4.7, 8.1.4, 8.1.8b (утверждением 8.4.5 можно пользоваться в других задачах без доказательства) и 4.5.1f, 4.5.2bc (см. определение в конце п. 2.1), 4.5.4, 4.6.3i, 4.7.1abcdef, 4.7.2 (предполагая корректность).
    К 8.11: по электронной версии 8.4.5, 8.4.6abd, 8.4.7 (равносильность) (утверждением 8.4.5 можно пользоваться в других задачах без доказательства), 4.5.1f, 4.5.2bc (см. определение в конце п.2.1), 4.5.4, 4.6.3i, 4.7.1f, 4.7.2 (предполагая корректность), 4.8.1abc и
    К 15.11: по электронной версии 8.4.5, 8.4.6abd, 8.4.7 (равносильность) (утверждением 8.4.5 можно пользоваться в других задачах без доказательства), 4.5.4, по бумажной версии 4.8.1abc, 4.8.2abc, 4.8.3ab, 4.6.1, 8.4.2 (4.6.1), 8.3.2abd (в определении шары D_1,...,D_{k+l} не существуют, а наперед заданы; в (d) замените (k+1,l+1) на (k-1,l-1)), 8.3.1a.
    К 22.11: по электронной версии 8.4.5, 8.4.6abd, 8.4.7 (равносильность) (утверждением 8.4.5 - и, тем самым, корректностью определения степени - уже нельзя пользоваться в других задачах без доказательства), 4.5.4, по бумажной версии 4.8.3ab, 4.6.2, 8.4.2 (4.6.1), 8.3.2abd (в определении шары D_1,...,D_{k+l} не существуют, а наперед заданы; в (d) замените (k+1,l+1) на (k-1,l-1)), 8.3.1a, 8.6.1abc*d*c'*d'*, 8.6.2abcdef*, 8.5.2, 8.5.1a, 8.5.3ac. Теоремами 8.3.1a и 8.6.2f можно пользоваться в других задачах без доказательства.
    К 29.11: по электронной версии 8.4.6abd, 8.4.7 (равносильность), 4.5.4, 8.10.3abс* и по бумажной версии 8.3.2abd (в определении шары D_1,...,D_{k+l} не существуют, а наперед заданы; в (d) замените (k+1,l+1) на (k-1,l-1)), 8.3.1a, 8.6.1b, 8.6.2abcdef (в f достаточно картинок для тетраэдра), 8.5.2, 8.5.1a, 8.5.3ac*, 8.7.4b (по бумажной версии; в 4b можно пользоваться без доказательства результатами задач 8.7.6abc), 9.4.1, 9.4.2a. Теоремами 8.3.1a и 8.6.2f можно пользоваться в других задачах без доказательства. Можно пользоваться без доказательства эквивалентностью ориентируемости следующему. Ориентацией n-мерного векторного пространства V над R можно назвать невырожденную полилинейную кососимметричную форму V^n\to R. Многообразие N называется ориентируемым, если существует семейство ориентаций касательных пространств к N в точках x\in N, `непрерывно зависящих' от точки x\in N. В начале п. 9.4 опечатка: вместо (234) и (124) нужно (243) и (142).
    К 6.12: по бумажной версии 8.3.1a, 8.5.3ac*, 8.6.3a*b*c* и и 1, 3ab, 4, 5, 6a из п. 9.4 и 9.1.1a, 9.1.2ab, 9.2.2abcdef (deg f четно), 9.3.1a.
    К 13.12: 9.3.1b (эвристика), 9.3.2a, 9.2.1 (вывод из погружаемости в R^3 окрестности подмногообразия F в M) и 2a, 3abc, 4ab, 5ab из п. 9.7, 9.5.1, 10.4.0 (дайте строгое определение клеточного разбиения, двойственного к триангуляции; подсказка: используйте барицентрическое подразбиение), 10.4.2bd*(только для двойственного)c*, 10.5.2a, 9.4.2b*, 9.4.6b*.
    К дифф. зачету 20.12: 9.7.3c, 9.7.4ab, 9.7.5ab, 9.5.1, 10.4.0, 10.4.2b, 10.5.2(a-f)g* и 1, 2ab, 3a*, 4a* из п. 10.6 и 10.7.0 (пересечение k-симплекса \sigma и клетки \tau^*, двойственной к k-симплексу \tau, равно \delta_{\sigma\tau}), 10.7.1abcd* (для n=3=s+1), 10.8.1ab, 9.1.3.


    О параллельных курсах по одной теме

    Сотрудничество (а не конкуренция) между преподавателями, ведущими разные (параллельные) курсы по одной теме, вызывает уважение студентов, поскольку позволяет преподавателям улучшить качество их курсов, а студентам грамотно выбрать один из них.
    Вот предложения / решения о необходимых соответствиях и допустимых несоответствиях в разных курсах по одной теме, которые мы ведем (из них 1, 1A, 2, 3 приняты в обсуждениях с
    М.В. Блудовым и А.Д. Руховичем, и уже исполнены). Они возникли в обсуждениях некоторых преподавателей топологических курсов кафедры дискретного анализа ФПМИ МФТИ, но не имеют статуса решения кафедры. Приветствуются комментарии об удачности или неудачности этих предложений и решений (и альтернативные предложения) - как от преподавателей, так и от студентов. Эти предложения и решения можно использовать как план для обсуждений с преподавателями других курсов (желательно не только до начала семестра, но на этапе решения, какие курсы и кем читаются).
    (0) Делать один совместный курс по общей программе (вместо разных параллельных курсов) мне представляется (как правило) предпочтительным. (Это реализовано, например, в курсе Введение в топологию.) Впрочем, подходить к обсуждению этого можно в ходе обсуждения параллельных курсов.
    (1) Экзамены по обоим параллельным курсам будут проходить по общим критериям математической грамотности, адекватным теоретичности этих курсов. Эти критерии совпадают с критериями на стр. 3 (или близки к ним). Эта информация публикуется на страничках обоих курсов.
    (1A) Экзамен по курсу принимают не те, кто его преподает (коль скоро на это получается найти экзаменаторов). В частности, мы с А.Д. Руховичем приглашаем преподавателей близких курсов принимать дифф. зачет / экзамен по нашим курсам; М.В. Блудов приглашает нас с А.Д. Руховичем принимать экзамен по курсу Дифференциальная геометрия и топология.
    (2) Предварительные программы по обоим курсам выложены в интернет со ссылками друг на друга.
    (3) Мы проводим в начале общие дополнительные занятия по темам, (якобы) изученным в тех курсах, на которые наши параллельные курсы опираются. Например, здесь есть список умений по математическом анализу и по введению в топологию, необходимых для каждого из курсов дифференциальной топологии (он будет отредактирован в ближайшие дни с учетом пожеланий М.В. Блудова). Далее наши курсы редактируются с учетом результатов дополнительных занятий. По моему опыту, часто многие студентов мало что умеют по уже изученному ими курсу (например, не могут написать параметрическое уравнение поверхности, заданной кинематически, не могут дать определение дифференцируемости отображения из сферы в сферу, не могут доказать, что прообраз точки при невырожденном гладком отображении является подмногообразием). Такое обычно происходит тогда, когда программы некоторых этих используемых курсов слишком амбициозны и недостаточно реалистичны (конечно, недостаточная добросовестность студентов тоже бывает причиной). Боюсь, по нашему курсу Введение в топологию у некоторых студентов тоже могут быть проблемы с использованием части материала в дальнейшем - несмотря на весьма скромную программу (так ли это, выяснится в процессе подготовки к дополнительному занятию).
    (4) М.В. Блудов решил не проводить в начале общие занятия, одно по его лекции, другое по моей. Но с другими преподавателями это можно обсудить. Спросим студентов, нравится ли им это предложение?
    (5) Продолжаем обсуждать конкретные изменения (в основном сокращения) в программах курсов. Естественно, окончательное решение по программе курса за его лектором.

    Курс гомотопической топологии в 4 семестре ФПМИ, проводимый Д.М. Скуридиным, параллелен курсам (2,4) из списка в начале этой страницы. Программа курса не представлена лектором на обозрение студентов перед началом семестра; я предложил лектору представить программу и поставлю здесь на нее ссылку, когда это будет сделано. Необходимые соответствия и допустимые несоответствия в наших разных курсах по одной теме не обсуждались до начала семестра; я предложил лектору их обсудить и укажу здесь результаты, когда это будет сделано.


    Введение в топологию (дискретные структуры и алгоритмы в топологии)

    Курс проводится совместно с А.Д. Руховичем (с осени 2022). Курс проходит по средам с 6.09.2023, 9.00-12.10, в 9242 на Тимирязевской. Курс ориентирован на студентов 2 курса ФПМИ МФТИ (а часть программы без * --- на студентов ФОПФ+ФУПМ), но его могут изучать все желающие, справляющиеся с домашними заданиями. Необязательные консультации и досдача задач: среда 14.15-15.00. Договориться о консультациях с Алексеем Дмитриевичем можно по ссылке t{.}me{/}+HLHpbzp54VwzY2Uy. Успехи студентов.
    Аннотация и программа. Для изучения не требуется предварительных знаний. О занятиях и экзамене/зачете (прочитайте к 6-13.09). Как ставится оценка за экзамен/зачет? Литература: [S20, параграфы 1-5], [S, параграфы 1, 4], [CR, глава 5], [A, BE, P, S14, S89], Видеозаписи (2023). Видеозаписи (2018).
    Примеры красивых теорем, которые будут изучаться: 1.1.2, 2.2.9, 2.3.2, 2.3.4, 2.3.5, 2.3.7, 3.1.1, 3.1.2, 3.1.3, 3.1.5c, 3.6.3, 3.6.4, 4.1.1, 4.1.2 из [S20] и 1.1, 1.4 из [S14].
    Q: Задачи, как я понял, по дискретному анализу.
    A: Рад, что задачи по топологии показались Вам задачами по дискретному анализу. Стиль нашего курса - начать с заведомо интересного студентам материала и развивать этот интерес, а не загружать студентов материалом, который им неясно зачем.
    С 27.09 студенты могут выбрать вариант `без *'. Те, кто выберут этот вариант, пишут все контрольные работы, начиная со 27.09, по варианту, не включающему материал со *, и более простому. При этом начиная с 27.09 им не засчитываются устные домашние задачи со *, и идеальные письменные решения задач со *. Формула для оценки за семестр `со *' и `без *' одинаковая. Однако тем студентам, у которых меньше времени на изучение курса (в частности, тем, которым приходится тратить больше времени на наработку математической культуры, необходимой для его изучения), любую оценку проще получить по варианту `без *'. Продумайте Ваш выбор до 27.09, ибо после получения варианта на контрольной 27.09 изменить Ваш выбор нельзя. Cтуденты, выбравшие вариант `без *', на части семинаров будут разбираться с домашними заданиями, консультироваться, писать РДП, писать контрольную (когда она будет). Для студентов, выбравших вариант `со *', эти части семинаров будут проходить на более высоком уровне (в частности, с более высокими требованиями).

    Домашние задания (Если источник не указан, то задание по электронной версии книги [S20]. Бумажная версия книги [S20] доступна в библиотеке МФТИ - просите 2-е издание 2020 года - но нумерация в ней может отличаться. Следите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг! Окончательны только задания с жирными датами. Перед решением каждого задания обновите pdf-файл книги.)
    К 6.09: 1.4.1a*, 2.2.1ab*, 2.2.2a, 2.2.3a, 2.3.2ab из [S20]. Прочитайте первую фразу в п. 2.2. Определения ленты Мебиуса, бутылки Клейна и тора можно найти в п. 2.1 (или в Википедии). Посмотрите мультфильмы про тор и Cutting a Moebius strip in half (and more). Попробуйте программу A polygonal line avoiding an obstacle.
    К 13.09, Наглядные задачи о поверхностях. Применения неравенства Эйлера: 2b, 3b, 4ab, 5*(две) из п. 2.2 и 2cd*, 3abc, 5c, 1ab из п. 2.3 и 1ad*, 2, 3a из п. 2.4 (в 2.3.5с и 2.4.3a используйте без доказательства неравенство Эйлера 2.5.3a) и 1ca*, 2ab, 6b' из п. 1.4 и 1.5.1*. Определение сферы с ручками можно найти в п. 2.1 (или в Википедии), а букета циклов - на рис. 1.2.1. Попробуйте программу Boundary circles of disc with ribbons.
    К 20.09, Доказательства формулы Эйлера для плоскости и неравенства Эйлера для поверхностей: 2сd, 5, 6ab, 4, 3ba*, 7a* из п. 1.4 и 1.3.3c (далее используйте без доказательства), 1.3.3d, 2.2.5* и 3b (только K_{5,4}), 4a, 6ab, 8a, 7(для тора) из п. 2.4 (используйте без доказательства неравенство Эйлера 2.5.3a) и 2.5.1bc (формулировка + нестрогое обоснование), 2.5.1de и из [S, п. 1.3]: 5a*. Определения плоского графа и его грани можно найти в п. 1.3 (или в Википедии). Посмотрите мультфильмы `Euler's Formula and Graph Duality' и `A map on the torus that cannot be colored in 6 colors'
    К 27.09, Утолщения. Краевые окружности. Гомеоморфность поверхностей: 1.5.2abcd, 1.5.3aa'bc*, 2.3.4, 2.5.2ab, 2.5.3a, 2.7.1a, 2.7.2abd, 2.7.3a, 1.6.1ad*e*, 1.6.2a*b*, 2.4.8b*, 2.4.7* и из [S, п. 1.3]: 6a*. Посмотрите мультфильм про крендель и про сферу с ручками.
    К 4.10: 2c*d, 3b, 5, 6ab*, 7ab'bc* из п. 2.7 и 1.6.4ac, 2.8.1a, 4.6.3abcde, 5.2.2, 5.2.3ab, 1.6.1f*g*, 1.6.3(bI)*(bE)*a* и [S, п. 1.3.6b*].
    2.8.3(a) Нарисуйте на диске с~$m$~лентами Мёбиуса $m$~замкнутых несамопересекающихся попарно непересекающихся кривых, объединение которых не разбивает его.
    2.8.5(a) Лента Мёбиуса с~ручкой гомеоморфна ленте Мёбиуса с~вывернутой ручкой.
    К 11.10: 1.6.5, 2.7.7b' (исправьте ошибку, не замеченную при разборе у доски), 2.7.7b, 2.7.8ab, 4.6.3gi*, 5.3.2abc, 5.4.2ab, 5.4.3ab, 5.4.1abcde, 5.3.3 (используйте без доказательства утверждение 5.5.1d), 1.1.2*, 2.5.1d'*, 2.8.1d*, 2.8.3a*, 2.8.5a*, 2.6.1b*. Посмотрите мультфильмы Real projective plane and Moebius strip, The cross-cap* и Moebius strip and Cross-cap*.
    К 18.10: 5.4.1gi*, 5.5.1abcd*, 5.3.3, 5.3.1a, 5.2.3d, 5.7.1abcd, 5.7.2a, 1.1.2*, 2.6.1c*, 2.6.2a*b*a'*b'*, 2.6.3a*a'* и по [S]: 1, 2, 3a, 4, 6* из п. 4.1.
    К 25.10: по [S]: 1, 2ab, 3, 4ab, 5, 6 из п. 4.2 и 1.3.4, 1.5.9abc, 4.3.1, 4.3.2, 4.3.3ab и по [S20]: 5.3.3, 5.2.3d и 3b*, 4d*, 5(bE)*a* из п. 2.6 и по [DNS]: 1.2*, 1.6a*b*, 5.6b*a*.
    К 1.11: по [S20]: 5.3.3, 5.2.3d и по [S]: 4.2.4c*, 4.3.3acde, 4.3.4, 4.4.1*, 4.4.3a*, 4.5.1, 4.6.2a* и по [S20u]: 1.1ab*c, 1.3, 2.1ab*c, 3.2, 3.3, 4.2, 6.1abcde, 6.2*, 6.3.a*, 5.1a*b* (используйте без доказательства теорему 3.4). Посмотрите первую часть лекции и вторую часть рекламы. Готовьтесь к контрольной работе на 15-20 минут, прорешивая задачи и прочитав типичное пояснение (а дальше уж и без предупреждения).
    К 8.11: по [S]: 4.2.5b, 4.5.1, 4.4.3a* и по [S20]: 1, 2abc, 3abc, 4a из п. 3.2 (в 4a примеры без доказательств), 3.3.1ab и 1, 2ab, 3abc, 4a из п. 3.4 и 2.6.6*, 2.6.7a*b*, 2.6.8(bE)*a*, 2.4.5* и по [S20u]: 5.1b*, 5.2a*b*. Посмотрите мультфильм о векторных полях.
    К 15.11: 3.2.2d, 3.2.3d и 4bc, 5ac, 6ab, 7ab из п. 3.4 и 3.5.1a*bcdf, 3.5.2bcde, 3.5.3ab (доказывайте непрерывность, приводя формулу \delta(\epsilon)=...) и 2.6.5(bI)*, 2.6.8(bI)*, 2.7.6b*, 2.7.9b*a*с*, 3.2.4b* (в 4b* примеры без доказательств) и [Sk14, 2.4a*b*]. Попробуйте программу Homeomorphism between ribbon graph and sphere with handles and holes.
    К 22.11: 3.2.2d, 3.5.4cd, 3.5.5ab, 3.1.5abcd*e, 3.6.1abcd, 3.6.2ab, по 3.6.3 укажите минимальные импликации между 3.3.1c, 3.4.5b, Re, которые Вы доказали (минимальность означает отсутствие тех импликаций, которые получаются по транзитивности), 3.6.3Sp(докажите), 3.5.3c*, 2.8.2a*b*, [BMS, 5.1*, 5.2*, 5.3.a*b*c*]. Посмотрите кино о лемме Шпернера в мат. экономике.
    К 29.11: 3.5.5abcd, 3.6.2ab, 3.6.3 (нарисуйте граф с вершинами 3.1.2, Re, Sp, RePL*, BrPL*, Br\epsilon*, и ребрами - минимальными импликациями, которые Вы доказали; минимальность означает отсутствие тех импликаций, которые получаются по транзитивности; импликации, включающие RePL, BrPL и Br\epsilon, со *), 3.6.4 (отчет по 3.6.4 аналогичен 3.6.3, вершины - 3.1.3 и b,c,d), 3.7.1abcd, 3.7.2a, 3.5.4e*, 5.4.4b*, [Sk14, 1.1'*, 2.6*, 1.2*, 1.2'*]. Посмотрите кино о теореме Борсука-Улама и короткометражку о гомотопии. Готовьтесь к контрольной работе на 15-20 минут, прорешивая задачи и прочитав типичное пояснение (а дальше уж и без предупреждения).
    К 6.12: 3.6.3 (Sp=>Re; подсказка: при наличии ретракции r:D\to dD треугольника D поставьте в соответствие вершине x триангуляции одну из вершин треугольника D, ближайших к r(x)), 3.7.2bd, 3.8.1abc, 3.9.1abcd, 3.9.2a' (тому, кто доказал лемму о поднятии пути 3.9.2a', четко сформулированные версии леммы о поднятии гомотопии 3.9.2b можно использовать без доказательства), 3.9.2cd, 5.4.4b*, 5.4.5*, 3.11.2a*b*c*, 3.11.3a*b* и [Sk14, 1.2'*, 2.8*]. Посмотрите первую половину немого кино о накрытиях.
    К 13.12: 3.7.2c, 3.9.2a'a''ab'be (лемму о поднятии гомотопии 3.9.2b уже нельзя использовать без доказательства), 3.9.3abc, 3.9.4ab*, 3.4.5b (докажите), 3.6.4b (докажите), 3.1.4b, 3.10.1c, 5.7.3a*, 3.11.3c*d*e*, 3.1.1*, 3.1.5f*, 3.1.6* и [Sk14, 2.8*, 1.5*].
    К экзамену 10.1 (по лекции 13.12 + повторение; можно обсудить на необязательной консультации; предложения по ее времени, согласованные со студентами, просим старост прислать не позже, чем за 3 суток до самого раннего предложения): 3.9.2a'a''ab'b, 3.10.1ab, 3.10.2, 4.1.1a, 4.2.1, 4.2.2, 4.3.1abcde*, 4.2.3b*, 3.11.1a*b*, 3.11.3d*e*, 3.1.7a*b*, 3.7.2d, 3.8.1c, 3.9.2ab, 3.1.2, 3.1.3, 3.1.4b, 3.6.3.Re,Sp (докажите), 3.6.4bcd (докажите), 3.10.3a*b*, 3.11.2b*, 3.11.3b*c*d*e*, 3.1.1*, 3.1.6*, 5.4.5* и [Sk14, 2.8*, 1.5*].
    Экзамен 10.01 состоит из письменной части (10.00-10.30 для всех) и устной части 90 минут (10.35-12.05; возможно, часть студентов без * будет приглашена на 12.05-13.35; эти 90 минут на все - подготовку, ответ, заслушивание объяснений экзаменатора, что и почему неправильно). Общие критерии такие же, как на дискретном анализе (стр. 3) и в типичном пояснении к контрольной работе. БУЛЛА экзаменаторам по курсу <<Введение в топологию>> (ее разрешается посмотреть и студентам). На экзамене не будет испытаний по пунктам 1-6 программы. Плотность вероятности появления на экзамене испытаний по пунктам 11-14 программы в два раза выше такой плотности по пунктам 7-10 программы. Для выбравших курс без * не будет испытаний по пунктам без * программы, да и испытания по остальным пунктам будут полегче.


    Алгебраическая топология многообразий в интересных результатах

    Курс проходит по пятницам с 8 сентября, 17:30-19.20, ауд.304 НМУ-МЦНМО. Заранее отмечайте в гуглшите решенные задачи к каждому занятию. Ссылку на гуглшит попросите по skopenko@mccme.ru.
    Аннотация и программа. Для изучения курса достаточно знакомства с основами алгебраической топологии многообразий --- например, в объеме глав 2-6, 8 и пунктов 10.2-10.6 книги [S20]. Литература: [S20, \S\S 9-12, 16].
    О занятиях и экзамене/зачете (прочитайте эту важную информацию к 8-15.09). Как ставится оценка за экзамен/зачет? Успехи студентов.

    Домашние задания (Если источник не указан, то задание по электронной версии книги [S20]; если задачи нет в электронной версии, то по бумажной 2020 года версии. Следите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг! Окончательны только задания с жирными датами. В заданиях используйте без доказательства следующий факт и его обобщения на многообразия с краем и Z-коэффициенты: if N is a closed smooth n-manifold, P and Q are its closed smooth p- and q- submanifolds, intersecting transversely, then [P]\cap[Q] = [P\cap Q] \in H_{p+q-n}(N;Z_2)). )
    К 8.09: 11.9.2abc*de, 11.9.3abcd*, 11.4.1ab, 11.4.2ab.
    К 15.09: прочитайте п. 10.2; 10.3.1a, 10.3.3abc (mod 10.1.7), 10.4.0b (дайте строгое определение клеточного разбиения, двойственного к триангуляции; подсказка: используйте барицентрическое подразбиение), 10.4.2bd(только для двойственного)*c*, 10.7.0 (пересечение k-симплекса \sigma и клетки \tau^*, двойственной к k-симплексу \tau, равно \delta_{\sigma\tau}), 10.7.1abcd, 11.9.2bc*de, 11.9.3bcde*.
    К 22.09: 10.4.2bd(только для двойственного)c, 10.7.1bcd, 10.7.2ab, 10.8.1ab, 10.8.2ab, 11.4.1ab, 11.4.2a, 11.9.3e* (mod 11.2.3) и 1, 3 (подсказка), 2(своб.части)(кручения)* 6(унимод)* из п. 10.9.
    К 29.09: 10.4.0a (дайте строгое определение граней барицентрического подразбиения, ср. п. 5.5), 6.2.3d, 10.4.0b (дайте строгое определение клеточного разбиения, двойственного к триангуляции; подсказка: используйте барицентрическое подразбиение), 10.4.2d(только для двойственного)c, 10.4.3a, 10.7.2a' (формула Лейбница; подсказка: для граней a\supset b триангуляции опишите грани барицентрического подразбиения, из которых сосотоит a\cap b*), 10.7.2ab, 10.7.3a, 11.2.2a, 11.9.4, 11.9.5a и 3 (подсказка), 2(своб.части)(кручения)*, 5ab*, 6(унимод)* из п. 10.9.
    К 6.10: 10.4.3bcd, 10.7.2b, 10.9.5a, 11.2.2a (ни a, ни b не содержат граней на границе), 11.2.3a(mod2)b(mod2), 11.9.5bcde (mod 11.2.3), 11.9.7, 11.9.8ab*.
    К 13.10: 6ab*cc'd*e, 1a (негомеоморфность S^3), 8c, 1b, 1a* из п. 11.9 (mod 11.2.3, 11.4.2c, 11.4.6ab, 11.9.6bd, 14.5.7b и 14.7.4c) и 11.4.4b.
    К 20.10: 2c*d, 3ab, 4acd, 5 из п. 11.4 (hint to 4d: use im\partial \cap \im\partial = 0, im i \cap_\partial \ker\partial = 0, and non-degeneracy of the intersection forms \cap and \cap_\partial) и 11.3.5, 11.9.9* (mod того же, что к 13.10, и \pi_j(SO_7)=0 для j=4,5,6), 16.3.2 (необходимость), 9.7.7 (первое равенство, mod 16.2.1a), 16.5.2a (mod 16.4.1a), 16.5.3a (mod 16.5.2b и 16.4.1c).
    К 27.10: 2d, 3b, 4cd, 5 из п. 11.4 и 8.3.2abcde (по бумажной версии), 8.8.1de, 8.8.2abcd, 14.6.2, 14.6.3abc (для n=2); подсказка: [DNF, ч.2, 23.1, 23.3Б] или Прасолов2004, 18.3, 18.5.
    К 3.11: 14.6.3bc*, 14.6.1-1 (mod 14.6.3c; подсказка: [DNF, ч.2, \S23.3]) и по [S22]: 2abcde, 3* (подсказка: Claim in p. 14) и по [Ka]: 7.5, стр. 195, 7.8 (mod 7.7), стр. 200, invariance of signature (mod 7.7).
    К 10.11: 14.6.3c*, 14.6.4a и по [Ka]: стр. 206, (right trefoil \ne left trefoil), (square \ ne granny), прочитайте стр. 252 и определения 10.1 и 10.2, (|q^{-1}(0)|\ne|q^{-1}(1)|)*, стр. 259(v)* и по [DNF, ч.2, \S23.4] (для !гомологической! функции Арфа \Phi, см. текст): 0a (постройте оснащенный тор, для которого \arf\Phi=1), 1a (функция Арфа - не гомоморфизм; указание: рассмотрите тор со стандартным оснащением), 1b (=1 для M\subset S^3 со стандартным оснащением), 1с* (=1).
    К 17.11: 14.6.4b (сюръективность) (инъективность); подсказка: [DNF, ч.2, \S23.2] и по [DNF, ч.2, \S23.4] (для !гомологической! функции Арфа): 0b* (вычислите инвариант Понтрягина для композиции S^6\to S^5\to S^4 гомотопически нетривиальных отображений), 1b (=1 для M\subset S^3 со стандартным оснащением), 1с (=1), 2a (independence of a symplectic basis), 3a (если g(M)\ge2, то существует \alpha\ne0, для которого \Phi(\alpha)=0), 3b (=3), 3c (если \alpha\ne0 и \Phi(\alpha)=0, то можно уменьшить число ручек оснащенной перестройкой), 3d (the surgery preserves \arf\Phi).
    К 24.11: по [Ha62A] 3.3 for n=2, d=4, r=1 (read 3.2; spherical modification = surgery) и по [DNF, ч.2, \S23.4] 0b* (вычислите инвариант Понтрягина для композиции S^6\to S^5\to S^4 гомотопически нетривиальных отображений), 1, 2a (independence of a symplectic basis), 2b* ($\arf\Phi=0$ if and only if there is a symplectic basis $a_1,...,a_g,b_1,...,b_g$ such that $\Phi(a_1)=...=\Phi(a_g)=0$)*, 3, 3c (если \alpha\ne0 и \Phi(\alpha)=0, то можно уменьшить число ручек оснащенной перестройкой), 3d (the surgery preserves \arf\Phi) и 14.6.1-2 (mod корректности инварианта Понтрягина).
    К 1.12: по [Ha62A]: 3.3 (read 3.2; spherical modification = surgery; далее можно использовать без доказательства) и по [DNF, ч.2, \S23.4]: 0b* (гомотопна ли нулю композиция S^6\to S^5\to S^4 гомотопически нетривиальных отображений), 1*, 3, 3c (если \alpha\ne0 и \Phi(\alpha)=0, то можно уменьшить число ручек оснащенной перестройкой) и 14.6.1-2 (mod корректности инварианта Понтрягина) и (any stably trivial 3-dimensional vector bundle over S^2 is trivial), (any two smooth embeddings $S^4\to S^8$ are isotopic; modulo results used in the lecture without proofs).
    К 8.12: [Ha62A, 3.3], (any stably trivial 3-dimensional vector bundle over S^2 is trivial), (any two smooth embeddings $S^4\to S^8$ are isotopic; modulo results used in the lecture without proofs), read [Sk16s, \S\S1-3], prove that the Haefliger invariant E^{6k}_D(S^{4k-1}) \to \Z, the signature \pi_{6k+1}(S^{2k+1}) \to \Z, and the Haefliger invariant \pi_{6k+1}(S^{2k+1}) \to \Z are homomorphisms (assuming that they are well-defined), calculate the Haefliger invariant for Example 2.1a (hint: [Ha62A, \S4]).
    К 15.12: 1 (the intersection form of V is even), 2a (calculate the Haefliger invariant \varkappa(f) for Example 2.1a), 2b* (calculate the Haefliger invariant \varkappa(f) for Example 2.1b using any formula), 3 (the Haefliger invariant \pi_{6k+1}(S^{2k+1}) \to \Z is well-defined and is zero), 4 (the Haefliger invariant \varkappa(f) is independent of framed V for fixed framed f), 5 (the Haefliger invariant \varkappa(f) is independent of framed cobordism of framed f). Hint: [Ha62A, \S4, 2.8, 2.7].
    К экзамену: (the Haefliger invariant \varkappa(f) is injective; hint: [Ha62A, 3.5]; use Theorem 6.3.b), (the Haefliger invariant \varkappa(f) is independent of framing of f; hint: [Ha62A, 2.3, 2.4, 2.9]), Example 3.1.


    Алгоритмы распознавания реализуемости гиперграфов-1,2

    Весной 2023 я исполняю часть 1. Для МФТИ - по средам c 1.02, 15:30-18:30 в УЛК-2 N 425. Для НМУ - по пятницам c 10.02, 17.30-19.10. Студенты, справляющиеся с домашними заданиями, получают возможность участвовать в курсе для НМУ дистанционно: Meeting ID: 885 2124 3139 (hypergraphs), Passcode: 443414. Необязательные консультации и досдача задач: для МФТИ - по средам, 12.30-13.40 (диванчики или столовая на 2 этаже КПМ) или после занятия; для НМУ - по пятницам перед занятием; сообщите заранее, если планируете прийти. Аннотация и программа части 1. Курсы ориентированы на студентов НМУ и МФТИ, но их могут изучать все желающие, справляющиеся с домашними заданиями. Каждое домашнее задание, кроме первого, состоит из материала предыдущей лекции. Оно разбирается в начале того занятия, к которому задано. Каждая следующая лекция рассчитана на тех, кто разобрался с материалом предыдущих. О занятиях и экзамене/зачете. Успехи студентов МФТИ. Успехи студентов НМУ.
    Литература: [KRR, параграфы 1, 2], [S, параграфы 1, 2, 5, 7.2], [S14, S18]. Примеры красивых теорем, которые изучаются в части 1: 1.2 и 1.5 из [S14] и 1.2.2, 1.4.1, 5.4.2, 5.5.3, п. 5.6, 5.7.3, 5.9.2, 5.9.3 из [S].

    Домашние задания по части 1 для МФТИ (Если источник не указан, то задание по книге [S]. Следите за обновлениями заданий и pdf-файлов! Окончательны только задания с жирными датами.)
    К 1.02: 1.1.1b, 1.1.2, 1.1.3*, 1.7.1ab*, 1.3.2b, 1.3.4ab* из [S] и 2.4ab из [S14].
    К 8.02: 1.1.3*, 1.3.5ab, 1.4.2ab, 4.6.1a, 4.6.2, 4.9.4abc и по [S14]: 1.2, 2.8, 1.5, 2.9*.
    К 15.02: 4.9.4c, 1.4.3, 1.4.1, 1.4.4a* и 1 (используйте без доказательства утверждение 1.4.4b и теорему Куратовского 1.2.3e), 2, 3ab, 4ab, 5ab, 7 (используйте без доказательства лемму 6), 8 из п. 1.5.
    К 22.02: 1.4.4a*b и 1 (используйте без доказательства теорему Куратовского 1.2.3e), 4b, 5ab, 6, 7, 8 из п. 1.5 и 1.2.3с (полиномиальность), 2.2.1ab, 2.2.3, 2.2.2ab и [S20, 3.6.2] и по [KRR]: 1.5abcd, 1.8abcde.
    К 1.03: 1.9be, 2.3ab, 2.5a, 2.7a из [KRR] и [S20, 3.6.2] и 2.2.2b, 1.4.4b и 1 (используйте без доказательства теорему Куратовского 1.2.3e), 6, 7, 8 из п. 1.5 и 1.2.3с (полиномиальность) и 1a*b, 2abc, 3(3)(12)(22)*(31)* из п. 5.1 (для объяснения реализуемости нужен рисунок, а не доказательство; для обратного - эвристика), 5.2.1abcd, 5.2.3.
    К 15.03: 2.2.2b, 1.2.3с (полиномиальность), 5.1.2abc, 5.2.1bdef, 5.2.3, 5.2.4, прочитайте п. 5.3, 5.4.1abc,e-i,j*, 5.4.2, 5.5.1 (топологическую вложимость), 5.5.3ab (используйте без доказательства теорему классификации), 5.5.4b (для k=2; используйте без доказательства 5.5.1 и 5.5.5), прочитайте п. 5.6 и по [KRR]: 2.5a, 2.7a, 3.5(3)*(3')*.
    К 22.03: 5.2.2ab, 5.2.1f, 5.5.1 (топологическую вложимость), 5.5.3ab (используйте без доказательства теорему классификации), 5.14.3a, 5.5.4b (для k=2; используйте без доказательства 5.5.1 и 5.5.5) и по [S20], по бум. версии: 8.1.6abcdef, 8.1.7abcde; по эл. версии: 8.1.7a и 1abc (в задаче 8.1.6abc бум. версии), 2, 5abcde (в задаче 8.1.6abcde бум. версии), 8abcde (используя корректность) из п. 8.3.
    К 29.03: 5.5.1 (топологическую вложимость), 5.5.3b, 5.14.4e (для k=3), 5.5.4b (для k=2) и по эл. версии [S20]: 3.7.2bc, 8.1.5cba (используя 8.3.7d и 8.3.8f без доказательства), 8.1.4 и 5e (в задаче 8.1.6e бум. версии) 6, 3, 7abc, 4, 7d, 8cdef из п. 8.3.
    К 5.04: 5.5.1 (топологическую вложимость), 5.14.4e (для k=3), 5.5.4b (для k=2), 5.5.6d, 5.7.1, 5.7.2, 5.7.4abc (для k=2), 5.7.3, 6.2.2, 5.13.1 и по эл. версии [S20]: 6bcd, 3, 7abc, 4, 7d, 8f из п. 8.3.
    К 12.04: 5.5.1 (топологическую вложимость), 5.5.4b (для k=2), 5.5.6d, 5.7.1, 5.7.2, 5.7.4abc (для k=2), 5.7.3, 6.2.2, 5.13.1, 5.13.2ab, 5.13.4abcd и 1abc, 2ab, 3b, 5abc, 6ac из п. 5.14.
    К 19.04: 5.5.1 (топологическую вложимость), 5.5.1*, 5.5.4b (для k=2; используйте без доказательства 5.5.1 и 5.5.5), 5.5.6d, 5.7.1, 5.7.4abc (для k=2), 5.7.3, 6.2.2, 5.14.6b, 5.14.4abcde, 4.8.1a, 4.8.1b (только 1<=>1'), 4.8.2a, 5.8.5a.
    К 26.04: 5.7.1, 5.7.4c (для k=2), 5.7.3, 6.2.2, 5.14.4aa'*bcde, 4.8.2a* и 5bcd, 4, 6 из п. 5.8 для k=2, 1.5.9abc, 1.5.10, дочитайте п. 1.5.4.
    К 3.05: 5.7.1, 5.7.4c (для k=2), 5.7.3, 6.2.2, 5.14.4aa'*bcde и 5d, 4, 6, 7, 2 из п. 5.8 для k=2, 1.5.10, 5.9.1abc, прочитайте п. 5.9, 7.1.1ab*, 7.1.2abc, 7.1.3abc*.
    К 10.05: 5.7.3, 6.2.2, 5.8.4 (для k=2), 5.8.6 (для k=2), 7.1.2bc, 7.1.3ab, 1.6.4abcd, 7.2.1ab, 7.2.2abcd, дочитайте п. 7.2. По [S22]: 4.1.3.
    К дифф. зачету 17.05: 5.7.3, 6.2.2, 5.8.6 (для k=2), 5.8.7 (для k=2), 5.8.2 (для k=2), 5.9.1bc, 5.14.4de, 7.1.1b*, 7.1.3c*, 7.2.2bef*, 7.2.3a*. По [S22]: 4.1.3, 2.2a (используйте без доказательства 2.8.8c), 2.1a. Следующие задачи принимаются только у тех (и засчитываются только тем), кто сдал не менее 90% задач без звездочек из предыдущих; предыдущие или их можно сдать 24.05, договорившись о дистанционном занятии. По [S20]: 1.5.1, 2.6.5bI, 2.8.8c (используйте без доказательства теорему классификации) и 2, 3a (\Sigma(f) - объединение отрезков), 3b, 4ab, 5abc, 1 из п. 6.8.

    Домашние задания по части 1 для НМУ (Если источник не указан, то задание по книге [S]. Следите за обновлениями заданий и pdf-файлов! Окончательны только задания с жирными датами.)
    К 10.02: 1.1.1b, 1.1.2, 1.1.3*, 1.3.2b из [S] и 2.4.ab, 1.2* из [S14].
    К 17.02: по [KRR]: 1.3, 1.8abcde, 1.9be и по [S14]: 1.2, 2.8, 1.5.
    К 25.02: 2.8 (без перебора), 1.5 из [S14] и 1.5abcd, 2.3abc, 2.4, 2.5ab, 2.6, 2.7ab из [KRR] и 1.3.5ab, 4.6.2, 4.9.4b.
    К 3.03: 2.3bc, 2.5a, 2.6, 2.7a, 3.7bcd, 3.8ab, QSD(4)* из [KRR] и 1.3.5ab, 4.6.2, 4.9.4bc, 1.4.2ab, 1.4.3, 1.4.1, 1.4.4a, 1.5.1 (используйте без доказательства утверждение 1.4.4b и теорему Куратовского 1.2.3e), 1.5.2, 1.5.3ab.
    К 10.03: 2.7a, 3.7d, 3.8b из [KRR] и 1.3.5b, 4.9.4bc, 1.4.1, 1.4.4ab и 4ab, 5ab, 7 (используйте без доказательства лемму 6), 8 из п. 1.5 и 2.2.1ab, 2.2.3.
    К 17.03: [KRR, 3.7d] и [S20, 3.6.2*] и 1.5.6, 1.5.7, 1.5.8, 1.2.3с (полиномиальность), 2.2.3, 2.2.2ab*, 5.2.1abcd.
    К 24.03: [S20, 3.6.2] и 1.4.4b, 1.5.6, 1.5.7, 1.5.8, 1.2.3с (полиномиальность), 2.2.2b и 1a*b, 2abc, 3(3)(12)(22)*(31)* из п. 5.1 (для объяснения реализуемости нужен рисунок, а не доказательство; для обратного - эвристика), 5.2.2ab, 5.2.1de, 5.2.3, 5.2.4, прочитайте п. 5.3, 5.4.1ab.
    К 31.03: [S20, 3.6.2], 1.5.6, 1.5.7, 1.5.8, 1.2.3с (полиномиальность), 2.2.2b, 5.2.1c'*c''df, 5.2.4, 5.4.1cde*fghi, 5.4.2, 5.5.1a (топологическую вложимость), 5.5.3a (используйте без доказательства теорему классификации), 5.5.3b, 5.14.3a, прочитайте п. 5.6.
    К 7.04: 5.2.1f, 5.5.1a (топологическую вложимость), 5.5.3a (используйте без доказательства теорему классификации), 5.5.3b, 5.13.1, 5.14.3a, 5.14.4e (для k=3), 5.5.4b (для k=2; используйте без доказательства теорему 5.5.5), 5.7.1, 5.7.2, 5.7.4ab (для k=2), 5.7.5b.
    К 14.04: 5.2.1f, 5.5.1a (топологическую вложимость), 5.14.4e (для k=3), 5.5.4b (для k=2; используйте без доказательства 5.5.1 и 5.5.5), 5.7.1, 5.7.4abc (для k=2), 5.7.3, 5.7.5b, 5.13.2ab, 5.13.4abcd и 5.14.1abc.
    К 21.04: 5.2.1f, 5.5.1a (топологическую вложимость), 5.7.1, 5.7.4abc (для k=2), 5.7.3, 6.2.2 и 2ab, 3b, 4de, 5abc из п. 5.14.
    К 28.04: 5.7.1, 5.7.4abc (для k=2), 5.7.3, 6.2.2, 5.14.4aa'*bc, 5.14.6abc, 4.8.1a, 4.8.1b (только 1<=>1'), 4.8.2a, 5.8.5a.
    К 12-19.05 (только для АВ): 7.1.1a и по [S22]: 3.1ac, 4.1, 2.2a(if)(only if) (используйте без доказательства 2.8.8c), 2.1a, прочитайте \S2-\S4 (кроме стр.5).
    К 5-26.05: (то, где есть k, для k=2) 5.7.4c, 5.7.3, 6.2.2, 4.8.2a и 5abcd, 4, 6, 7, 2 из п. 5.8 и 7.1.2abc, 1.6.4abc, 7.2.1a, 7.2.2abc. Эти задачи принимаются 19.05 только у тех (и засчитываются только тем), кто сдал не менее 80% задач без звездочек по каждому из пропущенных занятий.
    К 26.05 или позже (только для АВ, после прорешивания задания к 5-26.05): 1.6.4d, 7.1.3abc*, 7.2.1b, 7.2.2def*, 7.2.3a*, дочитайте п. 7.2.
    26.05 (дистанционно): 17.30-18.00 консультация, 18.00-19.00 экзамен.

    Аннотация и программа части 2, 2021. Литература: [S, параграфы 4, 5, 6], [S16].
    Примеры красивых теорем, которые изучаются в части 2: 2.1.5, 2.2.2, 2.3.2 из [S]
    Домашние задания по части 2
    К 09: Lemma 2.
    К 09: 1ab*, 3ab, 4ab, 5ab, 6ab, 7ab, 8a из п. 4.6 и 4.8.4a, 4.9.1a, 4.9.2abcde, 4.9.3bc по [S].
    К 1.10: Classify smooth embeddings into R^5 of S^2\times D^1, (of punctured S^2\times S^1)*, (of the boundary connected sum of two copies of S^2\times D^1)*; use without proof that any two embeddings into R^5 of S^2 are isotopic.
    К 8.10: Examples 3.4ab, 3.1abc, 3.2*, 3.3* (use without proof Unknotting Spheres Theorem 2.3 and isotopy of embeddings S^k\times[0,1] coinciding on S^k\times0 and having homotopic normal vector fields to S^k\times0)).
    Лекционная часть занятия 8.10 (19.00-19.50) совмещена с докладом "Invariants of graph drawings in the plane" at "Selected Topics in Mathematics" online seminar.
    К 22.10: 1*, 3, 5 из п. 5.10 по статье.
    К 29.10: 4.6.8b*, 4.6.9ab*, 4.9.2c, 4.9.5a, 4.9.6ab и 1, 3, 5, 6, 2 из п. 5.10 и 9abc, 10, 11 из п. 1.5.
    К 5.11: 4.6.9ab*, 4.9.5a, 4.9.6ab, 5.11.1abc, 5.13.2a*b*, 5.13.3ad, 5.14.1a*bde.
    К 12.11: 4.9.6cd, 5.13.3b, 5.13.4ab и 1afg, 3ab, 2(=>), 4 из п. 5.14 и 4.11.4ab, 4.11.3* (M=T) и
    К 19.11: 4.4.6e, 5.11.4, 5.11.5ab, 5.13.4c, 5.12.7ab* (without `deformation').
    К 26.11: 4bc, 5ab, 6 из п. 5.13 и 5.11.3, 5.11.2b, 5.12.7ab, 5.12.8ab* (without `deformation'), 5.14.1g, 5.14.2(=>), 5.7.4 (d=2k=4; mod 5.14.2), 5.8.2c (d=2k=4; mod the analogue of 5.14.2), [S20, 11.7.6b].
    К 3.12: 4bc, 5b, 6 из п. 5.13 и 5.11.2b, 5.7.4 (d=2k=4; mod 5.14.2), 5.8.2c (d=2k=4; mod the analogue of 5.14.2), 5.12.7a*b*, 5.12.8ab*, 1.5.12, 5.11.5c, 5.13.5c, 4.9.1c, 4.9.6e и [S20, 11.7.6b] и по arXiv:math/0604045: Example 5.7.a for l=1, Example 5.7.d for m=n+2=3.
    К 10.12: 5.13.4bc, 5.13.6, 5.11.2b, 4.9.1c, 4.9.6e и [S20, 11.7.6b] и 5.8.2d (d=2k=4; подсказка в \S7). По arXiv:math/0604045: Example 5.7.a for l=1, Example 5.7.d* for m=n+2=3.
    К 17.12: 5.4.4, 5.7.1a, 5.13.4bc (hint: Remark 1.5.5.c), 5.13.6, 5.11.2b, 4.9.6e, 5.8.2d (d=2k=4; подсказка в \S7), 4.7.4h*, Remark 1.5.5.c, Lemma 2, Theorem 1.9 for k=r=2 (hint: Remark 3.1.c), Example 5.7.a for l=1. И теоремы Уитни о вложимости n-многообразий.
    К обсуждению 25.12: 1abcdef, 2abcd*, 3ab*c*d*e*, 4ab*c* из п. 5.15.

    Аннотация и программа части 1, 2017. Аннотация и программа части 1, 2015. Похожий на часть 1 спецкурс на матфаке ВШЭ, 2013.
    Аннотации и программы похожих на часть 1 курсов <<Кратные пересечения в геометрической топологии, топологической комбинаторике и комбинаторной геометрии>>, НМУ, осень 2018, и <<Топологическая гипотеза Тверберга: комбинаторика, алгебра и топология>>, НМУ, осень 2016.


    Топология гиперграфов и многообразий в интересных результатах

    Курс проходит дистанционно по воскресеньям c 5.02.2023. Курс ориентирован на студентов 4 курса и магистрантов МФТИ, но его могут изучать все желающие, справляющиеся с домашними заданиями. Этот курс (мастер-класс) сочетает в себе научный семинар и спецкурс. Ссылка для дистанционного участия в занятии предоставляется тем, кто отметил в гуглшите решенные задачи к этому занятию.
    Аннотация. О занятиях и экзамене/зачете. Увертюра (ср. с [DS22]).

    Домашние задания (если источник не указан, то задание по книге [S]; cледите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг! окончательны только задания с жирными датами; если не получается что-то доказать самостоятельно, то восполняйте детали в имеющихся набросках доказательств.)
    Повторение. По bookeng.pdf: 8.2, 8.1 for m=2n+1=3, 8.1 for m=2n+1, 8.1 for m=2n first step.
    По `Элементам...' Прасолова: теорема Хопфа 18.9ab, 18.9c (Let f:B^{n+1}\to B^{n+1} be a map such that f(S^n)\subset S^n. Then \pm\deg(f|_{S^n}:S^n\to S^n) equals to the algebraic intersection in S^n\times S^n of the graph of f|_{S^n} and S^n\times*, to the sum \deg_c f of signs of f-preimages of a regular value c of f, and to the algebraic intersection in B^{n+1}\times B^{n+1} of the graph of f and B^{n+1}\times*).
    По parsa_join.pdf: доказательство теорем 1 и 3*, (сообщите замечания по всему тексту)*.
    По eliminat.pdf: сообщите замечания по \S1 (до замечания 1.5 включительно) и по \S3 (до теоремы 3.2 включительно); необходимость в теоремах 1.2, 1.3, 1.4; Remark 1.5b; достаточность в теореме 1.2 для d=n_1+n_2, d-2>n_1,n_2, ориентируемых N_1 и N_2 (можно пользоваться без доказательства тем же, чем в bookeng), 1.2a (under the assumptions of Theorem 1.2 for d=n_1+n_2, orientable N_1, N_2, and general position map f, the number fN_1\cdot fN_2 equals to \pm\deg_0F, where F:N_1\times N_2\to B^{n_1+n_2} is defined by F(x,y)=f(x)-f(y)), 1.2b (... and to (fN_1\times fN_2)\cdot\delta_2, for some orientation on \delta_2), 1.2c (... and to the degree of the map \t f:d(N_1\times N_2)\to S^{n_1+n_2-1}, for some orientation on S^{n_1+n_2-1}), 1.2d (if any of these numbers is zero, then the map \t f is null-homotopic), 1.2e* (for a connected n-manifold N a map dN\to S^{n-1} is null-homotopic if and only if it extends to N); теорема 3.1 для d=6, N_1=D^2 и N_2=D^3, теорема 3.1 для d=n_1+n_2+1, n_1,n_2>1, ориентируемых N_1 и N_2 (можно пользоваться без доказательства утверждением 1.2e*).
    По bookeng.pdf: прочитайте и сообщите замечания по \S1, \S4, \S5 (до теоремы 5.4 включительно), \S8 (до утверждения 8.4a включительно); 8.3, 8.4a (без незаузленности); (прочитайте \S7 без аппендиксов и сообщите замечания)*Timur, 8.4.bc (можно пользоваться без доказательства тем же, что в bookeng), 8.1 (existence of an almost embedding), 8.8a (obtain the condition only for disjoint \sigma,\tau), 8.10, 8.8b for d=0, 8.7 for d=0 (using 8.9).
    По [S20]: 10.8.1a, 10.8.2a, 10.8.1b, 10.8.2b, 10.9.1, 10.9.5ab, 10.9.2(свободные), 10.9.3, 11.2.2a, 11.2.3a(Z_2)(свободные) (по бум. версии; use without proof that any subgroup of $\Z^k$ is isomorphic to $\Z^l$ for some $l\le k$), из 11.6, 11.7 (по эл. версии).
    По [CS16]: 3.1*.
    По [S]: 4.6.6ab, 4.6.7ab, 4.6.9a, 4.6.10abc*, 4.6.10d (прочитайте), 4.6.9bcd*e*, 4.7.4abcdefg*h*, 4.9.6b*, 6.6.2abc, прочитайте и выскажите замечания по формулировкам: 6.6.3.abcd, 6.6.4abcd, 6.6.5ab; 6.6.6abc, 1.6.3ab, 1.6.5ab.
    По joinpowers: the `if' part of T 1.3 (using lemmas without proof), 2.1, 2.3 (using 2.5 without proof), 3.1ab, 2.2ab, 2.5a, 3.3*, 2.5b(l=1)b*.
    По alg-alm-emb: L3.
    Не разобранные темы, входящие в программу курса: По [S20]: 11.2.3a(свободные), 5.8.1acde. Any subgroup of $\Z^k$ is isomorphic to $\Z^l$ for some $l\le k$ (start with k=2; use primitive elements). По [S]: 6.6.6bc, 4.7.5a*, 1.6.3b, 1.6.5ei, 1.6.6acd*, 1.6.7abc. По bookeng: 2.2ab (PL, (b) for n=2, используйте без док-ва [RS, 3.27] и 1.1, подсказка), 4.5bdefcag. По [DS22]: 2.1, 1.10, 1.8, 1.9. Только следующие темы будут повторены в новом курсе: [S20, 8.10, 14.4], \S3.
    К новому курсу. По alg-alm-emb. [RS72, \S5; 5.6.ii, 5.8, 5.9] For every m construct an immersion a_m : R^m \to R^{2m} which is approximately linear outside the unit ball, and has a single double point (hint)

    Домашние задания осени 2022
    18-25.07: [KS21], по [KS21e]: 2.5.3, 2.5.4abcde (see definitions before Addendum 2.4.3), [DS22].
    К 8-15.08: Th 1.1ab* (=>), Th 1.4* (=>); C121a mod Th 123, L232, R251: E<=>EH, R252b*.
    К 22-28.08: 1.5.6, 5.8.5, 8.5.1abcdef, 8.4.2ab, 8.5.3.
    К 18.09.2022: по [S20]: 13.1.1abcd*e, 6.8.2, 6.8.3ab и по [RS72]: 5.2.1, 5.2.3, 5.4*. Hint to 13.1.1c: Define a map $p_1:D^2\times S^1\to D^2$ by $p_1(z,w)=zw$. Find a self-homeomorphism $h_1$ of $D^2\times S^1$ such that $\pr_1 h_1 = p_1$. Пересмотрите мультфильм про отображение Хопфа.
    К 24.09: 8.3.6cd, 8.5.2abcd, 8.3.4a и по [RS72, \S5]: 2.1, 2.3, 4* (без Addendum) и по [S20]: 6.8.3a, 13.1.1c, 10.6.1, 10.6.2ab, 10.6.3ab, 10.6.4ac.
    Ко 2.10: по [S20]: 10.6.4acd, 11.2.1abc (G=Z_2), 11.3.1abcd, 11.3.2abcd, 11.3.4ab (далее используйте 11.3.3 без док-ва) и по [S]: 5.14.4c, 7.2.8b*, 7.2.9bad*c* и по [RS72]: 5.4*.
    К 9.10: по [S20]: 6.8.4ab, 11.2.1cd (G=Z_2), 11.3.2d, 11.3.3 и по [S]: 7.2.8b*, 7.2.9bad*c* и по [RS72]: 5.4*.
    К 16.10: по [S20]: 11.2.1c (G=Z_2) и по [RS72]: 5.4, 5.4.Addendum*, 5.5 ( сильная теорема Уитни о вложении для PL случая; используйте 3.27 без док-ва).
    К 23.10: [RS72, 5.4, 5.4.Addendum*Emil], [S, 8.3.4f*Timur], [Sk06, Lemma 4.3].
    К 30.10: [RS72, 5.4.Addendum for M=R^m], [Sk06, Lemmas 4.2 and 4.3], [S, 5.9.2a], [S20, 6.8.3b, 6.8.4ab], [Hu69, Lemma 11.1 for W the complement to some (m+n)-balls in D^{m+n}, 11.2, 11.3, for strong g.p.: 11.4]*Emil.
    К 6.11: По [AMS+]: Local Disjunction Theorem 1.9 for r=2=k (hint: Remark 3.1.c), for r=2\le k-1, Global Disjunction Theorem 1.11.a для r=2 (это аналог теоремы 5.9.2a для почти-вложимости; hint: use the Local Disjunction Theorem 1.9, and use without proof that the preimage of a regular neighborhood is a regular neighborhood). [S20, 6.8.5abcd, 6.8.6, 9.8.7abc, 9.9.2a для k=2 и j=0, j=1*]; далее используйте 9.9.2a без док-ва. From EmbedsE.pdf: L3 mod L4 for i=n-1, L3 mod L4. [S, 5.9.3, 5.9.2a] [Sk06, Lemma 4.2] (используя [RS72, 5.12.1] без док-ва), [RS72, 5.14, 5.15, 5.12.1 + 5.16 for p,q>2, mod lemmas and 5.6]*TimurSlava, [Hu69, Lemma 11.1 for W the complement to some (m+n)-balls in D^{m+n}, 11.2, 11.3, for strong g.p.: 11.4]*Emil.
    К 13.11: По [AMS+]: Local Disjunction Theorem 1.9 for r=2=k (hint: Remark 3.1.c), for r=2\le k-1, Global Disjunction Theorem 1.11.a для r=2 (это аналог теоремы 5.9.2a для почти-вложимости; hint: use the Local Disjunction Theorem 1.9, and use without proof that the preimage of a regular neighborhood is a regular neighborhood). [S20, 6.8.5cd, 6.8.6*, 9.9.2a для k=2, 9.9.2a]. По [S]: 4, 5ab, 3, 2a из п. 5.9 и 4.6.8ab*Emil. [Sk06, Lemma 4.2] (всюду используйте [RS72, 5.12.1] без док-ва), [RS72, 5.10, 5.14, 5.15, 5.12.1 + 5.16 for p,q>2, mod lemmas and 5.6]*TimurSlava, [Hu69, Lemma 11.1 for W the complement to some (m+n)-balls in D^{m+n}, 11.2, 11.3, for strong g.p.: 11.4]*Emil.
    К 20.11:По [AMS+]: Local Disjunction Theorem 1.9 for r=2=k (hint: Remark 3.1.c), for r=2\le k-1, Global Disjunction Theorem 1.11.a для r=2 (это аналог теоремы 5.9.2a для почти-вложимости; use without proof the Local Disjunction Theorem 1.9, and `the preimage of a regular neighborhood is a regular neighborhood'). [KS21e, Theorem 1.3.1a], (any almost embedding from a 3-complex to a 1-connected 6-manifold is homotopic to an almost embedding whose restriction to any simplex is an embedding), [Sk06, 8.2, 8.1 for m=2n+1=3], [S20, 9.9.2a для k=2, 9.9.2a], [S, 4.6.8b*],
    К 27.11: По [AMS+]: Local Disjunction Theorem 1.9 for r=2=k (hint: Remark 3.1.c), for r=2\le k-1; [KS21e, Theorem 1.3.1a], (any almost embedding from a 3-complex to a 1-connected 6-manifold is homotopic to an almost embedding whose restriction to any simplex is an embedding); [S, 4.4.7a]; [Sk06, 8.2, 8.1 for m=2n+1=3, 8.1 for m=2n+1], Theorem 2.1.b mod Lemmas 3.1 and 3.2, Lemma 3.2 mod Lemma 3.3 for i=n-1, for i\le n-1, [RS72, 5.12.1 for p,q>2 mod lemmas]*Timur,
    К 4.12: По [AMS+]: Local Disjunction Theorem 1.9 for r=2=k (hint: Remark 3.1.c), for r=2\le k-1; [S, 4.4.7a]; [Sk06, 8.2, 8.1 for m=2n+1=3, 8.1 for m=2n+1, 8.1 for m=2n first step],
    К 11-18.12 и к повторению в январе 2023: [S, 4.4.7a], [Sk06, 8.2, 8.1 for m=2n+1=3, 8.1 for m=2n+1, 8.1 for m=2n first step, 8.3], [S20, 14.6.4 a (только корректность) b (только эпиморфность; подсказка: Фоменко-Фукс, п. 10.1)], Theorem 2.2.b*Timur, 5*Emil.
    [Hu69] J. F. P. Hudson, Piecewise-Linear Topology, Benjamin, New York, Amsterdam, 1969.
    [HH63] A. Haefliger and M. W. Hirsch, On existence and classification of differential embeddings, Topology 2 (1963), 129--135.
    [RS72] C. P. Rourke and B. J. Sanderson, Introduction to Piecewise-Linear Topology, Springer, 1972. (К. П. Рурк и Б. Дж. Сандерсон, Введение в кусочно-линейную топологию, Москва. Мир. 1974.)
    [RS99] D. Repovs and A. B. Skopenkov. New results on embeddings of polyhedra and manifolds into Euclidean spaces, Russ. Math. Surv. 54:6 (1999), 1149--1196.
    [Sk16c] Embeddings in Euclidean space: an introduction to their classification.

    Примеры красивых теорем, которые изучались ранее: [S20, пункты 9.1, 11.1, 12.1, 16.1]. John Milnor: Spheres. По [S20]: 5ab, 6, 7ab, 9abcdef из п. 14.5 и 4a, 5b*, 6, 7abce, 8c из п. 15.1 и 1, 2 (эвристика), 3a (разберите доказательство), 5ab, 4 из п. 15.2 и 1ab, 2a, 3, 4, 5 из п. 15.3 и 1ab, 3ab, 5, 7ab, 4, 2 (разберите доказательства) и 2d, 3ab из п. 9.4 и 9.5.1 (подсказки: п. 9.6, 9.7) и 1abcdfg, 2abcd, 3abcdfg, 6a, 7abc, 8abcd* из п. 9.8 и 2ab, 3, 4, 1, 5ab*, 6a из п. 9.9 и 2.1, 3.1, 2.2a, 4.1, 2.2b, 2.3ab (без вложений), 2.2c, 5.1a из \S12.
    Unknotting Theorem 2.4 Докажите (для PL случая) the Penrose-Whitehead-Zeeman Theorem 6.1; сформулируйте свойства регулярных окрестностей, используемые в доказательстве [RS99, \S8]; from now on use without proof [RS99, Engulfing Lemma 8.1]. [HH63, Theorem 3.1.a]. From now on: use the Smale-Hirsch theorem 15.3.6 without proof. Theorem 6.5 (подсказка: Lemma 2.2.W_0'). По атласу. [RS72, 7.12, 7.13, 7.14]

    НМУ, весна 2013: аннотация и программа (в окончательную программу вошли пункты 1,2,4,5,6), видеозаписи лекций.
    НМУ, осень 2013: аннотация и программа, видеозаписи лекций.
    НМУ, осень 2015: аннотация и программа.


    Введение в топологию для пользователя

    Курс ориентирован на студентов НМУ (начиная с 1 курса), но его могут изучать все желающие, справляющиеся с домашними заданиями. Он проходит по пятницам с 9.09.2022, 17.30-19.10, ауд. 303 НМУ. Можно участвовать дистанционно: Meeting ID: 885 2124 3139 (hypergraphs), Passcode: 443414. Необязательные консультации и досдача задач: до или после занятия, желательно предупредить.

    Аннотация и программа. В окончательную программу вошли пункты 1-7 и 12, 13 предварительной программы. О занятиях и экзамене/зачете (прочитайте к 9-16.09). Как ставится оценка за экзамен/зачет? Литература: [S20, параграфы 1-5], [S, параграфы 1, 4], [CR, глава 5], [A, BE, P, S14, S89]. Успехи студентов.
    Примеры красивых теорем, которые будут изучаться: 1.1.2, 2.2.9, 2.3.2, 2.3.4, 2.3.5, 2.3.7, 3.1.1, 3.1.2, 3.1.3, 3.1.5c, 3.6.3, 3.6.4, 4.1.1, 4.1.2 из [S20] и 1.2, 1.5 из [S14].

    Домашние задания (Если источник не указан, то задание по электронной версии книги [S20]. Бумажная версия книги [S20] доступна в библиотеке НМУ - просите 2-е издание 2020 года - но нумерация в ней может отличаться. Следите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг! Окончательны только задания с жирными датами. Хотя смотреть видео и пробовать программы не обязательно, это поможет Вам решить обязательные задачи.)
    К 9.09. 1.4.1a*, 2.2.1ab*, 2.2.2a, 2.2.3a, 2.3.2ab из [S20]. Прочитайте первую фразу в п. 2.2. Определения ленты Мебиуса, бутылки Клейна и тора можно найти в п. 2.1 (или в Википедии). Посмотрите мультфильмы про тор и Cutting a Moebius strip in half (and more). Попробуйте программу A polygonal line avoiding an obstacle.
    К 16.09. 2b, 3b, 4ab, 5* из п. 2.2 и 2c, 3abc, 4, 5c, 1ab из п. 2.3 (в 2.3.5с используйте без доказательства неравенство Эйлера 2.5.3a) и 2.4.1a, 1.4.1ca. Определение сферы с ручками можно найти в п. 2.1 (или в Википедии), а букета циклов - на рис. 1.2.1. Посмотрите мультфильмы про крендель и сферу с ручками.
    К 23.09. 3c, 5c, 1ab из п. 2.3 и 2, 3a, 4a из п. 2.4 (используйте без доказательства неравенство Эйлера 2.5.3a). Видео лекции.
    К 30.09. 2.3.1b и 6a, 8a, 7(для тора) из п. 2.4 (используйте без доказательства неравенство Эйлера 2.5.3a) и 1c, 2abcd, 5, 6ab'b, 4 из п. 1.4.
    К 7.10. 1.4.2cd, 1.4.3b, 1.3.3c* (далее используйте без доказательства), 2.5.1abcde (формулировка + нестрогое обоснование), 2.5.2ab, 2.7.2ab.
    К 14.10. 2.5.1abcde (формулировка + нестрогое обоснование), 2.5.2b, 2.5.3a и 1a, 2bd, 3ab, 5 из п. 2.7.
    К 21.10. 1, 2abcd, 3aa'bc* из п. 1.5 и 1.6.1abd.
    Занятие 21.10 не обязательное. Оно состоялсь в 18.10-19.40 в виде доклада на научном семинаре лаборатории алгебраической топологии и приложений на ФКН ВШЭ: A quadratic estimation for the K\"uhnel conjecture (S. Dzhenzher and A. Skopenkov).
    К 28.10. 1fg, 2ab, 3a,bI,bE, 4abc, 5 из п. 1.6.
    К 4.11. 1.5.2d и 1abdfg, 2ab, 3a,bI,bE, 4abc, 5 из п. 1.6 и 1.1.2, 2.5.1e, 2.5.2b, 2.5.3a, 2.6.1bc, 2.6.2aba'b', 2.6.3aa', 2.7.2d.
    К 11.11. 1.1.2, 2.5.1e, 2.5.2b, 2.5.3a и 2ab, 3aa'b, 4abcd, 5(bE)a, 7ab, 8(bE)a из п. 2.6 и 2d, 6ab, 7abc из п. 2.7.
    К 18.11. 3aa'b, 4cd, 5(bE)a(bI)*, 6*, 7ab, 8(bE)a(bI)* из п. 2.6 и 7c, 8bac*, 9bac* из п. 2.7 и 2.4.5, 4.6.3abc, 5.2.2, 5.2.3ab. Задачи со звездочкой принимаются только у того, кто сделал более 3/4 задач без звездочки к данному занятию.
    К 25.11. 1.5.3c и 5(bE)a, 8(bE)a из п. 2.6 и 2d, 6ab, 7abc, 8ba, 9ba из п. 2.7 и 2.4.5, 4.6.3degi*, 5.3.2abc, 5.4.2ab, 5.2.3d.
    Ко 2.12. 2.8.1acd, 2.8.3a, 5.3.2bc, 5.4.2ab, 5.4.3ab, 5.4.1a-i, 5.4.4abc, 5.2.3d.
    К 9.12. 5.4.4de, 5.4.5, 5.5.1abc, (далее используйте без доказательства утверждения 2.7.7ab и 5.5.1d), 5.3.3, 5.3.1a, 5.2.3d, 5.7.1abcd, 5.7.2ab, 5.7.3a, 5.6.2 (для ориентируемых). Попробуйте программу Homeomorphism between ribbon graph and sphere with handles and holes.
    К 16.12. (далее используйте без доказательства утверждения 2.7.7ab и 5.5.1d) 5.3.3, 5.3.1a, 5.2.3d, 5.6.2 (для ориентируемых), 5.7.1c, 5.7.3ac*, 2.8.5abcd*e* и по [S]: 1, 2, 3b, 4 из п. 4.1 и по [Sk14]: 2.4ab, 1.2, 2.8, 1.5.
    К необязательной консультации 21.12, 17.00: по [S]: 4.1.4 и 1ab, 2ab, 3b из п. 4.2 и по [Sk14]: 1.2, 2.8, 1.5, 2.9*. [S20u]: 1.1a, 1.3, 4.1, 4.2.
    Экзамен 30.12, 17.30-19.00. Общие критерии такие же, как в типичном пояснении к контрольной работе и в рекомендациях по письменным решениям для пользователя, см. также на стр. 2-3.


    От векторных полей к характеристическим классам

    Курс проходит по воскресеньям, 11.10-12.20. Курс ориентирован на студентов 3-4 курса и магистрантов МФТИ, но его могут изучать все желающие, справляющиеся с домашними заданиями. Ссылка для дистанционного участия в занятии предоставляется тем, кто отметил в гуглшите решенные задачи к этому занятию.
    Аннотация и программа. О занятиях и экзамене/зачете. Литература: [S20, параграфы 4, 6, 8, 9, 10, 14], [BE].
    Примеры красивых теорем, которые будут изучаться: см. пункты 9.1, 11.1 и 12.1 из [S20].

    Домашние задания (если источник не указан, то задание по книге [S20]; бумажная версия книги [S20] доступна в библиотеке; cледите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг! окончательны только задания с жирными датами) (cледите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг! окончательны только задания с жирными датами)
    11-25.07: Some material from [S, \S8.1-8.4] including 1abc, 4abcd*, 5, 6abcd, 8ab from \S8.3.
    К 10.09: 8.10.1a, 8.12.1a, 8.12.2a, 8.1.7a*b* и (по бумажной версии) 9.1.1ab*, 9.1.2ab, 9.2.2c.
    К 18.09: 8.1.7b (указание: 3.11.1ab), 9.2.2cde, 9.3.1ab, 9.3.2ab* и 1, 2ab*c*d*, 4, 5, 3ab, 6ab* из п. 9.4 (указание: сделайте для триангуляций 6.2.3abc, 6.3.1bcd, 6.3.2ab, 6.3.3, 6.4.1ab). Можно пользоваться без доказательства эквивалентностью ориентируемости следующему. Ориентацией n-мерного векторного пространства V над R можно назвать невырожденную полилинейную кососимметричную форму V^n\to R. Многообразие N называется ориентируемым, если существует семейство ориентаций касательных пространств к N в точках x\in N, непрерывно зависящих от точки x\in N. В начале п. 9.4 опечатка: вместо (234) и (124) нужно (243) и (142).
    К 24.09: 8.1.7b (указание: 3.11.1ab), 9.2.2de, 9.3.1b, 9.3.2a, 9.4.3b и (трехмерный аналог задачи 6.1.2b)* и 2ac*, 3abc, 4ab, 5ab* из п. 9.7 и 10.4.1abcd.
    Ко 2.10: 9.3.1b, 9.7.4ab, 9.7.5ab*, 10.4.1def, 10.5.1abcd, 10.5.2 (аналог 6.5.4ab).
    К 9.10: 10.5.1ef, 10.5.2 (аналог 6.5.5a), 10.5.2g, 6.7.3b, 9.2.2f (deg f четно), 9.2.1 (эвристика) (строгое док-во)*, 9.7.1a, 9.7.5b, 9.1.6.
    К 16.10: 8.4.3c, 10.4.2abcd* (в остальных задачах испольуйте 10.4.2d без доказательства), 10.4.1f, 10.4.3abd, 10.5.1f, 9.2.2f (deg f четно), 9.2.1 (строгое док-во), 9.4.6ab*.
    К 30.10: 8.4.3c, 8.6.3bc, 10.4.1f, 10.4.3c, 10.6.8 (для dim K=2), 9.2.1, 9.5.1 (без невырожденности).
    К 6.11: 8.4.3c (подсказка), 10.6.8, 10.7.1abcd, 10.8.1ab, 9.5.1 (невырожденность), 9.1.3, 9.1.7c, 9.7.1b*, 9.7.6*.
    К 13.11: 10.8.1b, 9.1.7c, 9.7.1b*, 9.7.8ab*cd*, 9.8.1abcdefg (H_1 -> H_3).
    К 20.11: 9.7.8c, 9.8.1eg (H_1 -> H_3), 9.8.2abc.
    К 27.11: 9.8.1e, 9.8.2abcd, 9.8.3ab*cdef*g, 9.8.6a*-f*.
    К 4.12: 9.7.4a, 9.8.2bcd, 9.8.3abdef*g, 9.8.8ab*cd, 9.9.3, 9.9.1 (здесь и далее испольуйте 9.9.2b без доказательства).
    К 18.12: 8.6.3c, 9.8.3e' для ориентируемых, 9.8.3e', 9.8.8e, 9.9.3, 9.9.1, 9.9.4*, 9.9.5ab (далее испольуйте 9.9.5b без доказательства), 9.9.5cd, 9.9.6ad
    Для самостоятельного разбора: [S, \S8.5] и 7.1.2ab, 7.1.1ab*, 7.1.7abc, 7.1.7c, 7.2.2, 7.2.5.

    Векторные поля на многообразиях и теория гомологий, НМУ, весна 2021. 3.4.6a, 3.11.1a, 4.1.1a, 4.2.2, 4.3.1a, 4.4.2ab, 8.9.1a* и 2ab, 4abc, 5ac*, 6b, 7a из п. 3.4 и 3.8.1abc и 1abcd, 2a'a''abb'ce, 3a из п. 3.9 и 1ab, 2abc, 3abc*d из п. 3.11 и 3.7.2ab, 4.2.3b, 4.4.2b и 3.7.2cd*, 3.3.1с, 3.4.5b, 3.10.2, 3.10.4(n=1), 3.11.2b, 3.11.3bce, 3.1.6a, 4.3.1bce, 4.3.2a, 4.1.2a и 3.11.3c, 4.3.2a, 4.1.2ab*, 4.4.1a и 1(c-i), 2abc, 3, 4 из п. 4.5 и 4.6.1, 4.6.3(a-g) и 1abcd, 2abc, 3ab из п. 4.8 и 1ab, 2 (напишите номера задач, аналоги которых сделали) из п. 8.1 и 4.6.2 и 3, 6(a-f), 7(a-e), 5ab из п. 8.1 и 8.2.1(a-d), 8.2.2 (начинайте решать предложенные задачи из параграфа 8 со случая n=2 - там, где он осмыслен) и 4.7.1(a-h),i*, 4.7.2 и 3(a-f)2*, 4, 5abc, 8 из п. 8.2 и 8.4.1abcd. и 5abc, 6abcdef, 7 из п. 8.2 и 2, 3abc*(p=3q=3), 4a из п. 8.4 и 8.6.1abcdc'd' (для достаточно мелкой триангуляции) и 8.6.2abcdef, 8.5.1ab, 8.5.2 и 8.3.2abcde, 8.3.1a и 1ab, 2ab, 3a, 4a, 7ab (используя корректность 8.7.6) из п. 8.7 (по электронной версии) и 8.8.1abcde, 8.8.2abcd и посмотрите мультфильм про отображение Хопфа (для взрослых) и мультфильм-1 (для детей) мультфильм-2 (для детей). и 8.7.3bc, 8.7.4b (по электронной версии), 8.8.2abcd и 4.9.1abc, 4.9.2 и 1abcd, 2, 3a (для m>4), 4ab из п. 4.10 и 8.5.3abc, 8.6.4a (для m=5,n=3), 8.6.5a, 9.8.7a и 8.6.3abc*, 8.7.6a, 8.8.2abcd, 8.8.3ab, 9.8.7bc.
    4.4.6abc*, 4.4.7a, 5.12.1abcd* и Remark 2a, 1st paragraph и прочитайте стр. 30-31 и 37.
    If $A\subset X$ is a strong deformation retract of $X$, then for any $Z\subset\R^d$ the restriction induces a 1--1 correspondence $[X,Z]\to[A,Z]$.

    Векторные поля на многообразиях и теория гомологий, 2019. Аннотации и программы похожих курсов <<Теория гомологий для пользователя>>, НМУ и МФТИ, весна 2018, и <<Топологическая теория векторных полей на многообразиях>>, НМУ, весна 2016.


    Классификация зацеплений

    Аннотация и программа: 2019, 2017. О занятиях и экзамене/зачете. Литература: [P, S, S14, S20], High codimension links.
    Примеры красивых теорем, которые будут изучаться: 1.1.3 и 1.2.2 из [S20u], 1.1 из [S14], 4.2.6a, 4.3.3, 4.4.1, 4.9.3 из [S], \S4, \S5, \S8. Linking spheres.
    Участники курса могут сдавать полукурс `Зацепления в трехмерном пространстве' с 1/2 кредита. Программа полукурса: п. 1-5 программы курса (кроме числа Сато-Левина и многомерных оснащенных зацеплений); задачи к 11.09-30.10. Отдельный экзамен по этому полукурсу будет проведен в ноябре. Отдельный экзамен по второй половине курса будет проведен в декабре (и в январе-феврале 2020).
    Домашние задания (если источник не указан, то задание по книге [S]; cледите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг! окончательны только задания с жирными датами)
    К 11.09.2019: 1, 2, 3ab, 4, 5*, 6b (используя 6a), 7ab, 8a*b, 9*, 10a* из п. 4.1.
    К 18.09: 1.2, 2.4a из [S14] и 1abc, 2, 3ab*c, 4ab, 5abc*, 6ab из п. 4.2.
    К 25.09: 4.2.5a, 4.2.6b и 1, 2abcde, 3, 4ab, 6a*b из п. 4.3 и 2.4b из [S14].
    Ко 2.10: 1.1 из [S14] и 1abcd, 2abcd, 3ab* из п. 3.2 (в 3ab примеры без доказательств) в [S20, п. 3.2] и 4.3.6a*, 4.4.1ab* (в 4.4.1ab примеры без доказательств), 4.5.1a, 4.5.2.
    К 9.10: 3ab, 4ab, 5a, 1b из п. 4.5 и 4.3.7a*b*.
    К 16.10: 5b, 6ab, 7ab, 8ab из п. 4.5 и 4.4.1b*c, 4.4.2a*b*.
    К 23.10: 1.1 из [S14] и 1, 2abcd, 3a*b*c*d*, 4abcdefg из п. 4.6 и 4.3.6a, 4.4.1d*, 4.4.2ab*.
    К 30.10: 1b, 2bcd, 3abcde, 4, 5abc из п. 4.7 и 4.4.2c*, 4.5.9a*b*.
    К 6-13, 27.11: 7abcde, 8abc, 3ab, 4ab*, 6ab* (предполагая корректность) из п. 8.5 в [S20] и посмотрите мультфильм про отображение Хопфа и 1ab(1'22'3), 2ab*c*, 3ab из п. 4.8 и 4.9.1abcd, 4.9.2abcdef.
    К 20.11: п. 1-5 и 10 из [S20u].
    К 27.11-18.12: Lemma 2, Theorem 1* from [S18] и прочитайте п. 1,2,3*,4*, докажите сформулированные в п. 2 утверждения: the Hopf link is not isotopic to the standard embedding; \zeta is well-defined; (\zeta is a homomorphism)* из атласа (определения встречающихся там новых для Вас объектов можно найти по ссылкам на том же сайте) и 1.3.6, 4.5.9ab, 4.9.3a*, 4.9.4ab* и 5aa'*b*c*d*, 6a*e, 9a*b*ceg (aceg - предполагая b) из п. 4.10. Можно решать задачи на меньшем уровне строгости, как в [S20u].
    К 10.1.2020: 9fh, 3, 4ab, 1ab из п. 4.10 и из атласа: (докажите замечание 3.2a*c*d*) и готовьтесь к контрольной работе на всю пару, прорешивая задачи.
    Дополнительный материал для изучения после сдачи экзамена (последние два годны также на `отлично' автоматом):
    Whitney embedding theorem (см. идею док-ва в русской версии). QUICKLY UNKNOTTING TOPOLOGICAL SPHERES. Простое доказательство теоремы классификации зацеплений.

    Алгебраическая топология с геометрической точки зрения

    Обновляемая версия части книги, выложенная с разрешения издательства.
    Фотографии И. Решетникова, И. Федорова и других с занятий в 2013-2014.
    Осторожно, опечатки в фотографиях не исправляются - в отличие от опечаток в книге. Страницы указаны по издаваемой версии.
    К стр. 24, к доказательству неравенства Эйлера (задача 2.11a).
    К стр. 26, лист Мебиуса в книжке с тремя страницами (к задаче 2.19a, решение Т. Сеилова).
    К стр. 34, к задаче 2.15.
    К стр. 35, Утолщение графа (к задаче 2.21d, решение С. Соловьева).
    К стр. 35-36, Тор с дыркой в книжке с тремя страницами (к задаче 2.19b); краевые окружности ленты Мебиуса с дыркой меняются местами (к задаче 2.23d, рис. 25a), решение И. Сечина и М. Ягудина .
    К стр. 36, к задаче 2.23c (левая половина).
    К стр. 36-37, Преобразование диска с четырьмя ленточками, правая часть (к задаче 2.22b и другому решению задачи 2.26a, решение И. Сечина). `Разные' кольца с двумя лентами Мебиуса гомеоморфны (к задаче 2.23e, рис. 25b); преобразование диска с четырьмя ленточками, левая часть.
    К стр. 37, к доказательству формулы Эйлера (задача 2.26a).
    К стр. 45, п. 3.3: к определению степени; определение степени.
    К п. 3.3.
    К стр. 49, к задаче 3.2b.
    К стр. 51, к задаче 3.13ab.
    К стр. 52, к задаче 3.21bc; к задаче 3.22.
    К стр. 94, к определению клеточного разбиения.
    К стр. 104, к задаче 6.15a; к задаче 6.17c; к задаче 6.17d; к задаче 6.18.
    К стр. 105, к задаче 6.23d.
    К п. 8.3. Hopf fibration.
    К стр. 143, примеру линзовых пространств (слева).
    К стр. 148, определению приклеивающего слова.
    К п. 10.5. К п. 10.5.
    К стр. 151, к задачам 10.24 и 10.27. 1; 2; 3.
    К стр. 156, к задаче 10.13a; к задаче 10.16.
    16.02.2013: фото-1; фото-3. 2.03: фото-1; фото-2; фото-3. 9.03: фото-3; фото-4; фото-5; фото-6.
    16.03: фото-1; фото-2; фото-3. 13.04: фото-1; фото-2.
    26.04: фото-5; фото-6. 4.05: фото-1; фото-2; фото-2a; фото-3; фото-4.
    11.05: фото-1; фото-2; фото-3; фото-4; фото-6; фото-7; фото-9;

    Мотивированное и доступное изложение основ топологии

    Звездочками отмечена литература, требующая некоторой подготовки.
    [A] Д. В. Аносов, Отображения окружности, векторные поля и их применения. М., МЦНМО, 2003.
    [BE]
    В. Г. Болтянский и В. А. Ефремович, Наглядная топология. М., Наука, 1982.
    [BE] V.G. Boltyanskii, V.A. Efremovich, Intuitive Combinatorial Topology. Springer.
    [CR] Р. Курант, Дж. Роббинс, Что такое математика. М., МЦНМО, 2004 (глава 5).
    [F] А.Т. Фоменко, Наглядная геометрия и топология, 1992.
    [FT] С. Л. Табачников и Д. Б. Фукс, Математический дивертисмент. М., МЦНМО, 2011.
    [FT] D. Fuchs and S. Tabachnikov, Mathematical Omnibus. Amer. Math. Soc. Publ., Providence, R.I., 2007.
    [KRR] Towards higher-dimensional combinatorial geometry, presented by E. Kogan, V. Retinskiy, E. Riabov and A. Skopenkov. По-русски.
    [Mi14] * J. Milnor, Topology through Four Centuries.
    [Mk] * J. Matousek, Using the Borsuk-Ulam Theorem: Lectures on Topological Methods in Combinatorics and Geometry. Springer, 2008.
    [Mv] * S.V. Matveev, Algoritghmic topology and classification of 3-manifolds. Springer, 2003.
    [MA] * Manifold Atlas.
    [P] В. В. Прасолов, Наглядная топология. М., МЦНМО, 1995.
    [P] Prasolov V.V., Intuitive Topology. Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1995.
    [S] А. Б. Скопенков, Алгебраическая топология с алгоритмической точки зрения, Недостающие рисунки к параграфу 5.
    [S01] А.Б. Сосинский, Узлы и косы, М., МЦНМО, 2001.
    [S14] A. Skopenkov, Realizability of hypergraphs and intrinsic linking theory.
    [S18] A. Skopenkov, Invariants of graph drawings in the plane, Arnold J. Math. 6 (2020) 21-55; full version: arXiv:1805.10237; presentation.
    [S20] А. Б. Скопенков, Алгебраическая топология с геометрической точки зрения, М., МЦНМО, 2020 (2-е издание).
    [S20u] A. Skopenkov, A user's guide to knot and link theory, in: Topology, Geometry, and Dynamics, Contemporary Mathematics, vol. 772, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2021, pp. 281--309. Russian version: Mat. Prosveschenie 27 (2021), 128--165. arXiv:2001.01472.
    [S20e] * A. Skopenkov, Extendability of simplicial maps is undecidable, Discr. Comp. Geom., to appear.
    [S89] Ю. А. Шашкин, Неподвижные точки, М., Наука, 1989.
    [Z] * E.C. Zeeman, A Brief History of Topology.

    См. также:
    Санкт-Петербургская заочная олимпиада по топологии.
    А.А. Ошемков, А.Б. Скопенков, Студенческие олимпиады по геометрии и топологии, Матем. просв. 11 (2007) 131-140.


    Другие ранее исполненные курсы

  • Инварианты изображений графов на плоскости. Курс предложен в летнюю школу <<Современная Математика>>, но получил вечный отказ В.А. Клепцына. Желающие изучить этот курс могут связаться со мной.

  • Towards higher-dimensional combinatorial geometry. Main page. English. По-русски.

  • Некоторые приложения алгебраической топологии (весна 2021). Аннотация и программа, необходимые сведения, литература. Первые домашние задания (по книге [S20]): 10.9.1, 10.9.3*, 11.4.2a, 11.4.4ab, 11.6.1b, 11.6.2a, 11.1.1a*, 10.8.2, 11.4.1ab, 11.4.4cd, 11.4.5.

  • Спецкурсы в НМУ, на мехмате МГУ и на мехмате МГУ осенью 2012 Литература к этим прошлым спецкурсам - та же, что и к читаемым (но другие главы в соответствии с программами).

  • Топология-1, НМУ, весна 2014 (+ М. Скопенков).
    Программа. Видеозаписи лекций. Прием решений онлайн. Литература: параграфы 1, 2, 3 из [1].

  • Топология-2, НМУ, осень 2014 (+М. Скопенков).
    Программа. Видеозаписи лекций. Прием решений онлайн. Литература: параграфы 3, 4, 6, 8, 9, 10, 15 из [1].
  • Knot Theory, MiM, Spring 2014
    General information. References. On the final mark. Hints to some homework problems are given at the previous lecture.
    Homework problems.
    1.1*, 1.4, 2.1, 2.3.a, 3.1, 3.2a, 3.3, 3.5, 3.6 from [P].
    From [S] section 4; and from [S20u].
    1, 2, 3, 4, 5 из section 2.4 в [CDM]:=S.Chmutov, S.Duzhin, J.Mostovoy. Introduction to Vassiliev knot invariants, Cambridge Univ. Press, 2012 (Chapters 1 and 2). 2, 3, 5, 6, 7, 11, 12, 14, 19, 25 из [CDM, excercises to section 2, pp. 64-67] (нужно решать только для полинома Джонса, слова про полином Конвея в условии нужно игнорировать). 3.1.4, 3.2.3, 3.3.3* from [CDM, section 3].
    Problems 2.1, 2.2*, 3.4, 3.5*, 4.1, 4.2, 4.3, 4.4ab, 5.1ab, 5.2, 5.3*, 6.1.ab, 6.2, 6.3*, Theorems/Results 3.4, 3.6, 3.8, 4.2, 4.3, 4.5, 4.6, 4.7, 5.5, 6.3, 6.5, 6.8 from [PS] := Prasolov V.V., Sossinsky A.B. Knots, Links, Braids, and 3-manifolds. Amer. Math. Soc. Publ., Providence, R.I., 1996. В. В. Прасолов, А.Б.Сосинский. Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия, М., МЦНМО, 1997.

  • Последнее обновление/Last modification 9.11.2023.
    Contacts: s*open*o@mccme.ru, *:=k. Пожалуйста, направляйте пожелания и замечания Аркадию Борисовичу Скопенкову, s*open*o@mccme.ru, где *=k. Rambler's Top100