Тот, кто упражняется в дао, ежедневно теряет что-то из его внешнего, ложного блеска. (Чжуан-цзы, см. сноску 4 в в заметке)
The principle is this: that in everything worth having, even in every pleasure, there is a point of pain or tedium that must be survived, so that the pleasure may revive and endure. The joy of battle comes after the first fear of death; the joy of reading Virgil comes after the bore of learning him; the glow of the sea-bather comes after the icy shock of the sea bath; and the success of the marriage comes after the failure of the honeymoon. All human vows, laws and contracts are so many ways of surviving with success this breaking point, this instant of potential surrender. In everything on this earth that is worth doing, there is a stage when no one would do it, except for necessity or honour... The whole aim of marriage is to fight through and survive the instant when incompatibility becomes unquestionable. (G. K. Chesterton, What's Wrong With The World)
- `It's too difficult.' - `Write simply.' - `That's hardest of all.' (I. Murdoch, The Message to the Planet)
And the leap is not - is not what I think you sometimes see it as - as breaking, as acting. It's something much more like a quiet transition after a lot of patience and - tension of thought, yes - but with that [enlightenment] as its discipline, its orientation, its truth. Not confusion and chaos and immolation and pulling the house down, not something experienced as a great significant moment. (I. Murdoch, The Message to the Planet)
The modern world is full of theories which are proliferating at a wrong level of generality, we're so good at theorizing, and one theory spawns another, there's a whole industry of abstract activity which people mistake for thinking. (I. Murdoch, The Good Apprentice)
The preceeding theorem generalizes to many situations. In fact, there may not actually be an optimal generalization in the sense that no matter what generalization is given, someone could produce a more general one. One of the advantages of being an understander rather than a theorem quoter is that one may be able to obtain approaches to a wide variety of theorems some of which may not even have been formulated yet. (R. H. Bing, The geometric topology of 3-manifolds)
Как-то я (16-летний мальчик) спросил Сергея Петровича, зачем самому повторять стандартные трудоемкие
выкладки, если они тысячи раз уже проделаны и всем ясно, что результат верен?
Сергей Петрович очень серьезно мне ответил:
'Если вы не проведете выкладки самостоятельно, то потеряете контакт с реальностью и не сможете понять
следующий шаг'.
(А. Буфетов, статья памяти
С.П. Новикова)
AS: Если заменить `трудоемкие выкладки' на `упражнения, которые начинающему могут показаться слишком
простыми или, наоборот, слишком техническими', то я с этим полностью согласен.
(Как правило, когда материал - учебный или научный - по-настоящему понят, то можно обойтись без
трудоемких выкладок.)
Более того, я следую традиции так строить изложение, что глубокие идеи постепенно вырисовываются, в т.ч.
в ходе проработки лекций упражнениями (и, тем самым, оказываются по-настоящему понятыми).
См. также эпиграфы к главам в книге.
Q: Можно ли сдавать задачи, заданные на предыдущие занятия?
A: Из нужно решать и обсуждать с участниками курса, ибо их правильные решения нужны для
понимания дальнейшего материала и
успешного написания контрольных и экзаменационных работ.
Напрямую за них баллы не ставятся.
Q: Будет ли видеозапись занятий?
A: Против видеозаписи я не возражаю, но она не всегда ведется.
Изучение книги, самостоятельное решение домашних задач и их обсуждение полезнее просмотра видео.
Q: В третьем семестре я не изучал курс (1) Введение в топологию.
Разумно ли сейчас изучать курс (2) дифференциальной топологии?
A: Без изучения какого-то курса изучение курсов, которые на него опираются, будет вредной тратой
времени. (Как, например, изучать курс математического анализа без предварительного изучения графиков
линейной функции и квадратного трехчлена.)
Поэтому проще всего для Вас было бы сдать оба курса через год (если Вы второкурсник, то с небольшими доп.
заданиями для третьекурсников - учебная часть такое разрешала).
Более трудоемкий вариант вариант - изучить в ближайшие 2-4 недели необходимый материал (конкретные задачи
указаны выше) курса (1) - самостоятельно плюс по доп. занятиям в начале курса (2).
Если этот вариант нравится, то решайте задачи по (1) из списка и приходите на первое занятие курса (2) -
там можно обсудить подробнее.
Коллегам. Буду благодарен за Ваше мнение о своих курсах и стиле преподавания. По моему мнению, публичное профессиональное обсуждение разных стилей преподавания способствует развитию науки и образования. Традиция таких обсуждений восходит к Лао Цзы и Платону и продолжена, в частности, Д. Майером, П.Л. Капицей, Н.Н. Константиновым, В.И. Арнольдом и А.Х. Шенем (см. публикации выше). По моему мнению, закулисные административные обсуждения разных стилей преподавания вредят развитию науки и образования, а также ухудшают репутацию соответствующей администрации. Отзывы преподавателей (выложенные с разрешения авторов и в основном анонимные).
С 27.09 студенты могут выбрать вариант `без *'. Те, кто выберут этот вариант, пишут все контрольные работы, начиная со 27.09, по варианту, не включающему материал со *, и более простому. При этом начиная с 27.09 им не засчитываются устные домашние задачи со *, и идеальные письменные решения задач со *. Формула для оценки за семестр `со *' и `без *' одинаковая. Однако тем студентам, у которых меньше времени на изучение курса (в частности, тем, которым приходится тратить больше времени на наработку математической культуры, необходимой для его изучения), любую оценку проще получить по варианту `без *'. Продумайте Ваш выбор до 27.09, ибо после получения варианта на контрольной 27.09 изменить Ваш выбор нельзя. Cтуденты, выбравшие вариант `без *', на части семинаров будут разбираться с домашними заданиями, консультироваться, писать РДП, писать контрольную (когда она будет). Для студентов, выбравших вариант `со *', эти части семинаров будут проходить на более высоком уровне (в частности, с более высокими требованиями).
Домашние задания (Если источник не указан, то задание по
электронной версии книги [S20].
Бумажная версия книги [S20] доступна в библиотеке МФТИ -
просите 2-е издание 2020 года - но нумерация в ней может отличаться.
Окончательны только задания с жирными датами.
Перед решением каждого задания обновите pdf-файл книги.)
К 6.09: 1.4.1a1,a2,a3*, 2.2.1ab*, 2.2.2ab*, 2.3.2ab.
Прочитайте первую фразу в п. 2.2.
Определения ленты Мебиуса и тора можно найти в п. 2.1 (или в Википедии).
Посмотрите мультфильмы про тор и
Cutting a Moebius strip in half (and more).
К 13.09 (Наглядные задачи о поверхностях. Доказательство теоремы Жордана для плоскости.)
3ab, 4ab, 5*(две) из п. 2.2 и 2.3.2cd*, 2.4.1ad* и 1ca*, 2ab, 5, 6ab'b, 4, 3b(не менее двух), 3a*,
7a* из п. 1.4.
Определение бутылки Клейна и тора с дыркой можно найти в п. 2.1 (или в Википедии).
Попробуйте программу A polygonal
line avoiding an obstacle.
К 20.09 (Применения неравенства Эйлера. Доказательство формулы Эйлера для плоскости.)
3abc, 4*, 5c, 1ab из п. 2.3 и 2, 3ab (только K_{5,4}), 4a из п. 2.4 (в 2.3.5с и в п. 2.4 используйте
без доказательства неравенство Эйлера 2.5.3a; в 2.3.1ab нестрогое обоснование аналогично книге) и
2aсd, 5, 6ab, 4, 3b из п. 1.4 и 1.3.3c (далее используйте 1.3.3c без доказательства), 1.3.3d и 2.5.1abcd
(формулировка + эвристика) и [S, 1.3.6a*].
Определение сферы с ручками можно найти в п. 2.1 (или в Википедии), а букета циклов - на рис. 1.2.1.
Определения плоского графа и его грани можно найти в п. 1.3 (или в Википедии).
Посмотрите мультфильмы `Euler's Formula and Graph
Duality', про крендель и про
сферу с ручками и
К 27.09 (Доказательство неравенства Эйлера. Краевые окружности.)
6ab, 8a, 7(для тора), 8b*, 7* из п. 2.4 и 2.5.1abc (формулировка + эвристика) 2.5.1de (используя (с) без
доказательства), 2.5.2ab, 1.5.1, 1.5.2abcd, 1.5.3ab*c* и
[ABM+, 1.2, 1.3, 1.5, 1.4]
и [S, 1.3.6b*].
Посмотрите мультфильм `A map on the torus that cannot
be colored in 6 colors'.
Попробуйте программу Boundary
circles of disc with ribbons.
К 4.10: (Утолщения) 1.5.3a', 1.6.1afd*e*g*, 1.6.4ac, 1.6.5, 2.5.2b, 2.7.1a, 2.8.1a, 2.5.3a*,
2.5.1d'* и [DMN+, 1.4ba, 6.8b*a* (связный, F\ge2V-4)] и
[ABM+, 2.1, 2.2ab, 2.3, 1.6*, 2.6a*].
К 11.10: (Гомеоморфность поверхностей) 2abd, 3ab, 5, 6a, 7ab'b, 8ab из п. 2.7 и 5.2.2,
5.2.3ab, 5.3.2b, 1.6.2a*b*, 1.6.3(bI)*(bE)*a*, 1.1.2*, 2.7.6b*, 2.8.1d*.
К 18.10: [ABM+, 1.6, 3.3].
И 5.3.2ac, 5.4.1ab, 5.4.2abc, 5.3.3 (используйте без доказательства утверждение 5.4.2d), 5.3.1a, 5.2.3d,
5.5.1abcd, 2.6.1b*c*, 2.6.2a*b*a'*, 2.6.3a*a'*b*, 2.6.4d*, 2.6.5(bE)*a*.
Посмотрите мультфильмы Real projective plane and
Moebius strip, The cross-cap и
Moebius strip and Cross-cap.
Готовьтесь к контрольной работе на 15-20 минут, прорешивая задачи и прочитав типичное пояснение
(а дальше уж и без предупреждения).
2.8.5(a)* (К 25.10) Лента Мёбиуса с~ручкой гомеоморфна ленте Мёбиуса с~вывернутой ручкой.
К 25.10: 5.5.3abc, 5.5.2bcdegh, 5.5.4, 5.7.1abcd, 5.7.2a, 2.7.2c*, 2.7.7c*, 2.8.3a*, 2.8.5a*,
5.4.1d*, 5.5.5a*b*c*d*, 5.5.6* и по [S]:
1, 2, 3a, 4, 6* из п. 4.1. по [S]: 1, 2ab, 3, 4ab,
5, 6 из п. 4.2 и 1.3.4, 1.5.9abc, 4.3.1, 4.3.2, 4.3.3ab
К 1.11: по [S]:
4.2.4c*, 4.3.3acde, 4.3.4, 4.4.1*, 4.4.3a*, 4.5.1, 4.6.2a* и по
[S20u]: 1.1ab*c, 1.3, 2.1ab*c, 3.2, 3.3, 4.2, 6.1abcde, 6.2*,
6.3.a*, 5.1a*b* (используйте без доказательства теорему 3.4).
Посмотрите первую часть лекции и
вторую часть рекламы.
К 8.11: по [S]: 4.2.5b, 4.5.1, 4.4.3a* и
по [S20]: 1, 2abc, 3abc, 4a из п. 3.2 (в 4a примеры без доказательств), 3.3.1ab и
1, 2ab, 3abc, 4a из п. 3.4 и 2.6.6*, 2.6.7a*b*, 2.6.8(bE)*a*, 2.4.5*
и по [S20u]: 5.1b*, 5.2a*b*.
Посмотрите мультфильм о векторных полях.
К 15.11: 3.2.2d, 3.2.3d и 4bc, 5ac, 6ab, 7ab из п. 3.4 и 3.5.1a*bcdf, 3.5.2bcde,
3.5.3ab (доказывайте непрерывность, приводя формулу \delta(\epsilon)=...) и
2.6.5(bI)*, 2.6.8(bI)*, 2.7.6b*, 2.7.9b*a*с*, 3.2.4b* (в 4b* примеры без доказательств) и
[Sk14, 2.4a*b*].
Попробуйте программу
Homeomorphism between ribbon graph and sphere with handles and holes.
К 22.11: 3.2.2d, 3.5.4cd, 3.5.5ab, 3.1.5abcd*e, 3.6.1abcd, 3.6.2ab, по 3.6.3 укажите
минимальные импликации между 3.3.1c, 3.4.5b, Re, которые Вы доказали (минимальность означает отсутствие
тех импликаций, которые получаются по транзитивности), 3.6.3Sp(докажите), 3.5.3c*, 2.8.2a*b*,
[BMS, 5.1*, 5.2*, 5.3.a*b*c*].
Посмотрите кино о лемме Шпернера в мат. экономике.
К 29.11: 3.5.5abcd, 3.6.2ab, 3.6.3 (нарисуйте граф с вершинами 3.1.2, Re, Sp, RePL*, BrPL*,
Br\epsilon*, и ребрами - минимальными импликациями, которые Вы доказали; минимальность означает отсутствие
тех импликаций, которые получаются по транзитивности; импликации, включающие RePL, BrPL и Br\epsilon, со
*), 3.6.4 (отчет по 3.6.4 аналогичен 3.6.3, вершины - 3.1.3 и b,c,d), 3.7.1abcd, 3.7.2a,
3.5.4e*, 5.4.4b*, [Sk14, 1.1'*, 2.6*, 1.2*, 1.2'*].
Посмотрите кино о теореме Борсука-Улама и
короткометражку о гомотопии.
К 6.12: 3.6.3 (Sp=>Re; подсказка: при наличии ретракции r:D\to dD треугольника D поставьте в
соответствие вершине x триангуляции одну из вершин треугольника D, ближайших к r(x)), 3.7.2bd, 3.8.1abc,
3.9.1abcd, 3.9.2a' (тому, кто доказал лемму о поднятии пути 3.9.2a', четко сформулированные версии леммы о
поднятии гомотопии 3.9.2b можно использовать без доказательства), 3.9.2cd, 5.4.4b*, 5.4.5*, 3.11.2a*b*c*,
3.11.3a*b* и [Sk14, 1.2'*, 2.8*].
Посмотрите первую половину немого кино о накрытиях.
К 13.12: 3.7.2c, 3.9.2a'a''ab'be (лемму о поднятии гомотопии 3.9.2b уже нельзя использовать без
доказательства), 3.9.3abc, 3.9.4ab*, 3.4.5b (докажите), 3.6.4b (докажите), 3.1.4b, 3.10.1c, 5.7.3a*,
3.11.3c*d*e*, 3.1.1*, 3.1.5f*, 3.1.6* и [Sk14, 2.8*, 1.5*].
К экзамену 10.1 (по лекции 13.12 + повторение; можно обсудить на необязательной консультации;
предложения по ее времени, согласованные со студентами, просим старост прислать не позже, чем за 3 суток
до самого раннего предложения): 3.9.2a'a''ab'b, 3.10.1ab, 3.10.2, 4.1.1a, 4.2.1, 4.2.2, 4.3.1abcde*,
4.2.3b*, 3.11.1a*b*, 3.11.3d*e*, 3.1.7a*b*, 3.7.2d, 3.8.1c, 3.9.2ab, 3.1.2, 3.1.3, 3.1.4b, 3.6.3.Re,Sp
(докажите), 3.6.4bcd (докажите), 3.10.3a*b*, 3.11.2b*, 3.11.3b*c*d*e*, 3.1.1*, 3.1.6*, 5.4.5* и
[Sk14, 2.8*, 1.5*].
Экзамен 10.01 состоит из письменной части (10.00-10.30 для всех) и устной части 90 минут
(10.35-12.05; возможно, часть студентов без * будет приглашена на 12.05-13.35; эти 90 минут на все -
подготовку, ответ, заслушивание объяснений экзаменатора, что и почему неправильно).
Общие критерии такие же, как на дискретном анализе
(стр. 3) и в
типичном пояснении к контрольной работе.
БУЛЛА экзаменаторам по курсу
<<Введение в топологию>> (ее разрешается посмотреть и студентам).
На экзамене не будет испытаний по пунктам 1-6 программы.
Плотность вероятности появления на экзамене испытаний по пунктам 11-14 программы в два раза выше такой
плотности по пунктам 7-10 программы.
Для выбравших курс без * не будет испытаний по пунктам без * программы, да и испытания по остальным
пунктам будут полегче.
Домашние задания (Если источник не указан, то задание по
книге [S].
Окончательны только задания с жирными датами.
Перед решением каждого задания обновите pdf-файл книги.)
К 6.09: 1.1.1b, 1.1.2, 1.1.3*, 1.3.3b, 1.3.5a и по
[S14]: 2.4ab.
К 13.09: 1.3.6ab, 1.4.2, 1.4.3, 1.4.1, 1.4.4b* и 1 (используйте без доказательства утверждение
1.4.4b и теорему Куратовского 1.2.3e), 2, 3ab, 4ab, 5ab, 7(тогда) из п. 1.5 и 2.2.1ab, 2.2.3, 2.2.2a и по
[ABM+]: 5.2*, 7.2abc.
К 20.09: 1.3.5b, 1.4.4.a и 7 (используйте без доказательства лемму 6), 8, 6, 9abc, 10,
12 (mod 11) из п. 1.5 и 1.2.3с (полиномиальность), 1.6.3abcde и
[S20, 3.8.1c] и по
[ABM+]:
2.1, 2.2ab, 2.4ab, 2.6ab, 5.9abc, 5.4a.
К 27.09: 3f, 4abcd, 5, 7a, 6 из п. 1.6 и 3ab, 4ab, 5, 6ab, 7ab, 8a* из п. 9.2.
К 4.10: 9.2.8a, 1.5.3c, 5.1.5abcd, 5.1.8abcde, 5.1.9be, 2.2.2b* и по
[S14]: 2.6, 1.2', 2.8, 1.5.
К 11.10: 5.1.9e, 2.2.2b*. По [S14]: 2.8'abc, 1.5'.
По [S20]: 1a, 3, 4ab, 5ab, 6abc из п. 6.3 и
6.4.1abc, 6.5.1abc, 6.5.2abc, 6.5.3 (для триангуляции T).
К 18.10: По [S20]: 6.3.7ab, 6.5.4a,
6.5.5ab, 6.5.6b (п. 5.9), 10.4.3abcd, 10.4.4abc и 1abc, 2a, 3abc, 4abcd, 5abcd, 6abcd, 7abcd, 9abc*d*e,
8abc из п. 10.5.
?[S20, 3.6.2ab].
1a*b, 2abc, 3(3)(12)(22)(31)* из п. 6.1 (для объяснения реализуемости нужен рисунок,
а не доказательство; для обратного - эвристика), 6.2.1abcdef, 6.2.2ab.
6.2.3, 6.2.4, прочитайте п. 6.3, 6.4.1abc,e-i,j*, 6.4.2, 6.5.1
(топологическую вложимость), 6.5.3ab (используйте без доказательства теорему классификации),
6.5.4b (для k=2; используйте без доказательства 6.5.1 и 6.5.5), прочитайте п. 6.6.
К 22.03: 1.7.1ab*, 5.2.2ab, 5.2.1f, 5.14.3a,
и по [S20], по бум. версии: 8.1.6abcdef,
8.1.7abcde; по эл. версии: 8.1.7a и 1abc (в задаче 8.1.6abc бум. версии), 2, 5abcde (в задаче 8.1.6abcde
бум. версии), 8abcde (используя корректность) из п. 8.3.
К 29.03: 5.5.3b, 5.14.4e (для k=3), 5.5.4b (для k=2) и по эл.
версии [S20]: 3.7.2bc, 8.1.5cba (используя 8.3.7d
и 8.3.8f без доказательства), 8.1.4 и 5e (в задаче 8.1.6e бум. версии) 6, 3, 7abc, 4, 7d, 8cdef из п. 8.3.
К 5.04: 5.14.4e (для k=3),
5.5.4b (для k=2), 5.5.6d, 5.7.1, 5.7.2, 5.7.4abc (для k=2), 5.7.3, 6.2.2, 5.13.1 и по эл. версии
[S20]: 6bcd, 3, 7abc, 4, 7d, 8f из п. 8.3.
К 12.04: 5.5.4b (для k=2), 5.5.6d, 5.7.1, 5.7.2, 5.7.4abc
(для k=2), 5.7.3, 6.2.2, 5.13.1, 5.13.2ab, 5.13.4abcd и 1abc, 2ab, 3b, 5abc, 6ac из п. 5.14.
К 19.04: 5.5.1*, 5.5.4b (для k=2; используйте без
доказательства 5.5.1 и 5.5.5), 5.5.6d, 5.7.1, 5.7.4abc (для k=2), 5.7.3, 6.2.2, 5.14.6b,
5.14.4abcde, 4.8.1a, 4.8.1b (только 1<=>1'), 4.8.2a, 5.8.5a.
К 26.04: 5.7.1, 5.7.4c (для k=2), 5.7.3, 6.2.2, 5.14.4aa'*bcde, 4.8.2a* и 5bcd, 4, 6 из п. 5.8
для k=2, 1.5.9abc, 1.5.10, дочитайте п. 1.5.4.
К 3.05: 5.7.1, 5.7.4c (для k=2), 5.7.3, 6.2.2, 5.14.4aa'*bcde и 5d, 4, 6, 7, 2 из п. 5.8 для
k=2, 1.5.10, 5.9.1abc, прочитайте п. 5.9, 7.1.1ab*, 7.1.2abc, 7.1.3abc*.
К 10.05: 5.7.3, 6.2.2, 5.8.4 (для k=2), 5.8.6 (для k=2), 7.1.2bc, 7.1.3ab, 1.6.4abcd, 7.2.1ab,
7.2.2abcd, дочитайте п. 7.2.
К дифф. зачету 17.05: 5.7.3, 6.2.2, 5.8.6 (для k=2), 5.8.7 (для k=2), 5.8.2 (для k=2), 5.9.1bc,
5.14.4de, 7.1.1b*, 7.1.3c*, 7.2.2bef*, 7.2.3a*.
По [S22]: 4.1.3, 2.2a (используйте без
доказательства 2.8.8c), 2.1a.
По [S20]:
2, 3a (\Sigma(f) - объединение отрезков), 3b, 4ab, 5abc, 1 из п. 6.8.
Выше написано про часть 1 указанного курса.
Исполнялась также часть 2, которая влилась в курс
Препятствия и алгоритмы в алгебраической топологии.
Аннотация и программа, 2017.
Аннотация и программа, 2015.
Похожий спецкурс на матфаке ВШЭ, 2013.
Домашние задания (Если источник не указан, то задание по
электронной версии книги [S20].
Бумажная версия книги [S20] доступна в библиотеке МФТИ -
просите 2-е издание 2020 года - но нумерация в ней может отличаться.
Окончательны только задания с жирными датами.
Перед решением каждого задания обновите pdf-файл книги.
См. выше: задачи со звездочкой принимаются только у того, кто сделал все задачи без звездочки
на данный день, кроме, быть может, двух.)
К 6.09: 10.4.3abcd, 10.4.4abcde (замечание 8.6.3 эл. версии = замечание 8.4.3 бумажной версии)
и 1abcd, 2b*, 3abc, 4abcd, 5abc из п. 10.5.
К 13.09: 10.5.5de*, 10.5.6abcd и по
[S20eng, \S10.6]: 1ab, 2ab, 3a, 4abc, 5abcd,
6ab, 7* (используйте без доказательства 10.6.3b).
К 20.09: 7abcd, 9abc*d*e, 8abc из п. 10.5 и по
[S20eng]: 8.6.5c и 6b, 9a, 11abcd из п. 10.6 и
1aT, 1aN, 1bc, 2ab (без HP^2), 4, 5a из п. 10.7.
К 27.09: 9ae, 10abcd, 11abcd из п. 10.5.
Далее по [S20eng]: 8.6.5c, 10.6.6b,
10.6.13(1,3a,4a), 10.6.13*(4bc,5bd,7) и 1aN, 2a (без HP^2), 5b из п. 10.7.
Саше: сначала подготовьте к сдаче 1aT, 1b, 2b, 4, 5a из п. 10.7.
К 4.10: 10.5.9e (не используя классификации), 10.5.11c.
По [S20eng]: 8.6.5c, 10.6.13(5bd,7,11abcd),
10.7.1aN* (далее используйте без доказательства), 10.7.7a (используйте без доказательства 10.7.8 и 8.6.5d),
10.8.2.
К 11.10: По [S20eng]: 8.6.5c,
10.7.7a*b (используйте без доказательства 10.7.8 и 8.6.5d), 10.8.1a, 9.1.3 (mod 9.2.1, 9.4.6ab, 9.5.1),
6.7.8ab*, 10.6.9b*.
(Саше: готовьте к рассказу не сданные Вами задачи из предыдущих заданий, используемые в Ваших решениях
этого.)
К 18.10: По [S20eng]:
10.7.3 (mod...), 10.8.1b, 10.6.10*.
По [S]: 3abcdef, 4abcd, 5, 7a из п. 1.6 и
3ab, 4ab, 5, 6ab, 7ab, 8a* из п. 9.2.
К 25.10: По [S]:
1.6.6, 1.5.3, 6.7.1 (см. указание к 6.2.1f).
5.2.1, 5.2.2, 5.2.3(1<=>3), 5.2.4a.
?5.2.7a*b, 5.3.2 (2ab, 4ab), 5.4.2, 5.3.3, 5.3.4abc, 5.3.7, 5.4.1ab.
5.3.1abc, 5.3.5, 5.3.6a, 5.3.6b (4.3.4bc).
По [S20eng] 10.7.5c*d*e*, 10.7.6*, 10.7.1c*,
8.6.5d*.
Borr: 4.7.1a и 5.3.9 (без доказательства тройной зацепленности), 4.7.1a (доказательство тройной
зацепленности), 5.4.2, 5.3.9* (доказательство тройной зацепленности),
По атласу:
2.1ab, 5.1bc, 5.1e (well-defined, for l=1, mod2).
К 22.10: 1*, 3, 5 из п. 5.10 по статье.
К 29.10: 1, 3, 5, 6, 2 из п. 5.10 и 9abc, 10, 11 из п. 1.5.
К 5.11: 5.11.1abc, 5.13.2a*b*, 5.13.3ad, 5.14.1a*bde.
К 12.11: 5.13.3b, 5.13.4ab и 1afg, 3ab, 2(=>), 4 из п. 5.14
К 19.11: 5.11.4, 5.11.5ab, 5.13.4c, 5.12.7ab* (without `deformation').
К 26.11: 4bc, 5ab, 6 из п. 5.13 и 5.11.3, 5.11.2b,
5.12.7ab, 5.12.8ab* (without `deformation'), 5.14.1g, 5.14.2(=>),
5.7.4 (d=2k=4; mod 5.14.2), 5.8.2c (d=2k=4; mod the analogue of 5.14.2), [S20, 11.7.6b].
К 3.12: 4bc, 5b, 6 из п. 5.13 и 5.11.2b,
5.12.7a*b*, 5.12.8ab*, 1.5.12, 5.11.5c, 5.13.5c, 4.9.1c, 4.9.6e
К 10.12: 5.13.4bc, 5.13.6, 5.11.2b, 4.9.1c, 4.9.6e и
5.8.2d (d=2k=4; подсказка в \S7).
По arXiv:math/0604045:
Example 5.7.a for l=1, Example 5.7.d* for m=n+2=3.
К 17.12: 5.4.4, 5.7.1a, 5.13.4bc (hint:
Remark 1.5.5.c), 5.13.6, 5.11.2b, 4.9.6e, 4.7.4h*,
Remark 1.5.5.c,
Lemma 2,
Theorem 1.9 for k=r=2 (hint: Remark 3.1.c),
И теоремы Уитни о вложимости n-многообразий.
К обсуждению 25.12: 1abcdef, 2abcd*, 3ab*c*d*e*, 4ab*c* из п. 5.15.
Classify smooth embeddings into R^5 of S^2\times D^1, (of punctured S^2\times S^1)*,
(of the boundary connected sum of two copies of S^2\times D^1)*;
use without proof that any two embeddings into R^5 of S^2 are isotopic.
Examples 3.4ab, 3.1abc, 3.2*, 3.3* (use without proof
Unknotting Spheres Theorem 2.3 and isotopy of embeddings S^k\times[0,1] coinciding on S^k\times0 and
having homotopic normal vector fields to S^k\times0)).
Дополнительные главы по препятствиям и алгоритмам в алгебраической топологии. Курс проходит по четвергам, 12.30-13.15 и 13.45-14.30, для тех, кто успешно решает обычные главы (или уже сдал их).
Домашние задания (Окончательны только задания с жирными датами.
Перед решением каждого задания обновите pdf-файл книги.)
К 5.09: задачи 8.6.5ab из эл. версии [S20].
К 12.09: По эл. версии [S20]: 8.6.5ab. По invasurf.pdf: 1.1.4a, 1.1.3 (невложимость),
comment in \S2.5.
По [ABM+]: 5.2, 5.9abc.
К 19.09: По эл. версии [S20]: 8.6.5a.
[S, 6.7.3] для k=2.
По invasurf.pdf: 1.1.4b, 1.1.3 (невложимость), 1.1.3,
(For any maximal $k$-forest $T\subset K$ defined before 2.4.1 and $k$-face $\sigma\subset K-T$ there is a
unique non-empty $k$-cycle $\widehat\sigma$ in $T\cup\sigma$...).
По [ABM+]: 6.5, 7.2abc, 5.4a.
К 26.09: (\Delta_6^2 is Z_2-embeddable to CP^2), (\Delta_6^2 is Z-embeddable to CP^2), use
without proof that CP^2 is a closed 4-manifold whose (integer, or mod2) intersection form has matrix (1) in
some basis; non-existence of integer van Kampen number [Garaev, Remark 6abc];
по invasurf.pdf: (comment on the connectedness assumption after Theorem 1.1.6).
К 3.10: (\Delta_6^2 is Z_2-embeddable to CP^2), (\Delta_6^2 is Z-embeddable to CP^2),
(\Delta_7^2 is Z_2-embeddable to the connected sum of 30 CP^2)*, use without proof [S, 6.7.1] and that
CP^2 is a closed 4-manifold whose (integer, or mod2) intersection form has matrix (1) in some basis.
По invasurf.pdf: (comment on the connectedness assumption after Theorem 1.1.6), 1.1.4c, 2.4.2ab
(mod 2.2.1b), 1.1.5b (mod 2.4.1 and 1.1.6),
(For any $k$-face $\sigma\subset K-T$ there is a unique, up to multiplication by $-1$, non-zero primitive
integer $k$-cycle $\widehat\sigma_\Z$ in $T\cup\sigma$.)
К 10.10: По invasurf.pdf: (comment on the connectedness assumption after Theorem 1.1.6), 1.1.4c,
1.1.5b (mod 2.4.1 and 1.1.6), 2.4.2c (k=2), 1.1.5c (mod 2.4.2c, 2.4.1Z and 1.3.1).
Emil - on diploma work.
К 17.10: Emil - on diploma work. По invasurf.pdf: 2.4.2c (k>2, mod 2.2.1b).
Example from Remark 1.3.g of [DS22].
[Bing, Theorems I.1.ABCD].
[AP24]: Example 3 (find a mistake), Lemma 6
(mod A := '$\st_\sigma\Delta'$ intersects $\Gamma$ exactly by $\sigma_1\cap\Gamma$';
either give a proof or find another gap).
К 24.10: Emil - equivalent definitions of PL embeddability into R^d.
[Bing, Theorem I.2.A]
[AP24]: A*, Lemma 8 mod
Lemma 6, the `obvious' fact from Lemma 7, Lemma 7*, Theorem 2*.
(the triple intersection of pairwise transversal submanifolds is triplewise transversal)
8.6.5d*, (8.6.5b'*: give conditions under which u^{-1}(v(S^2)) is a 1-cycle in S^2),
К 31.10:
[KS21e: 2.5.1]
[SS23]: 1.2 (only if), 3.1ab, 2.2ab.
Первые темы: (1) аддитивность ранга многомерных гиперграфов;
(2) применение аппроксимации погружениями --- принципа плотности Смейла-Громова.
(3) equivalent definitions of PL embeddability
Аннотация и программа близкого курса `Алгоритмы распознавания реализуемости гиперграфов-2', 2021. Литература: [S, параграфы 4, 5, 6], [S16].
Домашние задания
(если источник не указан, то задание по книге [S];
cледите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг! окончательны только задания с жирными датами; основные
задачи обсуждаются только с теми и засчитываются только тем, кто сделал все задачи на повторение, кроме,
быть может, двух; задачи со * обсуждаются только с теми и засчитываются только тем, кто сделал все задачи
без *, кроме, быть может, двух)
К 7.02, по [S]: 2.1.3, 2.1.6, 2.2.1a,
2.2.2a, 2.2.3, 8.1.3a и по
[S20]: 3.2.4a, 3.2.5ab*, 3.6.2a.
К 14.02, повторение по [S20]: 3.1.7a, 3.10.2, 9.2.2ac.
По [S20]: 6ab, 5b, 8abc*, 9abc*d*e*f*, 11a из п. 3.2 и 14.1.1, 14.1.5, 14.1.2ab и по [S]: 4.10.5a.
К 21.02, повторение по бумажной версии [S20]: 9.2.2acde, 8.7.1ab, 8.7.2ab и посмотрите
мультфильмы про отображение Хопфа: для взрослых,
для детей-1,
для детей-2.
По [S20]: 7, 9defg, 10abc, 11bcd, 12ab из п. 3.2 и 3, 2cdeh, 4, 6ab из п. 14.1.
К 28.02, повторение по бумажной версии [S20]: 8.7.2ab, по эл. версии [S20]: 8.3.1abcd, 8.3.2,
8.3.5abc.
По [S20]: 3.2.10ab, 3.2.9g, 3.2.13ab*, 14.1.2deh, 14.1.6abcd*, 14.2.1abcde.
К 6.03, повторение по эл. версии [S20]: 8.3.5defg, 8.3.6abcd, 8.4.3ab.
К 6.03, по [S20]: 3.2.13a, 3.2.13d (аналоги 3.2.10ab), 3.2.14abc*, 14.1.2deg*h, 14.1.6c,
14.2.1cde, 14.3.1 (X - объединение букета окружностей и дисков по отображениям границ дисков в букет;
используйте без доказательства 14.3.2), 14.3.2 (U_1\cap U_2 связно; образующие), 14.4.1ab, 14.4.2a,
14.1.2i* (используйте пояснение и без
доказательства 14.3.2).
К 13.03, повторение по эл. версии [S20]: 8.3.6abcd, 8.3.7abcd, 8.4.3cdefg, 8.4.4.
К 13.03, по [S20]: 3.2.13d (аналоги 3.2.10ab), 3.2.14abc*, 10.1.2a, 14.1.2deh, 14.1.2i*
(используйте пояснение и без доказательства
14.3.2), 14.2.1de, 14.3.1 (X - объединение букета окружностей и дисков по отображениям границ дисков в
букет; используйте без доказательства 14.3.2), 14.3.2 (U_1\cap U_2 связно; образующие), 14.4.1d,
14.4.1e* (if $X$ is simply-connected, then forg is bijective), 14.4.2abd, 14.4.3abd*, 15.6.4bc.
По [S20e] 1.5c, 1.9aa'*b (определение выше).
Здесь и далее можно пользоваться без доказательства теоремой Хопфа [S20e, 1.5b*]
и результатами о степени, аналоги которых Вы доказали для степени по модулю 2.
К 20.03, повторение по бумажной версии [S20]: 3.10.3ac, 8.7.5a, 8.7.7ab;
по электронной версии [S20]: 8.3.8a.
Здесь и далее, кроме 8.7.6a, можно пользоваться без доказательства корректностью определения инварианта
Хопфа [S20, 8.7.6abc].
К 20.03. По [S]: 4.3.3, прочитайте
п. 4.8, 4.8.2, 4.8.4, 4.9.1abc, 4.9.3(i<=>ii), 4.9.5a.
По бумажной версии [S20]: 3.2.14c*, 8.7.6a, 14.1.2i* (используйте
пояснение и без доказательства 14.3.2),
14.3.2 (U_1\cap U_2 связно; образующие), 14.4.1d, 14.4.1e* (if $X$ is simply-connected, then forg is
bijective), 14.4.2e, 14.4.3d*, 15.6.4abc, 15.6.4e(first bullet point).
По [S20e] 1.5c for $l=2$ (hint: any two disjoint finite
subsets of $S^2$ are conained in disjoint PL disks in $S^2$), 1.9aa'*b (определение выше).
Здесь и далее, кроме 8.8.2c, можно пользоваться без доказательства инъективностью инварианта Хопфа
[S20, 8.8.2c].
К 27.03, повторение по эл. версии [S20]: 8.3.8bcdef, 8.1.7.
К 27.03. По бумажной версии [S20]: 3.2.14c*,
8.7.5a' (the preimages of the Hopf map are intersections of $S^3$ with complex lines $a_1z_1+a_2z_2=0$,
where $a_1,a_2\in\C$), 8.7.6a (hint: approximate given map $f:S^3\to S^2$ by a simplicial map $g$ that maps no
2-simplex to a point; then the preimage of any $k$-simplex is a $(k+1)$-simplex; take $y_1,y_2$ outside
1-skeleton; take a path joining $y_1,y_2$ outside 0-skeleton), 8.7.7ab (тор не нужен), 14.1.2i*
(используйте пояснение и без
доказательства 14.3.2), 14.4.1e* (if $X$ is simply-connected, then forg is bijective), 14.4.2e, 14.4.3d*,
15.6.4.a,b,c(up to the sign),c*,e(first bullet point),e(second bullet point).
По эл. версии [S20]: 8.11.1b*c*d*e*.
По [S20e] 1.5c* for $l=2$, 1.9aa'*bb', 1.8a.
Здесь и далее, если не получается что-то доказать самостоятельно в [S20e], то восполняйте детали
в имеющихся набросках доказательств.
К 3.04, повторение по [S20]: 8.3.8f, 8.1.7, по [S]: 2.2.1ab, 2.2.3, 2.2.2ab.
К 3.04. По [S20]: 8.7.7a, 15.6.4bed* (hint: for a PL map $\psi:S^3\to S^2\vee S^2$ define
$H(\psi) := \lk(\psi^{-1}y_1,\psi^{-1}y_2)$, where $y_1\in S^2\vee*, y_2\in*\vee S^2$ are distinct
{\it regular} values of $\psi$, and $\psi^{-1}$ is the `oriented' preimage).
По [S20e] 1.9.b', 1.8b и для l=2: 1.7(m=1), 1.7, 1.2, 1.1
(use without proof Lemma 1.4).
По [S]: 2.1.3, 2.1.6*, 2.3.1abcd.
К 10.04, повторение: [S20, 3.10.3ac] и по [S]: 7.1.1, 8.1.1a, 8.1.2ab, 8.1.3ab.
К 10.04: По [S20]: 8.7.7a, 15.6.4e.
По [S20e] для l=2: 1.7, 1.2, 1.1
(use without proof Lemma 1.4).
По [S]: 2.3.1c, 7.2.1 (при помощи теоремы Борсука-Улама 6.5.4), прочитайте п. 7.1-7.3 и 7.3.7b,
7.4.1abc, 7.4.2(r=6), 6.15.1, 6.15.2ab, 6.15.3abcd.
Задачи со * к 27.03.
К 17.04: По [S20e] для l=2: 1.7, 1.2, 1.1
(use without proof Lemma 1.4; дальнейшие задачи обсуждаются только с теми и засчитываются только тем, кто
сделал не менее 2 задач из этих 3).
И 6.15.4abcd (дальнейшие задачи обсуждаются только с теми и засчитываются только тем, кто сделал все эти 4
задачи).
И 7.2.1 (при помощи теоремы Борсука-Улама 6.5.4), прочитайте п. 7.1-7.3 и 7.3.7b, 7.4.1abc, 7.4.2(r=6)
(дальнейшие задачи обсуждаются только с теми и засчитываются только тем, кто сделал не менее 5 задач из
этих 6).
И 1cd, 6, 7abcd, 8ab из п. 8.2 и 8.3.1, 8.3.2(1)-(5).
Задачи со * к 27.03.
К 24.04, повторение по [S]: 8.2.1ab, 8.2.2abcd.
К 24.04: 7.2.2, 8.2.6, 8.2.8a, 8.2.7cd, 8.3.3a, 8.3.4, 7.3.5b (mod 8.3.6, 8.3.7, 8.3.5, 7.5.1),
7.3.2b (mod 7.3.5b), 8.4.1abc, 7.3.2a (для r простого, mod 8.4.2).
Задачи со * к 27.03, 7.1.3* (mod Barany CCT [RRS]), 7.3.7b*.
К 1.05 (дистанционно): 6.15.4a, 7.2.2, 7.3.2b (mod 7.3.5b), 8.4.1ac, 8.4.1c (mod 6.15.4b),
8.4.2, 7.3.2a (для r простого), 9.1.1 (прочитайте), 9.1.2abc, 9.2.1ab,
9.2.2 (прочитайте), 9.4.1a. Задачи со * к 27.03 и к 24.04.
К 8.05: 8.4.1c, 8.4.2, 7.3.2a (для r простого, mod 8.4.1c), 9.2.1b, 9.2.3ab и 1a'bcdefgh, 2ab,
3ac(необходимость), 6ab, 5ab из п. 9.4 и 9.5.1ab, 9.1.3a*b*.
Задачи со * к 27.03 и к 24.04.
К 15.05, повторение по [S20]: 9.4.2a, 9.4.3a, 9.4.6a.
Можно пользоваться без доказательства эквивалентностью ориентируемости следующему.
Ориентацией n-мерного векторного пространства V над R можно назвать невырожденную полилинейную
кососимметричную форму V^n\to R.
Многообразие N называется ориентируемым, если существует семейство ориентаций касательных пространств
к N в точках x\in N, `непрерывно зависящих' от точки x\in N.
В начале п. 9.4 опечатка: вместо (234) и (124) нужно (243) и (142).
К 15.05. Решите нерешенные Вами задачи к 8.05 (заносить в таблицу те из них, которые не
повторены ниже, не нужно, но и решать задачи к 15.05, не решив их, неразумно). 8.4.1cd, 8.4.2, 7.3.2a
(для r простого), 9.2.1b и 3c, 4a, 5ab, 7abc*de, 4b из п. 9.4 и 9.5.1bcd, 9.5.2abc, 9.5.3b.
К 22.05, повторение по эл. версии [S20] (кусочек 0) 10.4.3abcd, 10.4.4abcde (замечание 8.6.3
эл. версии = замечание 8.4.3 бумажной версии), 10.5.1abcd.
К необязательной консультации 22.05? и дифф. зачету 22.05.
Решите нерешенные Вами задачи к 15.05 (заносить в таблицу те из них, которые не
повторены ниже, не нужно, но и решать задачи к 22.05, не решив их, неразумно).
Задачи из каждого следующего кусочка обсуждаются только с теми и засчитываются только тем, кто сделал все
задачи без * из предыдущего кусочка, кроме, быть может, двух.
Кусочек 1 по эл. версии [S20]: 3abc, 4abcd, 5abcde*, 6abcd из п. 10.5 (задача 6.4.1 эл. версии =
задача 6.4.1 бумажной версии).
Кусочек 2 по эл. версии [S20]: 7abcd, 9abc*d*e, 8abc, 10abcd, 11abcd, 2b* из п. 10.5.
Кусочек 3 по [S]: 9.4.9a, 9.4.1i, 9.4.7e, 9.4.4b, 9.5.3ba, 9.6.1ba, 9.3.1*, 9.4.2с*, 9.4.8c*d*.
Кусочек 4 по [S]: 8.2.6, 8.2.8a, 8.2.7cd, 8.3.3a, 8.3.4, 8.4.1b,
7.3.5b (mod 8.3.6, 8.3.7, 8.3.5, 7.5.1).
Для необязательной самостоятельной работы (этот материал входил в курсы прошлых лет).
РДП (или тексты по исследовательским задачам)
По [S]: 9.5.4*, 9.5.5* (для замкнутых PL 3-многообразий)
2, 3ab, 4 из п. 9.6 и 9.8.1b(n=2)c(n=2), 9.8.2b(n=3)c(n=3), 9.8.3
(7.1.2 [BM16])*, (6.7.4 или аналог для числа Радона)*,
(7.2.1 или 7.2.3 при помощи чисел ван Кампена или Радона)*.
По [S20]: 14.1.2f*, 14.5.1ab, 14.5.5ab (подсказка: определение локально-тривиального расслоения в конце
п. 13.1), 14.7.1ab,
14.9.1 a(реализация класса) a(реализация гомологичности для n>3) b(реализация класса) c(n>3),
14.9.2a (для PL 3-многообразий и отображений; под $S^1$ понимается $S^1_{PL}$; значение PL отображения
называется {\it регулярным}, если оно не совпадает с образом ни одной вершины некоторой триангуляции,
для которой отображение симплициально) и
14.9.2a(n=3)d(n=3)*d(реализация класса)*,
14.9.3a(корректность для n=3) b(реализация класса для n=4)*c*.
14.9.4a(корректность для n=4)*b(реализация класса)*с*.
Линейность* и суперкоммутативность* произведения Уайтхеда.
[KS21, Remark 1.3.C] и по
[KS21e]: Corollary 1.2.1a (mod 1.2.3 and 2.3.2),
Lemma 2.3.2 for M = R^{2k}*, Corollary 1.2.2 (mod 1.2.3 and 1.2.4a), Corollary 1.3.2ab
(mod 1.3.1a, 1.3.4 and 2.1.7), Lemma 2.1.7*, Corollary 1.3.3b (mod Theorem 1.3.4).
Топология зацеплений и конфигурационных пространств (весна 2024)
[DMN+]: 2.2, 2.3a, 2.4*, прочитайте \S3, 6.1ab,
6.2ab, 7.1, 7.2, 7.3ab, 7.4ab, 7.6, 7.5ab, 7.7ab*, 8.1bc (кроме K_5,K_{3,3}), 8.2abcd, 8.3ab, 8.4ab,
8.5ab.
Аннотации и программы похожих курсов
<<Кратные пересечения в геометрической
топологии, топологической комбинаторике и комбинаторной геометрии>>, НМУ, осень 2018, и
<<Топологическая гипотеза Тверберга:
комбинаторика, алгебра и топология>>, НМУ, осень 2016.
Аннотация, программа и литература
курса для НМУ (весна 2022).
Были разобраны п. 1-3 и 7 программы, а также материал доклада
"Invariants of graph drawings in the
plane" на семинаре "Динамические системы" на матфаке ВШЭ.
Гомотопическая топология с алгоритмической точки зрения (весна 2020).
Аннотация, программа и литература.
То же, что по курсу <<Введение в топологическую комбинаторику>> по [S].
И по [S20]: 2, 3, 4b, 5c, 6ab из п. 3.1 и 3.10.2, 3.10.3с, 4.3.3b*, 4.4.2ab*, 8.6.2ab*,
(3.2.3a с доказательством)*, (4.2.4a для заузленных окружностей)* и 10.1.3, 10.1.7*, 14.3.3ab* и
прочитайте п. 10.2 и 10.3.1.ab, 10.3.5 и 13.4.2cd*, 13.4.3ab и 5ab, 6a-g, 7a-e из п. 8.1 и 8.2.4a*b*c*,
1a-h, 2a-g, 3, 5e*f*, 6, 7 из п. 8.2 и 8.3.1a*b, 14.9.1ac, 14.9.2a (для PL многообразий и отображений),
8.7.5a, 8.7.8abc*d*e*. Утверждениями 8.2.4c, 8.2.5ef, 8.3.1a можно пользоваться в других задачах этого и
следующего заданий без доказательства. И 8.3.1a*b, 8.7.8f*g*, 8.7.4b*, прочитайте п. 13.1, 13.1.1abc,
13.2.1f, 13.4.1 и 13.4.2b (с заменой векторных расслоений на I-расслоения), 13.2.3a*b*, 13.4.2c, 13.4.3ab.
13.4.4a (первая фраза), 13.3.1a*b*, 13.4.4b*c*, 4.1.6.b*, 4.9.2b*,
леммы 6* и 7*; F определен на стр. 8.
Домашние задания (Если источник не указан, то задание по
электронной или
бумажной 2020 года версии книги [S20].
Следите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг!
Окончательны только задания с жирными датами.)
К 10.02, по атласу:
Example 2.1ab, Example 5.1bc*e*(well-defined, for l=1, mod2) и по
[S20]: 14.4.2abd, 14.4.3ab.
К 24.02 по [S20]: 15.1.2, 15.1.6, 15.1.7a, 15.2.1 и по январскому занятию, ktori_link.pdf
(используя без доказательства то, что там использовано без): Lemma 3.3 (the first three equalities),
Lemma 3.4a*, Lemma 3.3 (H\lambda_-)* (далее используйте без доказательства), Theorem 2.2, (how does the
Hopf invariant of a map S^3\to S^2 change under the composition with the symmetry of S^2 w.r.t. a
hyperplane containing the equator), Lemma 3.5.
К 26.02, по ktori_link.pdf (используя без доказательства то, что там использовано без):
Lemma 2.4, Corollary 2.3ba.
По [Sk15, \S3]: 2.1ab* for p=0.
К 11.03, по [Sk15, \S3]: 2.1b, 2.2 for p=0
(=[Ha66A, 1.3-1.7]), 2.1a* for p=1.
По атласу:
2.2(well-defined)(homomorphism), 3.2a(well-defined)(homomorphism), 3.2bcd,
3.3(well-defined)(homomorphism)[both for q\le m-3],
3.4 (используя конструкцию Понтрягина и Lemma 3.4a из ktori_link.pdf).
По [S20]: 15.1.6, 15.6.5a.
По ktori_link.pdf: корректность определения на стр. 4.
К 18.03. По атласу:
2.2(homomorphism), 3.2a(homomorphism), 3.3(homomorphism, for q\le m-3),
3.4 (используя конструкцию Понтрягина и Lemma 3.4a из ktori_link.pdf).
По [S20]: 15.6.5b (подсказка: [Sk20e, Sketches of proofs of (a1,b1) in p. 6]).
По ktori_link.pdf (используя без доказательства Theorem 2.2 и то, что там использовано без):
корректность определения на стр. 4, Lemma 3.4b, Theorem 2.6abcd.
К 25.03. По атласу:
3.2a(homomorphism), 3.3(homomorphism, for q\le m-3).
По [S20]: 15.6.5b.
Prove that [i_1,[i_2,i_3]] \in \pi_4 (S^2 V S^2 V S^2) is non-zero.
По [DMN+]: 2abcd, 3ab, 4ab, 5ab из \S8
(граф $\widetilde K_n$ определен перед леммой 1.7).
По ktori_link.pdf (используя без доказательства то, что там использовано без): 4.1.b*, 2.7.b*, 2.8*,
К 1.04. По [DMN+]: 8.5ab.
Prove that [i_1,[i_2,i_3]] \in \pi_4 (S^2 V S^2 V S^2) is non-zero (hint: define an invariant of a map
S^4 \to S^2_1 V S^2_2 V S^2_3 whose compositions with the contractions to S^2_j and to S^2_2 V S^2_3
are null-homotopic).
По ktori_link.pdf, p. 5: prove the existence of a homotopy equivalence \varphi for q>1;
(are the spaces homotopy equivalent for q=1?)*;
construct a homotopy equivalence \psi;
the map p_1:F_3(\R^m)\to S^{m-1} defined by p_1(x_1,x_2,x_3) := \psi(x_1,x_2) is a fibration
and has a cross-section;
\pi_s(p) is surjective for any s;
\pi_s(i) is injective for any s.
По ktori_link.pdf, 4.2*.
If X is an (r-1)-complementary n-connected manifold, then F_r(X) is n-connected;
(the same for n-connected replaced by n-acyclic)*
(the definitions are analogous to [HKTT, Definition 1.3]).
К 13.04. По alg-alm-emb, p. 3:
p_* is surjective for any s;
i_* is injective for any s;
p_*i_S^*(\varphi^*)^{-1}(k^*)^{-1}[g^3]=0;
F is (2m-4)-connected;
\pi_{3q}(F) = \pi_{3q}(S^{2m-3}) (используя без доказательства Hilton's theorem).
По [DMN+]: 5.7b*.
Из \S15.2: 1, 3a (прочитайте), 5.
К 20.04. 15.2.5.
Prove that [i_1,[i_2,i_3]] \in \pi_4 (S^2 V S^2 V S^2) is non-zero (hint: define an invariant of a map
S^4 \to S^2_1 V S^2_2 V S^2_3 whose compositions with the contractions to S^2_j and to S^2_2 V S^2_3
are null-homotopic).
Calculate \pi_k(S^p V S^p V S^p) for p>1 and k=3p-3, k=3p-2
(in terms of \pi_k(S^p) and \pi_k(S^{2p-1}); give a heuristic proof).
По reports.pdf: Proposition 4.3, Lemma 4.4.
К 22.04. \pi_j (S^2 V S^2) for j=4,5 (give a heuristic proof), problems 1, 2, 3* from
F. Vylegzhanin's talk.
По tver_comp.pdf: Lemma 2.
К 29.04. По tver_comp.pdf: Lemma 2.
По [S]: 4.6.2a, 4.7.3c.
По alg-alm-emb.pdf: (prove for q=1 the existence of a homotopy equivalence \varphi from \S2),
Proposition 4ab, (what does not work for $1=q=m-2$ in \S2?)*.
К 6.05. If any intersection of $n$ complexes (including intersections involving ony one complex)
is contractible (including empty), then $H^{n-1}$ of the union is zero.
Proposition 2.3
(what does not work for CW complexes in which the closure of every cell is homeomorphic to the ball?).
По [S20]: 2ab, 3ab*cd из п. 14.8.
По tver_comp.pdf: Theorem 1 (modulo Ozaydin-Volovikov lemma).
(Let $D_1,D_2$ be copies of $D^4$, and $f:D_1\sqcup D_2\to\R^7_+$ be a proper map whose restriction to the
boundary is a link map.
If the abbreviation of $f^2$ to a map $\partial(D_1\times D_2)\to (\R^7_+)^{\underline 2}$ is
null-homotopic, then the abbreviation of $f^2$ to
$\partial D_1\times\partial D_2\to (\R^6)^{\underline 2}$ is null-homotopic.)
Problems 3*, 4* from F. Vylegzhanin's talk.
К 13.05. (Let $D_1,D_2$ be copies of $D^4$, and $f:D_1\sqcup D_2\to\R^7_+$ be a proper map
whose restriction to the boundary is a link map.
If the abbreviation of $f^2$ to a map $\partial(D_1\times D_2)\to (\R^7_+)^{\underline 2}$ is
null-homotopic, then the abbreviation of $f^2$ to
$\partial D_1\times\partial D_2\to (\R^6)^{\underline 2}$ is null-homotopic.)
По [S20, электр. версия]: 14.8.2c*d, 14.8.4abc (use without proof Pontryagin's classification of [N^3;S^2]).
По alg-alm-emb.pdf: (what does not work for $1=q=m-2$ in \S2?).
По [S]: 4.10.5b*, 5.4.1a, 5.4.2, 5.4.3, 5.4.4a*
(use without proof 4.10.5b and Triple Parity Lemma).
К 20-21.05. 3 (mod4), 4, 5 из п. 15.3 и 1ab, 3ab, 7abc, 4, 2 (mod 15.3.6) из п. 15.4, 15.2.4.
(Triple Parity Lemma)*.
Экзаменационные задачи: обсудить и записать [S, 5.4.4a] (Тимур)
Theorem 2.1 (for embeddings;
the definition of the cap-product \lambda is either by duality with the homology-cohomology cap product,
or as in
the
atlas; Эрик).
Гомотопическая топология и ее приложения (осень 2023)
Аннотация и программа.
Для изучения курса достаточно владеть материалом
[S20, \S\S 3, 8.1-8.3, 8.7, 14.1-14.3].
Литература: [S20, \S\S 8, 14, 15],
\S3.
Домашние задания (список сокращен) (Если источник не указан, то задание по
электронной или
бумажной 2020 года версии книги [S20].)
Ко 2-16.09: 8.3.2e, 8.8.2d, 14.4.1abc*d, 14.4.2c, 14.4.3cd, 14.6.2 из бум. версии [S20]
(подсказка: [DNF, ч.2, \S23.1]) и
Theorem 4.1 (инъективность для p=q и PL случая;
используйте теорему о незаузленности сфер, теорему о конкордантности и изотопии, и лемму о поглощении) по
атласу.
Theorem 4.1 (инъективность для PL случая; используйте то же)
по атласу и
Theorem 2.6c for closed manifolds and 2m>3n+2
(mod леммы о поглощении) и
Theorem 2.6c for closed manifolds (mod леммы о поглощении).
К 24.09-12.10:: 14.5.7ab, 14.6.3abc, 14.6.1-1, 14.6.4ab(сюръективность)c
(подсказка: [DNF, ч.2, \S23.2,3]) и
8.8.3ab, 14.5.3e, 14.6.4b(инъективность), 14.8.1ab, 14.8.2abc, 14.8.3abcd, 14.8.4abc, 15.6.6ab.
Ко 28.10-23.11: по ktori_link.pdf. мотивировка к статье.
К 30.11-14.12: по [Sk05']: (define the attaching
invariant of knots S^n\to S^d with trivial normal bundle), Lemma 3.1
(the attaching invariant is a homomorphism), Symmetry Remark in \S3.
Доп. материал:8.7.8abcdef, 14.8.4a* и 2cd, 3ab, 4b, 5, 8ab, 6, 7, 4acd из п. 14.7 и
1abc, 2abcd, 3abcdef, 4ab*, 5ab из п. 14.5, 14.5.6, 14.5.7ab, 14.5.9bcdefg, 14.5.10ab, 14.6.4de
Через гомотопическую топологию к сверхтекучести. Мастер-класс (осень 2018), ориентированный на студентов ФОПФ. Литература: [S], [S20, параграф 8.7] и [MM95, RSS05] из [S20].
Домашние задания (Если источник не указан, то задание по
электронной версии книги [S20].
Бумажная версия книги [S20] доступна в библиотеке МФТИ -
просите 2-е издание 2020 года - но нумерация в ней может отличаться.
Следите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг!
Окончательны только задания с жирными датами.
Перед решением каждого задания обновите pdf-файл книги.)
К 14.02: 4.2.3, 4.2.4b*, 4.4.2b, 4.4.4ab, 5.7.1abcd, 5.7.2a, 5.7.3a*, 6.2.1abc, 6.2.2abcd*,
6.2.3bcd и 1abb'c, 2, 3, 4ab из п. 6.3.
К 21.02: 4.3.1cde*f, 4.4.1a*, 4.5.3ab и 5abc*, 6abc*, 7abc* из п. 6.3 и 6.1.2b.
К 28.02: 4.3.1g, 4.3.2a*, 4.1.2a*, 4.5.3c, 4.5.5ab, 4.5.6
По гладким (под)многообразиям. По [S20], бумажной версии: 8.4.1abcde (см. определение сферы с
ручками в п. 2.1), 8.4.2 (4.5.1abcdf, 4.5.2a, 4.5.4*, 4.6.1; напишите номера задач, аналоги которых
сделали), 8.4.4c, 8.4.3 a(гомеоморфность)* a(подмногообразие) b* c*(подмногообразие).
По п. 5.2: 0, 1abcde, 3abcde*f*.
Примечания. Утверждения типа 8.1.8a на лекциях я предваряю вопросами типа
`существует ли ненулевое касательное векторное поле на $S^3$'? Но в книгу это не включаю.
Диффеоморфизмы ни для чего в этом курсе не нужны (см. замечание в конце п. 4.6).
Возможно, серьезное изучение гладкой формализации понятия степени (после гораздо более простой
кусочно-линейной формализации) - это то, что придется удалить из программы (наступив на горло своей песне),
чтобы не перегружать студентов, а также не жертвовать более ярким материалом ради более технического.
Линейно-алгебраический метод в топологии: теория гомологий:
аннотация и программа;
видеозаписи занятий (2021).
Домашние задания 2023 года (список сокращен) (Если источник не указан, то задание по
электронной версии книги [S20].
Задачи со * обсуждаются только с теми и засчитываются только тем, кто решил все задачи без *, кроме не
более чем двух.)
К 20.09: 6.3.7b* (контрпример для не локального евклидовых гиперграфов), 6.3.8abc, 6.4.1abc,
6.4.2a, 6.4.3* и 1abc, 2, 3a*, 4ab, 5ab из п. 6.5.
К 27.09: 5.9.1ac (по эл. версии), 6.5.3ab, 6.5.6a, 6.7.1a' (пересечение ребра \sigma и
ребра \tau^*, двойственного к ребру \tau, равно \delta_{\sigma\tau}), 6.7.1a(без симметричности), 6.7.1bc.
К 4.10: 1d(определите `естественные' отображения $f$ и $f^*$), 2ab, 2d (форма пересечений
симметрична), 3a (достаточно нестрогих рассуждений), 4, 5abcd*ef из п. 6.7 (здесь и далее используйте без
доказательства утверждение 6.7.5d для других утверждений) и 6.5.6a, 6.6.1a.
К 11.10: 2.2.5d*, 6.6.1b* (достаточно нестрогих рассуждений), 6.6.2, 6.7.2c, 6.7.3b*, 6.7.5g,
6.7.6, 8.1.1b, 8.1.2 (напишите номера задач, аналоги которых сделали), 8.1.3 (равносильность).
К 18.10: по электронной версии 8.1.2(3.7.2d), 8.1.3(доказательство), 8.2.1eg, 8.3.6abcd,
8.3.7abcd, 8.4.3abce, 8.4.4, 8.4.5, по бум. версии 10.6.8*.
К 25.10: по электронной версии 8.2.1g, 8.2.2c и 3e, 4, 5, 6abd из п. 8.4 (утверждением 8.4.5
можно пользоваться в других задачах без доказательства) и 8.1.3(доказательство), 8.1.5ab, 8.1.8(b=>a) и по
[KS21e]: read definitions before Addendum 2.4.3,
2.4.3a ( for any k-face s in K-T there is a unique non-zero k-cycle in H_k (T U s) ), 2.5.4ab*c*d и
KxI (K стягиваем <=> KxI стягиваем), DHxI (DHxI сдавливаем)*,
К 1.11: по электронной версии 8.4.5, 8.4.6abd, 8.4.7, 8.1.4, 8.1.8b (утверждением 8.4.5 можно
пользоваться в других задачах без доказательства) и 4.5.1f, 4.5.2bc (см. определение в конце п. 2.1),
4.5.4, 4.6.3i, 4.7.1abcdef, 4.7.2 (предполагая корректность).
К 8.11: по электронной версии 8.4.5, 8.4.6abd, 8.4.7 (равносильность) (утверждением 8.4.5 можно
пользоваться в других задачах без доказательства), 4.5.1f, 4.5.2bc (см. определение в конце п.2.1), 4.5.4,
4.6.3i, 4.7.1f, 4.7.2 (предполагая корректность), 4.8.1abc и
К 15.11: по электронной версии 8.4.5, 8.4.6abd, 8.4.7 (равносильность) (утверждением 8.4.5
можно пользоваться в других задачах без доказательства), 4.5.4, по бумажной версии 4.8.1abc, 4.8.2abc,
4.8.3ab, 4.6.1, 8.4.2 (4.6.1), 8.3.2abd
(в определении шары D_1,...,D_{k+l} не существуют, а наперед заданы; в (d) замените
(k+1,l+1) на (k-1,l-1)), 8.3.1a.
К 22.11: по электронной версии 8.4.5, 8.4.6abd, 8.4.7 (равносильность) (утверждением 8.4.5 - и,
тем самым, корректностью определения степени - уже нельзя пользоваться в других задачах без доказательства),
4.5.4, по бумажной версии 4.8.3ab, 4.6.2, 8.4.2 (4.6.1), 8.3.2abd (в определении шары D_1,...,D_{k+l} не
существуют, а наперед заданы; в (d) замените (k+1,l+1) на (k-1,l-1)), 8.3.1a, 8.6.1abc*d*c'*d'*,
8.6.2abcdef*, 8.5.2, 8.5.1a, 8.5.3ac.
Теоремами 8.3.1a и 8.6.2f можно пользоваться в других задачах без доказательства.
К 29.11: по электронной версии 8.4.6abd, 8.4.7 (равносильность), 4.5.4,
8.10.3abс* и по бумажной версии 8.3.2abd (в определении шары D_1,...,D_{k+l} не
существуют, а наперед заданы; в (d) замените (k+1,l+1) на (k-1,l-1)), 8.3.1a, 8.6.1b, 8.6.2abcdef (в f
достаточно картинок для тетраэдра), 8.5.2, 8.5.1a, 8.5.3ac*,
8.7.4b (по бумажной версии; в 4b можно пользоваться без доказательства результатами задач 8.7.6abc),
9.4.1, 9.4.2a.
Теоремами 8.3.1a и 8.6.2f можно пользоваться в других задачах без доказательства.
Можно пользоваться без доказательства эквивалентностью ориентируемости следующему.
Ориентацией n-мерного векторного пространства V над R можно назвать невырожденную полилинейную
кососимметричную форму V^n\to R.
Многообразие N называется ориентируемым, если существует семейство ориентаций касательных пространств
к N в точках x\in N, `непрерывно зависящих' от точки x\in N.
В начале п. 9.4 опечатка: вместо (234) и (124) нужно (243) и (142).
К 6.12: по бумажной версии 8.3.1a, 8.5.3ac*,
8.6.3a*b*c* и и 1, 3ab, 4, 5, 6a из п. 9.4 и 9.1.1a, 9.1.2ab, 9.2.2abcdef (deg f четно), 9.3.1a.
К 13.12: 9.3.1b (эвристика), 9.3.2a, 9.2.1 (вывод из
погружаемости в R^3 окрестности подмногообразия F в M) и 2a, 3abc, 4ab, 5ab из п. 9.7, 9.5.1, из п. 10.4,
10.5.2a, 9.4.2b*, 9.4.6b*.
К дифф. зачету 20.12: 9.7.3c, 9.7.4ab, 9.7.5ab, 9.5.1, 10.5.2(a-f)g* и
1, 2ab, 3a*, 4a* из п. 10.6 и 10.7.0 (пересечение k-симплекса \sigma и клетки \tau^*, двойственной к
k-симплексу \tau, равно \delta_{\sigma\tau}), 10.7.1abcd* (для n=3=s+1), 10.8.1ab, 9.1.3.
По нашему мнению, курсы (топологии) должны быть устроены так, что
(a) полученные студентами знания и умения были адекватны программе курса и оценке студента за курс;
это достигается за счет
* приема экзамена по курсу в основном теми, кто не ведет этот курс;
* публикации (на страничке курса в интернете) в начале семестра программы, правил сдачи экзамена,
информации об общих критериях математической культуры на занятиях и на экзамене, а также списка
необходимых знаний и умений из предыдущих курсов (как это делается на ДА; чтобы студенты строили работу
в семестре, отталкиваясь от этих правил, и выбирали курсы - если выбор возможен - отталкиваясь от
объявленного уровня курса, а студенты, не изучавшие эти предыдущие курсы, предупреждались о трудностях).
(b) занятия вели авторы признанных в стране и в мире (научных и методических) работ по данному
направлению;
(c) студенты получали еженедельные задания (в основном по материалу лекции), успешное решение которых
несложно (для тех, кто разобрался с лекцией и прошлыми заданиями) и дает возможность получить успешную
оценку за курс даже без серьезной траты времени на подготовку к экзамену;
(d) каждый студент мог хотя бы раз в 2 недели рассказать (лично преподавателю или у доски)
хотя бы одну задачу (тем самым и потренироваться к экзамену и завоевать очки, влияющие на экзамен).
(e) сильные и мотивированные студенты могли серьезно изучить объемный материал, содержащий глубокие
идеи; слабые или немотивированные студенты могли без перегрузки получить хорошую или удовлетворительную
оценку, за которой стоят адекватные знания
(это достигается, например, за счет выделения разных уровней обучения в рамках одного курса)
(f) могли приниматься непопулярные решения, но через смягчение и мотивирующий разговор со студентами
(например, решение о дополнительных занятиях из (3) выше можно смягчить включением небольшой части
предварительного материала в занятия по данному курсу, необязательностью дополнительных занятий для
сдавших соответствующие курсы на `отлично', и объяснением тех разочарований, к которым может привести
попытка изучать более продвинутый материал без базового).
Здесь экзаменом называется экзамен или дифф. зачет.
М. Блудов, А. Рухович, А. Скопенков.
Вот еще мнения о том, как должны быть устроены курсы (топологии).
Я сознательно привожу разные (в т.ч. противоположные) мнения, чтобы стимулировать профессиональное
обсуждение разных мнений.
Нужно, чтобы
(b') вместе с авторами, упомянутыми в (b), занятия вели молодые талантливые преподаватели, в результате
чего (вместе с их научным ростом) они постепенно вырастали бы, вплоть до уровня лектора МФТИ;
(g) более продвинутые темы изучались бы только после более базовых
(например, как на ОКТЧ + ДА линейно-алгебраический метод изучается только после применений правила
суммы и произведения в комбинаторике).
(g') более продвинутые темы не обязательно изучались бы после более базовых;
(h) немотивированные студенты могли стать более мотивированными за счет того, что материал
прокладывает путь от ярких интересных студентам результатов к нужным для результатов методам и теориям;
(h') немотивированные студенты могли стать более мотивированными за счет того, что материал
прокладывает путь от нужных студентам методов и теорий к интересным и ярким результатам.
Преподаватели, выдвинувшие в частной переписке принцимы (g',h'), не дали разрешения опубликовать здесь
их имена.
Я укажу здесь эти имена, когда получу разрешение.
Принципы (a,b,b',c,d,e,f,g,h) реализованы на курсах (1),
(2), (3), (4) выше (b'- всегда на
дифф. зачетах и экзаменах и, при наличии достаточного количества студентов, на занятиях).
М. Блудов не ответил на вопрос о том, какие из вышеприведенных принципов реализованы на курсе
Дифференциальная геометрия и топология.
Я укажу здесь ответ, когда получу его.
Курс гомотопической топологии в 4 семестре ФПМИ, проводимый Д.М. Скуридиным, параллелен курсам (2,4) из списка в начале этой страницы. Программа курса не представлена лектором на обозрение студентов перед началом семестра; я предложил лектору представить программу и поставлю здесь на нее ссылку, когда это будет сделано. Необходимые соответствия и допустимые несоответствия в наших разных курсах по одной теме не обсуждались до начала семестра; я предложил лектору их обсудить и укажу здесь результаты, когда это будет сделано.
Домашние задания (Если источник не указан, то задание по
электронной версии книги [S20]; если задачи нет
в электронной версии, то по бумажной 2020 года версии.
Следите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг!
Окончательны только задания с жирными датами.
В заданиях используйте без доказательства следующий факт и его обобщения на многообразия
с краем и Z-коэффициенты: if N is a closed smooth n-manifold, P and Q are its closed smooth p- and q-
submanifolds, intersecting transversely, then [P]\cap[Q] = [P\cap Q] \in H_{p+q-n}(N;Z_2)). )
К 8.09: 11.9.2abc*de, 11.9.3abcd*, 11.4.1ab, 11.4.2ab.
К 15.09: прочитайте п. 10.2; 10.3.1a, 10.3.3abc (mod 10.1.7), из п. 10.4, 10.7.0
(пересечение k-симплекса \sigma и клетки \tau^*,
двойственной к k-симплексу \tau, равно \delta_{\sigma\tau}), 10.7.1abcd, 11.9.2bc*de, 11.9.3bcde*.
К 22.09: из п. 10.4, 10.7.1bcd, 10.7.2ab, 10.8.1ab, 10.8.2ab,
11.4.1ab, 11.4.2a, 11.9.3e* (mod 11.2.3) и 1, 3
(подсказка),
2(своб.части)(кручения)* 6(унимод)* из п. 10.9.
К 29.09: из п. 10.4, 6.2.3d, 10.7.2a' (формула Лейбница; подсказка: для граней a\supset b
триангуляции опишите грани барицентрического подразбиения, из которых сосотоит a\cap b*), 10.7.2ab,
10.7.3a, 11.2.2a, 11.9.4, 11.9.5a и 3
(подсказка),
2(своб.части)(кручения)*, 5ab*, 6(унимод)* из п. 10.9.
К 6.10: 10.7.2b, 10.9.5a, 11.2.2a (ни a, ни b не содержат граней на границе),
11.2.3a(mod2)b(mod2), 11.9.5bcde (mod 11.2.3), 11.9.7, 11.9.8ab*.
К 13.10: 6ab*cc'd*e, 1a (негомеоморфность S^3), 8c, 1b, 1a* из п. 11.9
(mod 11.2.3, 11.4.2c, 11.4.6ab, 11.9.6bd, 14.5.7b и 14.7.4c) и 11.4.4b.
К 20.10: 2c*d, 3ab, 4acd, 5 из п. 11.4 (hint to 4d: use im\partial \cap \im\partial = 0,
im i \cap_\partial \ker\partial = 0, and non-degeneracy of the intersection forms \cap and \cap_\partial)
и 11.3.5, 11.9.9* (mod того же, что к 13.10, и \pi_j(SO_7)=0 для j=4,5,6), 16.3.2 (необходимость),
9.7.7 (первое равенство, mod 16.2.1a), 16.5.2a (mod 16.4.1a), 16.5.3a (mod 16.5.2b и 16.4.1c).
К 27.10: 2d, 3b, 4cd, 5 из п. 11.4 и 8.3.2abcde (по бумажной версии), 8.8.1de, 8.8.2abcd,
14.6.2, 14.6.3abc (для n=2); подсказка: [DNF,
ч.2, 23.1, 23.3Б] или Прасолов2004, 18.3, 18.5.
К 3.11: 14.6.3bc*, 14.6.1-1 (mod 14.6.3c; подсказка:
[DNF, ч.2, \S23.3]) и по
[S22]: 2abcde, 3*
(подсказка: Claim in p. 14) и по
[Ka]: 7.5, стр. 195, 7.8 (mod 7.7),
стр. 200, invariance of signature (mod 7.7).
К 10.11: 14.6.3c*, 14.6.4a и по
[Ka]: стр. 206,
(right trefoil \ne left trefoil), (square \ ne granny), прочитайте стр. 252 и определения
10.1 и 10.2, (|q^{-1}(0)|\ne|q^{-1}(1)|)*, стр. 259(v)* и по
[DNF, ч.2, \S23.4]
(для !гомологической! функции Арфа \Phi, см.
текст):
0a (постройте оснащенный тор, для которого \arf\Phi=1), 1a (функция Арфа - не гомоморфизм; указание:
рассмотрите тор со стандартным оснащением), 1b (=1 для M\subset S^3 со стандартным оснащением), 1с* (=1).
К 17.11: 14.6.4b (сюръективность) (инъективность);
подсказка: [DNF, ч.2, \S23.2] и по
[DNF, ч.2, \S23.4] (для !гомологической!
функции Арфа): 0b* (вычислите инвариант Понтрягина для композиции S^6\to S^5\to S^4 гомотопически
нетривиальных отображений), 1b (=1 для M\subset S^3 со стандартным оснащением), 1с (=1),
2a (independence of a symplectic basis), 3a (если g(M)\ge2, то существует \alpha\ne0, для которого
\Phi(\alpha)=0), 3b (=3), 3c (если \alpha\ne0 и \Phi(\alpha)=0, то можно уменьшить число ручек оснащенной
перестройкой), 3d (the surgery preserves \arf\Phi).
К 24.11: по [Ha62A]
3.3 for n=2, d=4, r=1 (read 3.2; spherical modification = surgery) и по
[DNF, ч.2, \S23.4]
0b* (вычислите инвариант Понтрягина для композиции S^6\to S^5\to S^4 гомотопически нетривиальных
отображений), 1, 2a (independence of a symplectic basis), 2b* ($\arf\Phi=0$ if and only if
there is a symplectic basis $a_1,...,a_g,b_1,...,b_g$ such that $\Phi(a_1)=...=\Phi(a_g)=0$)*, 3,
3c (если \alpha\ne0 и \Phi(\alpha)=0, то можно уменьшить число ручек оснащенной перестройкой),
3d (the surgery preserves \arf\Phi) и 14.6.1-2 (mod корректности инварианта Понтрягина).
К 1.12: по [Ha62A]: 3.3
(read 3.2; spherical modification = surgery; далее можно использовать без доказательства) и по
[DNF, ч.2, \S23.4]: 0b* (гомотопна ли нулю
композиция S^6\to S^5\to S^4 гомотопически нетривиальных отображений), 1*, 3, 3c (если \alpha\ne0 и
\Phi(\alpha)=0, то можно уменьшить число ручек оснащенной перестройкой) и 14.6.1-2 (mod корректности
инварианта Понтрягина) и (any stably trivial 3-dimensional vector bundle over S^2 is trivial),
(any two smooth embeddings $S^4\to S^8$ are isotopic; modulo results used in the lecture without proofs).
К 8.12: [Ha62A, 3.3],
(any stably trivial 3-dimensional vector bundle over S^2 is trivial), (any two smooth embeddings
$S^4\to S^8$ are isotopic; modulo results used in the lecture without proofs), read
[Sk16s, \S\S1-3],
prove that the Haefliger invariant E^{6k}_D(S^{4k-1}) \to \Z, the signature \pi_{6k+1}(S^{2k+1}) \to \Z,
and the Haefliger invariant \pi_{6k+1}(S^{2k+1}) \to \Z are homomorphisms (assuming that they are
well-defined), calculate the Haefliger invariant for Example 2.1a
(hint: [Ha62A, \S4]).
К 15.12: 1 (the intersection form of V is even),
2a (calculate the Haefliger invariant \varkappa(f) for Example 2.1a),
2b* (calculate the Haefliger invariant \varkappa(f) for Example 2.1b using any formula),
3 (the Haefliger invariant \pi_{6k+1}(S^{2k+1}) \to \Z is well-defined and is zero),
4 (the Haefliger invariant \varkappa(f) is independent of framed V for fixed framed f),
5 (the Haefliger invariant \varkappa(f) is independent of framed cobordism of framed f).
Hint: [Ha62A, \S4, 2.8, 2.7].
К экзамену:
(the Haefliger invariant \varkappa(f) is injective; hint:
[Ha62A, 3.5]; use
Theorem 6.3.b), (the Haefliger invariant \varkappa(f) is independent of framing of f; hint:
[Ha62A, 2.3, 2.4, 2.9]),
Example 3.1.
Домашние задания
(если источник не указан, то задание по книге [S];
cледите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг! окончательны только задания с жирными датами; если не
получается что-то доказать самостоятельно, то восполняйте детали в имеющихся набросках доказательств.)
Повторение. По bookeng.pdf: 8.2, 8.1 for m=2n+1=3, 8.1 for m=2n+1, 8.1 for m=2n first step.
По `Элементам...' Прасолова: теорема Хопфа 18.9ab, 18.9c (Let f:B^{n+1}\to B^{n+1} be a map such that
f(S^n)\subset S^n. Then \pm\deg(f|_{S^n}:S^n\to S^n) equals to
the algebraic intersection in S^n\times S^n of the graph of f|_{S^n} and S^n\times*, to the sum
\deg_c f of signs of f-preimages of a regular value c of f, and to the algebraic intersection in
B^{n+1}\times B^{n+1} of the graph of f and B^{n+1}\times*).
По parsa_join.pdf: доказательство теорем 1 и 3*, (сообщите замечания по всему тексту)*.
По eliminat.pdf: сообщите замечания по \S1 (до замечания 1.5 включительно) и по \S3 (до теоремы 3.2
включительно); необходимость в теоремах 1.2, 1.3, 1.4; Remark 1.5b;
достаточность в теореме 1.2 для d=n_1+n_2, d-2>n_1,n_2, ориентируемых N_1 и N_2
(можно пользоваться без доказательства тем же, чем в bookeng),
1.2a (under the assumptions of Theorem 1.2 for d=n_1+n_2, orientable N_1, N_2, and
general position map f, the number fN_1\cdot fN_2 equals to \pm\deg_0F, where
F:N_1\times N_2\to B^{n_1+n_2} is defined by F(x,y)=f(x)-f(y)),
1.2b (... and to (fN_1\times fN_2)\cdot\delta_2, for some orientation on \delta_2),
1.2c (... and to the degree of the map \t f:d(N_1\times N_2)\to S^{n_1+n_2-1}, for some orientation on
S^{n_1+n_2-1}), 1.2d (if any of these numbers is zero, then the map \t f is null-homotopic),
1.2e* (for a connected n-manifold N a map dN\to S^{n-1} is null-homotopic if and only if it extends to
N); теорема 3.1 для d=6, N_1=D^2 и N_2=D^3, теорема 3.1 для d=n_1+n_2+1, n_1,n_2>1, ориентируемых N_1 и N_2
(можно пользоваться без доказательства утверждением 1.2e*).
По bookeng.pdf: прочитайте и сообщите замечания по \S1, \S4, \S5 (до теоремы 5.4 включительно),
\S8 (до утверждения 8.4a включительно); 8.3, 8.4a (без незаузленности); (прочитайте \S7 без аппендиксов
и сообщите замечания)*Timur, 8.4.bc (можно пользоваться без доказательства тем же, что в bookeng),
8.1 (existence of an almost embedding), 8.8a (obtain the condition only for disjoint \sigma,\tau), 8.10,
8.8b for d=0, 8.7 for d=0 (using 8.9).
По [S20]: 10.8.1a, 10.8.2a, 10.8.1b, 10.8.2b,
10.9.1, 10.9.5ab, 10.9.2(свободные), 10.9.3, 11.2.2a, 11.2.3a(Z_2)(свободные) (по бум. версии; use without
proof that any subgroup of $\Z^k$ is isomorphic to $\Z^l$ for some $l\le k$),
из 11.6, 11.7 (по эл. версии).
По [CS16]: 3.1*.
По [S]: 4.6.6ab, 4.6.7ab, 4.6.9a, 4.6.10abc*, 4.6.10d (прочитайте), 4.6.9bcd*e*, 4.7.4abcdefg*h*,
4.9.6b*, 6.6.2abc, прочитайте и выскажите замечания по формулировкам: 6.6.3.abcd, 6.6.4abcd, 6.6.5ab;
6.6.6abc, 1.6.3ab, 1.6.5ab.
По joinpowers: the `if' part of T 1.3 (using lemmas without proof), 2.1, 2.3 (using 2.5 without proof),
3.1ab, 2.2ab, 2.5a, 3.3*, 2.5b(l=1)b*.
По alg-alm-emb: L3.
Не разобранные темы, входящие в программу курса:
По [S20]: 11.2.3a(свободные), 5.8.1acde.
Any subgroup of $\Z^k$ is isomorphic to $\Z^l$ for some $l\le k$ (start with k=2; use primitive elements).
По [S]: 6.6.6bc, 4.7.5a*, 1.6.3b, 1.6.5ei, 1.6.6acd*, 1.6.7abc.
По bookeng: 2.2ab (PL, (b) for n=2, используйте без док-ва [RS, 3.27] и 1.1,
подсказка), 4.5bdefcag.
По [DS22]: 2.1, 1.10, 1.8, 1.9.
Только следующие темы будут повторены в новом курсе: [S20, 8.10, 14.4],
\S3.
К новому курсу.
По alg-alm-emb. [RS72, \S5; 5.6.ii, 5.8, 5.9]
For every m construct an immersion a_m : R^m \to R^{2m} which is approximately linear outside the unit ball,
and has a single double point
(hint)
Домашние задания осени 2022
18-25.07: [KS21],
по [KS21e]: 2.5.3, 2.5.4abcde
(see definitions before Addendum 2.4.3), [DS22].
К 8-15.08: Th 1.1ab* (=>), Th 1.4* (=>);
C121a mod Th 123, L232, R251: E<=>EH, R252b*.
К 22-28.08: 1.5.6, 5.8.5, 8.5.1abcdef, 8.4.2ab, 8.5.3.
К 18.09.2022: по [S20]: 13.1.1abcd*e, 6.8.2, 6.8.3ab и по [RS72]: 5.2.1, 5.2.3, 5.4*.
Hint to 13.1.1c: Define a map $p_1:D^2\times S^1\to D^2$ by $p_1(z,w)=zw$.
Find a self-homeomorphism $h_1$ of $D^2\times S^1$ such that $\pr_1 h_1 = p_1$.
Пересмотрите мультфильм про отображение Хопфа.
К 24.09: 8.3.6cd, 8.5.2abcd, 8.3.4a и по [RS72, \S5]: 2.1, 2.3, 4* (без Addendum) и по [S20]:
6.8.3a, 13.1.1c, 10.6.1, 10.6.2ab, 10.6.3ab, 10.6.4ac.
Ко 2.10: по [S20]: 10.6.4acd, 11.2.1abc (G=Z_2), 11.3.1abcd, 11.3.2abcd, 11.3.4ab (далее
используйте 11.3.3 без док-ва) и по [S]: 5.14.4c, 7.2.8b*, 7.2.9bad*c* и по [RS72]: 5.4*.
К 9.10: по [S20]: 6.8.4ab, 11.2.1cd (G=Z_2), 11.3.2d, 11.3.3
и по [S]: 7.2.8b*, 7.2.9bad*c* и по [RS72]: 5.4*.
К 16.10: по [S20]: 11.2.1c (G=Z_2) и по [RS72]: 5.4, 5.4.Addendum*, 5.5
(
сильная теорема Уитни о вложении для PL случая; используйте 3.27 без док-ва).
К 23.10: [RS72, 5.4, 5.4.Addendum*Emil], [S, 8.3.4f*Timur],
[Sk06, Lemma 4.3].
К 30.10: [RS72, 5.4.Addendum for M=R^m], [Sk06,
Lemmas 4.2 and 4.3], [S, 5.9.2a], [S20, 6.8.3b, 6.8.4ab],
[Hu69, Lemma 11.1 for W the complement to some (m+n)-balls in D^{m+n},
11.2, 11.3, for strong g.p.: 11.4]*Emil.
К 6.11:
По [AMS+]: Local Disjunction Theorem 1.9 for r=2=k (hint:
Remark 3.1.c), for r=2\le k-1, Global Disjunction Theorem 1.11.a для r=2 (это аналог теоремы 5.9.2a
для почти-вложимости; hint: use the Local Disjunction Theorem 1.9, and use without proof that the preimage
of a regular neighborhood is a regular neighborhood).
[S20, 6.8.5abcd, 6.8.6, 9.8.7abc, 9.9.2a для k=2 и j=0, j=1*]; далее используйте 9.9.2a без док-ва.
From EmbedsE.pdf: L3 mod L4 for i=n-1, L3 mod L4.
[S, 5.9.3, 5.9.2a]
[Sk06, Lemma 4.2] (используя [RS72, 5.12.1] без док-ва),
[RS72, 5.14, 5.15, 5.12.1 + 5.16 for p,q>2, mod lemmas and 5.6]*TimurSlava,
[Hu69, Lemma 11.1 for W the complement to some (m+n)-balls in D^{m+n}, 11.2, 11.3, for strong g.p.:
11.4]*Emil.
К 13.11:
По [AMS+]: Local Disjunction Theorem 1.9 for r=2=k (hint:
Remark 3.1.c), for r=2\le k-1, Global Disjunction Theorem 1.11.a для r=2 (это аналог теоремы 5.9.2a
для почти-вложимости; hint: use the Local Disjunction Theorem 1.9, and use without proof that the preimage
of a regular neighborhood is a regular neighborhood).
[S20, 6.8.5cd, 6.8.6*, 9.9.2a для k=2, 9.9.2a].
По [S]: 4, 5ab, 3, 2a из п. 5.9 и 4.6.8ab*Emil.
[Sk06, Lemma 4.2] (всюду используйте [RS72, 5.12.1] без док-ва),
[RS72, 5.10, 5.14, 5.15, 5.12.1 + 5.16 for p,q>2, mod lemmas and 5.6]*TimurSlava,
[Hu69, Lemma 11.1 for W the complement to some (m+n)-balls in D^{m+n}, 11.2, 11.3, for strong g.p.:
11.4]*Emil.
К 20.11:По [AMS+]: Local Disjunction Theorem 1.9
for r=2=k (hint: Remark 3.1.c), for r=2\le k-1, Global Disjunction Theorem 1.11.a для r=2 (это аналог
теоремы 5.9.2a для почти-вложимости; use without proof the Local Disjunction Theorem 1.9, and `the preimage
of a regular neighborhood is a regular neighborhood').
[KS21e, Theorem 1.3.1a],
(any almost embedding from a 3-complex to a 1-connected 6-manifold is homotopic to an almost
embedding whose restriction to any simplex is an embedding),
[Sk06, 8.2, 8.1 for m=2n+1=3],
[S20, 9.9.2a для k=2, 9.9.2a], [S, 4.6.8b*],
К 27.11: По [AMS+]: Local Disjunction Theorem 1.9
for r=2=k (hint: Remark 3.1.c), for r=2\le k-1;
[KS21e, Theorem 1.3.1a],
(any almost embedding from a 3-complex to a 1-connected 6-manifold is homotopic to an almost
embedding whose restriction to any simplex is an embedding); [S, 4.4.7a];
[Sk06, 8.2, 8.1 for m=2n+1=3, 8.1 for m=2n+1],
Theorem 2.1.b mod Lemmas 3.1 and 3.2, Lemma 3.2 mod Lemma 3.3 for i=n-1, for i\le n-1,
[RS72, 5.12.1 for p,q>2 mod lemmas]*Timur,
К 4.12: По [AMS+]: Local Disjunction Theorem 1.9
for r=2=k (hint: Remark 3.1.c), for r=2\le k-1; [S, 4.4.7a];
[Sk06, 8.2, 8.1 for m=2n+1=3, 8.1 for m=2n+1,
8.1 for m=2n first step],
К 11-18.12 и к повторению в январе 2023: [S, 4.4.7a],
[Sk06, 8.2, 8.1 for m=2n+1=3, 8.1 for m=2n+1, 8.1 for m=2n
first step, 8.3], [S20, 14.6.4 a (только корректность) b (только эпиморфность; подсказка: Фоменко-Фукс,
п. 10.1)],
Theorem 2.2.b*Timur,
5*Emil.
[Hu69] J. F. P. Hudson, Piecewise-Linear Topology, Benjamin, New York, Amsterdam, 1969.
[HH63] A. Haefliger and M. W. Hirsch, On existence and classification of differential embeddings,
Topology 2 (1963), 129--135.
[RS72] C. P. Rourke and B. J. Sanderson, Introduction to Piecewise-Linear Topology, Springer, 1972.
(К. П. Рурк и Б. Дж. Сандерсон, Введение в кусочно-линейную топологию, Москва. Мир. 1974.)
[RS99] D. Repovs and A. B. Skopenkov. New results on embeddings of polyhedra and manifolds
into Euclidean spaces, Russ. Math. Surv. 54:6 (1999), 1149--1196.
[Sk16c]
Embeddings in Euclidean space: an introduction to their classification.
Примеры красивых теорем, которые изучались ранее: [S20, пункты 9.1, 11.1, 12.1, 16.1].
John Milnor: Spheres.
По [S20]: 5ab, 6, 7ab, 9abcdef из п. 14.5 и 4a, 5b*, 6, 7abce, 8c из п. 15.1 и 1, 2 (эвристика), 3a
(разберите доказательство), 5ab, 4 из п. 15.2 и 1ab, 2a, 3, 4, 5 из п. 15.3 и 1ab, 3ab, 5, 7ab, 4, 2
(разберите доказательства) и 2d, 3ab из п. 9.4 и 9.5.1 (подсказки: п. 9.6, 9.7) и 1abcdfg, 2abcd, 3abcdfg,
6a, 7abc, 8abcd* из п. 9.8 и 2ab, 3, 4, 1, 5ab*, 6a из п. 9.9 и 2.1, 3.1, 2.2a, 4.1, 2.2b, 2.3ab (без
вложений), 2.2c, 5.1a из \S12.
Unknotting Theorem 2.4
Докажите (для PL случая)
the Penrose-Whitehead-Zeeman Theorem 6.1; сформулируйте свойства регулярных окрестностей, используемые
в доказательстве [RS99, \S8]; from now on use without proof [RS99, Engulfing Lemma 8.1].
[HH63, Theorem 3.1.a].
From now on: use the Smale-Hirsch theorem 15.3.6 without proof.
Theorem 6.5 (подсказка: Lemma 2.2.W_0').
По атласу.
[RS72, 7.12, 7.13, 7.14]
НМУ, весна 2013:
аннотация и программа (в окончательную программу вошли пункты 1,2,4,5,6),
видеозаписи лекций.
НМУ, осень 2013:
аннотация и программа,
видеозаписи лекций.
НМУ, осень 2015: аннотация и программа.
Аннотация и программа.
В окончательную программу вошли пункты 1-7 и 12, 13 предварительной программы.
О занятиях и экзамене/зачете (прочитайте к 9-16.09).
Как ставится оценка за экзамен/зачет?
Литература: [S20, параграфы 1-5],
[S, параграфы 1, 4],
[CR, глава 5], [A, BE, P, S14, S89].
Успехи студентов.
Примеры красивых теорем, которые будут изучаться: 1.1.2, 2.2.9, 2.3.2, 2.3.4, 2.3.5, 2.3.7,
3.1.1, 3.1.2, 3.1.3, 3.1.5c, 3.6.3, 3.6.4, 4.1.1, 4.1.2 из
[S20]
и 1.2, 1.5 из [S14].
Домашние задания (Если источник не указан, то задание по
электронной версии книги [S20].
Бумажная версия книги [S20] доступна в библиотеке НМУ -
просите 2-е издание 2020 года - но нумерация в ней может отличаться.
Следите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг!
Окончательны только задания с жирными датами.
Хотя смотреть видео и пробовать программы не обязательно, это поможет Вам решить обязательные задачи.)
К 9.09. 1.4.1a*, 2.2.1ab*, 2.2.2a, 2.2.3a, 2.3.2ab из
[S20].
Прочитайте первую фразу в п. 2.2.
Определения ленты Мебиуса, бутылки Клейна и тора можно найти в п. 2.1 (или в Википедии).
Посмотрите мультфильмы про тор и
Cutting a Moebius strip in half (and more).
Попробуйте программу A polygonal
line avoiding an obstacle.
К 16.09. 2b, 3b, 4ab, 5* из п. 2.2 и 2c, 3abc, 4, 5c, 1ab из п. 2.3 (в 2.3.5с используйте без
доказательства неравенство Эйлера 2.5.3a) и 2.4.1a, 1.4.1ca.
Определение сферы с ручками можно найти в п. 2.1 (или в Википедии), а букета циклов - на рис. 1.2.1.
Посмотрите мультфильмы про крендель и
сферу с ручками.
К 23.09. 3c, 5c, 1ab из п. 2.3 и 2, 3a, 4a из п. 2.4
(используйте без доказательства неравенство Эйлера 2.5.3a).
Видео лекции.
К 30.09. 2.3.1b и 6a, 8a, 7(для тора) из п. 2.4 (используйте без доказательства неравенство
Эйлера 2.5.3a) и 1c, 2abcd, 5, 6ab'b, 4 из п. 1.4.
К 7.10. 1.4.2cd, 1.4.3b, 1.3.3c* (далее используйте без доказательства), 2.5.1abcde
(формулировка + нестрогое обоснование), 2.5.2ab, 2.7.2ab.
К 14.10. 2.5.1abcde (формулировка + нестрогое обоснование), 2.5.2b, 2.5.3a и
1a, 2bd, 3ab, 5 из п. 2.7.
К 21.10. 1, 2abcd, 3aa'bc* из п. 1.5 и 1.6.1abd.
Занятие 21.10 не обязательное. Оно состоялсь в 18.10-19.40 в виде
доклада на научном семинаре лаборатории алгебраической топологии и приложений на ФКН ВШЭ:
A quadratic estimation for the K\"uhnel conjecture
(S. Dzhenzher and A. Skopenkov).
К 28.10. 1fg, 2ab, 3a,bI,bE, 4abc, 5 из п. 1.6.
К 4.11. 1.5.2d и 1abdfg, 2ab, 3a,bI,bE, 4abc, 5 из п. 1.6 и 1.1.2, 2.5.1e,
2.5.2b, 2.5.3a, 2.6.1bc, 2.6.2aba'b', 2.6.3aa', 2.7.2d.
К 11.11. 1.1.2, 2.5.1e, 2.5.2b, 2.5.3a и
2ab, 3aa'b, 4abcd, 5(bE)a, 7ab, 8(bE)a из п. 2.6 и 2d, 6ab, 7abc из п. 2.7.
К 18.11. 3aa'b, 4cd, 5(bE)a(bI)*, 6*, 7ab, 8(bE)a(bI)* из п. 2.6 и
7c, 8bac*, 9bac* из п. 2.7 и 2.4.5, 4.6.3abc, 5.2.2, 5.2.3ab.
Задачи со звездочкой принимаются только у того, кто сделал более 3/4 задач без звездочки к данному занятию.
К 25.11. 1.5.3c и 5(bE)a, 8(bE)a из п. 2.6 и 2d, 6ab, 7abc, 8ba, 9ba из п. 2.7 и 2.4.5,
4.6.3degi*, 5.3.2abc, 5.4.2ab, 5.2.3d.
Ко 2.12. 2.8.1acd, 2.8.3a, 5.3.2bc, 5.4.2ab, 5.4.3ab, 5.4.1a-i, 5.4.4abc, 5.2.3d.
К 9.12. 5.4.4de, 5.4.5, 5.5.1abc, (далее используйте без доказательства утверждения
2.7.7ab и 5.5.1d), 5.3.3, 5.3.1a, 5.2.3d, 5.7.1abcd, 5.7.2ab, 5.7.3a, 5.6.2 (для ориентируемых).
Попробуйте программу
Homeomorphism between ribbon graph and sphere with handles and holes.
К 16.12. (далее используйте без доказательства утверждения 2.7.7ab и 5.5.1d)
5.3.3, 5.3.1a, 5.2.3d, 5.6.2 (для ориентируемых), 5.7.1c, 5.7.3ac*, 2.8.5abcd*e* и по
[S]: 1, 2, 3b, 4 из п. 4.1 и по
[Sk14]: 2.4ab, 1.2, 2.8, 1.5.
К необязательной консультации 21.12, 17.00:
по [S]: 4.1.4 и 1ab, 2ab, 3b из п. 4.2
и по [Sk14]: 1.2, 2.8, 1.5, 2.9*.
[S20u]: 1.1a, 1.3, 4.1, 4.2.
Экзамен 30.12, 17.30-19.00.
Общие критерии такие же, как в типичном пояснении
к контрольной работе и в
рекомендациях по письменным решениям для
пользователя, см. также на стр. 2-3.
Домашние задания (если источник не указан, то задание по
книге [S20];
бумажная версия книги [S20] доступна в библиотеке;
cледите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг! окончательны только задания с жирными датами)
(cледите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг! окончательны только задания с жирными датами)
11-25.07: Some material from [S, \S8.1-8.4] including 1abc, 4abcd*, 5, 6abcd, 8ab from \S8.3.
К 10.09: 8.10.1a, 8.12.1a, 8.12.2a, 8.1.7a*b* и (по бумажной версии) 9.1.1ab*, 9.1.2ab, 9.2.2c.
К 18.09: 8.1.7b (указание: 3.11.1ab), 9.2.2cde, 9.3.1ab, 9.3.2ab* и 1, 2ab*c*d*, 4, 5, 3ab, 6ab*
из п. 9.4 (указание: сделайте для триангуляций 6.2.3abc, 6.3.1bcd, 6.3.2ab, 6.3.3, 6.4.1ab).
Можно пользоваться без доказательства эквивалентностью ориентируемости следующему.
Ориентацией n-мерного векторного пространства V над R можно назвать невырожденную полилинейную
кососимметричную форму V^n\to R.
Многообразие N называется ориентируемым, если существует семейство ориентаций касательных пространств
к N в точках x\in N, непрерывно зависящих от точки x\in N.
В начале п. 9.4 опечатка: вместо (234) и (124) нужно (243) и (142).
К 24.09: 8.1.7b (указание: 3.11.1ab), 9.2.2de, 9.3.1b, 9.3.2a, 9.4.3b и (трехмерный аналог
задачи 6.1.2b)* и 2ac*, 3abc, 4ab, 5ab* из п. 9.7 и 10.4.1abcd.
Ко 2.10: 9.3.1b, 9.7.4ab, 9.7.5ab*, 10.4.1def, 10.5.1abcd, 10.5.2 (аналог 6.5.4ab).
К 9.10: 10.5.1ef, 10.5.2 (аналог 6.5.5a), 10.5.2g, 6.7.3b, 9.2.2f (deg f четно),
9.2.1 (эвристика) (строгое док-во)*, 9.7.1a, 9.7.5b, 9.1.6.
К 16.10: 8.4.3c, из п. 10.4, 10.5.1f, 9.2.2f (deg f четно), 9.2.1 (строгое док-во), 9.4.6ab*.
К 30.10: 8.4.3c, 8.6.3bc, 10.6.8 (для dim K=2), 9.2.1, 9.5.1 (без невырожденности).
К 6.11: 8.4.3c
(подсказка),
10.6.8, 10.7.1abcd, 10.8.1ab, 9.5.1 (невырожденность), 9.1.3, 9.1.7c, 9.7.1b*, 9.7.6*.
К 13.11: 10.8.1b, 9.1.7c, 9.7.1b*, 9.7.8ab*cd*, 9.8.1abcdefg (H_1 -> H_3).
К 20.11: 9.7.8c, 9.8.1eg (H_1 -> H_3), 9.8.2abc.
К 27.11: 9.8.1e, 9.8.2abcd, 9.8.3ab*cdef*g, 9.8.6a*-f*.
К 4.12: 9.7.4a, 9.8.2bcd, 9.8.3abdef*g, 9.8.8ab*cd, 9.9.3, 9.9.1
(здесь и далее испольуйте 9.9.2b без доказательства).
К 18.12: 8.6.3c, 9.8.3e' для ориентируемых, 9.8.3e', 9.8.8e, 9.9.3, 9.9.1, 9.9.4*, 9.9.5ab
(далее испольуйте 9.9.5b без доказательства), 9.9.5cd, 9.9.6ad
Для самостоятельного разбора: [S, \S8.5] и 7.1.2ab, 7.1.1ab*, 7.1.7abc, 7.1.7c, 7.2.2, 7.2.5.
Векторные поля на многообразиях и теория
гомологий, НМУ, весна 2021.
3.4.6a, 3.11.1a, 4.1.1a, 4.2.2, 4.3.1a, 4.4.2ab, 8.9.1a* и 2ab, 4abc, 5ac*, 6b, 7a из п. 3.4 и 3.8.1abc
и 1abcd, 2a'a''abb'ce, 3a из п. 3.9 и 1ab, 2abc, 3abc*d из п. 3.11 и 3.7.2ab, 4.2.3b, 4.4.2b и
3.7.2cd*, 3.3.1с, 3.4.5b, 3.10.2, 3.10.4(n=1), 3.11.2b, 3.11.3bce, 3.1.6a, 4.3.1bce, 4.3.2a, 4.1.2a и
3.11.3c, 4.3.2a, 4.1.2ab*, 4.4.1a и 1(c-i), 2abc, 3, 4 из п. 4.5 и 4.6.1, 4.6.3(a-g) и
1abcd, 2abc, 3ab из п. 4.8 и 1ab, 2 (напишите номера задач, аналоги которых сделали) из п. 8.1 и
4.6.2 и 3, 6(a-f), 7(a-e), 5ab из п. 8.1 и 8.2.1(a-d), 8.2.2
(начинайте решать предложенные задачи из параграфа 8 со случая n=2 - там, где он осмыслен)
и 4.7.1(a-h),i*, 4.7.2 и 3(a-f)2*, 4, 5abc, 8 из п. 8.2 и 8.4.1abcd.
и 5abc, 6abcdef, 7 из п. 8.2 и 2, 3abc*(p=3q=3), 4a из п. 8.4 и 8.6.1abcdc'd' (для достаточно мелкой
триангуляции) и 8.6.2abcdef, 8.5.1ab, 8.5.2 и 8.3.2abcde, 8.3.1a и 1ab, 2ab, 3a, 4a, 7ab (используя
корректность 8.7.6) из п. 8.7 (по электронной версии) и 8.8.1abcde, 8.8.2abcd и посмотрите
мультфильм про отображение Хопфа (для взрослых) и
мультфильм-1 (для детей)
мультфильм-2 (для детей).
и 8.7.3bc, 8.7.4b (по электронной версии), 8.8.2abcd и 4.9.1abc, 4.9.2 и 1abcd, 2, 3a (для m>4), 4ab из
п. 4.10 и 8.5.3abc, 8.6.4a (для m=5,n=3), 8.6.5a, 9.8.7a и 8.6.3abc*, 8.7.6a, 8.8.2abcd, 8.8.3ab, 9.8.7bc.
4.4.6abc*, 4.4.7a, 5.12.1abcd* и
Remark 2a, 1st paragraph и
прочитайте стр. 30-31 и 37.
If $A\subset X$ is a strong deformation retract of $X$, then for any $Z\subset\R^d$
the restriction induces a 1--1 correspondence $[X,Z]\to[A,Z]$.
Векторные поля на многообразиях и теория гомологий, 2019. Аннотации и программы похожих курсов <<Теория гомологий для пользователя>>, НМУ и МФТИ, весна 2018, и <<Топологическая теория векторных полей на многообразиях>>, НМУ, весна 2016.
См. также:
Санкт-Петербургская заочная олимпиада по
топологии.
А.А. Ошемков, А.Б. Скопенков,
Студенческие олимпиады по геометрии и топологии, Матем. просв. 11 (2007) 131-140.