Курсы топологии в исполнении А.Б. Скопенкова

Q: Можно ли сдавать задачи, заданные на предыдущие занятия?
A: Из нужно решать и обсуждать с участниками курса, ибо их правильные решения нужны для понимания дальнейшего материала и успешного написания контрольных и экзаменационных работ. Напрямую за них баллы не ставятся.
Q: Будет ли видеозапись занятий?
A: Против видеозаписи я не возражаю, но она не всегда ведется. Изучение книги, самостоятельное решение домашних задач и их обсуждение полезнее просмотра видео.
Q: В третьем семестре я не изучал курс (1) Введение в топологию. Разумно ли сейчас изучать курс (2) дифференциальной топологии?
A: Без изучения какого-то курса изучение курсов, которые на него опираются, будет вредной тратой времени. (Как, например, изучать курс математического анализа без предварительного изучения графиков линейной функции и квадратного трехчлена.) Поэтому проще всего для Вас было бы сдать оба курса через год (если Вы второкурсник, то с небольшими доп. заданиями для третьекурсников - учебная часть такое разрешала).  Более трудоемкий вариант вариант - изучить в ближайшие 2-4 недели необходимый материал (конкретные задачи указаны выше) курса (1) - самостоятельно плюс по доп. занятиям в начале курса  (2).  Если этот вариант нравится, то решайте задачи по (1) из списка и приходите на первое занятие курса (2) -  там можно обсудить подробнее. 

Критика

Коллегам. Буду благодарен за Ваше мнение о своих курсах и стиле преподавания. По моему мнению, публичное профессиональное обсуждение разных стилей преподавания способствует развитию науки и образования. Традиция таких обсуждений восходит к Лао Цзы и Платону и продолжена, в частности, Д. Майером, П.Л. Капицей, Н.Н. Константиновым, В.И. Арнольдом и А.Х. Шенем (см. публикации выше). По моему мнению, закулисные административные обсуждения разных стилей преподавания вредят развитию науки и образования, а также ухудшают репутацию соответствующей администрации. Отзывы преподавателей (выложенные с разрешения авторов и в основном анонимные).

Введение в топологию (дискретные структуры и алгоритмы в топологии)

С 27.09 студенты могут выбрать вариант `без *'. Те, кто выберут этот вариант, пишут все контрольные работы, начиная со 27.09, по варианту, не включающему материал со *, и более простому. При этом начиная с 27.09 им не засчитываются устные домашние задачи со *, и идеальные письменные решения задач со *. Формула для оценки за семестр `со *' и `без *' одинаковая. Однако тем студентам, у которых меньше времени на изучение курса (в частности, тем, которым приходится тратить больше времени на наработку математической культуры, необходимой для его изучения), любую оценку проще получить по варианту `без *'. Продумайте Ваш выбор до 27.09, ибо после получения варианта на контрольной 27.09 изменить Ваш выбор нельзя. Cтуденты, выбравшие вариант `без *', на части семинаров будут разбираться с домашними заданиями, консультироваться, писать РДП, писать контрольную (когда она будет). Для студентов, выбравших вариант `со *', эти части семинаров будут проходить на более высоком уровне (в частности, с более высокими требованиями).

Домашние задания (Если источник не указан, то задание по электронной версии книги [S20]. Бумажная версия книги [S20] доступна в библиотеке МФТИ - просите 2-е издание 2020 года - но нумерация в ней может отличаться. Окончательны только задания с жирными датами. Перед решением каждого задания обновите pdf-файл книги. Готовьте к рассказу не засчитанные Вам задачи из предыдущих заданий, используемые в Ваших решениях текущего.)
К 6.09: 1.4.1a1,a2,a3*, 2.2.1ab*, 2.2.2ab*, 2.3.2ab. Прочитайте первую фразу в п. 2.2. Определения ленты Мебиуса и тора можно найти в п. 2.1 (или в Википедии). Посмотрите мультфильмы про тор и Cutting a Moebius strip in half (and more).
К 13.09 (Наглядные задачи о поверхностях. Доказательство теоремы Жордана для плоскости.) 3ab, 4ab, 5*(две) из п. 2.2 и 2.3.2cd*, 2.4.1ad* и 1ca*, 2ab, 5, 6ab'b, 4, 3b(не менее двух), 3a*, 7a* из п. 1.4. Определение бутылки Клейна и тора с дыркой можно найти в п. 2.1 (или в Википедии). Попробуйте программу A polygonal line avoiding an obstacle.
К 20.09 (Применения неравенства Эйлера. Доказательство формулы Эйлера для плоскости.) 3abc, 4*, 5c, 1ab из п. 2.3 и 2, 3ab (только K_{5,4}), 4a из п. 2.4 (в 2.3.5с и в п. 2.4 используйте без доказательства неравенство Эйлера 2.5.3a; в 2.3.1ab нестрогое обоснование аналогично книге) и 2aсd, 5, 6ab, 4, 3b из п. 1.4 и 1.3.3c (далее используйте 1.3.3c без доказательства), 1.3.3d и 2.5.1abcd (формулировка + эвристика) и [S, 1.3.6a*]. Определение сферы с ручками можно найти в п. 2.1 (или в Википедии), а букета циклов - на рис. 1.2.1. Определения плоского графа и его грани можно найти в п. 1.3 (или в Википедии). Посмотрите мультфильмы `Euler's Formula and Graph Duality', про крендель и про сферу с ручками и
К 27.09 (Доказательство неравенства Эйлера. Краевые окружности.) 6ab, 8a, 7(для тора), 8b*, 7* из п. 2.4 и 2.5.1abc (формулировка + эвристика) 2.5.1de (используя (с) без доказательства), 2.5.2ab, 1.5.1, 1.5.2abcd, 1.5.3ab*c* и [ABM+, 1.2, 1.3, 1.5, 1.4] и [S, 1.3.6b*]. Посмотрите мультфильм `A map on the torus that cannot be colored in 6 colors'. Попробуйте программу Boundary circles of disc with ribbons.
К 4.10: (Утолщения) 1.5.3a', 1.6.1afd*e*g*, 1.6.4ac, 1.6.5, 2.5.2b, 2.7.1a, 2.8.1a, 2.5.3a*, 2.5.1d'* и [DMN+, 1.4ba, 6.8b*a* (связный, F\ge2V-4)] и [ABM+, 2.1, 2.2ab, 2.3, 1.6*, 2.6a*].
К 11.10: (Гомеоморфность поверхностей) 2abd, 3ab, 5, 6a, 7ab'b, 8ab из п. 2.7 и 5.2.2, 5.2.3ab, 5.3.2b, 1.6.2a*b*, 1.6.3(bI)*(bE)*a*, 1.1.2*, 2.7.6b*, 2.8.1d*.
К 18.10: [ABM+, 1.6, 3.2]. И прочитайте определения изоморфности и гомеоморфности гиперграфов, 5.3.2ac, 5.4.1ab, 5.4.2abc, 5.3.3 (используйте без доказательства утверждение 5.4.2d и то, что было доказано только на интуитивном уровне), 5.3.1a, 5.2.3d, 2.6.1b*c*, 2.6.2a*b*a'*, 2.6.3a*a'*b*, 2.6.4d*, 2.6.5(bE)*a*.
К 25.10: 5.3.3 (используйте без доказательства утверждение 5.4.2d и то, что было доказано только на интуитивном уровне), 5.4.3 (то же) и 2abc (гомеоморфность - на интуитивном уровне), 4abc, 3bcdefgh, 1abc, 5, 6a*b*c*d* из п. 5.5 и 5.7.1abcd, 2.4.5*, 2.7.2c*, 2.7.7c*, 5.4.2d*, 5.8.2a*b*c*. По [S]: 4.1.1 (1<=>2<=>3<=>5; укажите минимальные импликации между 1,2,3,5, которые Вы доказали; минимальность означает отсутствие тех импликаций, которые получаются по транзитивности). Посмотрите мультфильмы Real projective plane and Moebius strip, The cross-cap и Moebius strip and Cross-cap.
2.8.5(a)* (К 1.11) Лента Мёбиуса с~ручкой гомеоморфна ленте Мёбиуса с~вывернутой ручкой.
К 1.11: 5.7.2a, 2.6.5(bI)*, 2.6.6*, 2.7.9b*a*с*, 2.8.3a*, 2.8.5a*, 5.5.2d*, 5.5.7*. По [S]: 2(1<=>2), 2(1<=>3)*, 2'* из п. 4.1 и 1, 2ab, 3, 4ab, 5ab, 6 из п. 4.2 и 1.3.4, 1.5.9abc и 1, 2b, 4bc из п. 4.3 (используйте без доказательства утверждение 4.3.2a). Попробуйте программу Homeomorphism between ribbon graph and sphere with handles and holes.
К 8.11: По [S]: 2a, 3ab, 4a*, 5* из п. 4.3 и 4.2.4b, 4.2.6, 4.4.2, 4.1.3*, 4.1.4*, 4.4.1a*b*, прочитайте 4.2.8b*с*. По [S20u]: 1.1ac, 1.3, 2.1a, 3.2, 3.3, 4.2. По [S20]: 3.2.1abc, 3.2.2a, 5.5.7*, 5.7.3a*. [Sk14, 2.4a*b*]. Посмотрите первую часть лекции и вторую часть рекламы.
К 15.11: 3.2.3d, 3.2.4ab, 3.2.5a (пример без доказательства), 3.3.1ab и 1, 2ab, 3abc, 3d ('объединение' непрерывных функций f:A\to\R и g:B\to\R, заданных на замкнутых подмножествах A,B\subset\R^d и совпадающих на их пересечении, непрерывно), 4a, 5ac из п. 3.4. По [Sk14]: 1.1'*, 1.2'*. По [S]: 4.4.4a*. По [S20u]: 1.1b*, 2.1b*c*, 5.1a*b*.
К 22.11: 4a, 6ab, 7ab из п. 3.4 и 1a*bce, 2bcde, 3ab (доказывайте непрерывность, приводя формулу \delta(\epsilon)=...), 4cd, 5abcd из п. 3.5, 3.2.6a*. По [S20u]: 5.1b*, 5.2a*b*. По [BMS]: 5.1*, 5.2*, 5.3a*. Посмотрите мультфильм о векторных полях.
К 29.11: 3.4.4bc, 3.1.5abce, 3.5.6abcd, 3.6.1 (Re <=> 3.3.1с) (3.3.1с <=> 3.4.5b) (Br => Re) (Re => Br) (Sp => Br\epsilon) (Br\epsilon => Br) Sp(докажите), 3.5.3c*, 3.1.5d*, 3.6.1(Br=>Sp)*. По [BMS]: 5.3b*c*. Посмотрите кино о лемме Шпернера в мат. экономике, кино о теореме Борсука-Улама и короткометражку о гомотопии. Готовьтесь к контрольной работе на 15-20 минут, прорешивая задачи и прочитав типичное пояснение (а дальше уж и без предупреждения).
К 6.12: 3.6.2ab, 3.6.3 (3.1.3<=>c) (b<=>c) (3.1.3=>d), 3.7.1abcd, 3.7.2abd, 3.8.1abc, 3.9.1a, 3.5.4e*, 3.11.2a*b*c*, 3.11.3a*b*. Посмотрите первую половину немого кино о накрытиях.
К 13.12: 3.7.2c, 3.9.1bcd, 3.9.2a'cde (тому, кто доказал лемму о поднятии пути 3.9.2a', четко сформулированные версии леммы о поднятии гомотопии 3.9.2b можно использовать без доказательства), 3.9.3abc, 3.9.4ab*, 3.4.5b (докажите), 3.6.3b (докажите), 3.1.4b, 3.10.1c, 3.11.3c*d*e*, 3.1.1*, 3.1.5f*, 3.1.6*.
К дифф. зачету 20.12 (по лекции 13.12): 3.9.2a''ab'b (лемму о поднятии гомотопии 3.9.2b уже нельзя использовать без доказательства), 3.10.1ab, 3.10.2, 4.1.1a, 4.2.1, 4.2.2, 4.3.1abcde*, 4.2.3b*, 3.11.1a*b*.

Алгоритмы распознавания реализуемости гиперграфов

Домашние задания (Если источник не указан, то задание по книге [S]. Окончательны только задания с жирными датами. Перед решением каждого задания обновите pdf-файл книги.)
К 6.09: 1.1.1b, 1.1.2, 1.1.3*, 1.3.3b, 1.3.5a и по [S14]: 2.4ab.
К 13.09: 1.3.6ab, 1.4.2, 1.4.3, 1.4.1, 1.4.4b* и 1 (используйте без доказательства утверждение 1.4.4b и теорему Куратовского 1.2.3e), 2, 3ab, 4ab, 5ab, 7(тогда) из п. 1.5 и 2.2.1ab, 2.2.3, 2.2.2a и по [ABM+]: 5.2*, 7.2abc.
К 20.09: 1.3.5b, 1.4.4.a и 7 (используйте без доказательства лемму 6), 8, 6, 9abc, 10, 12 (mod 11) из п. 1.5 и 1.2.3с (полиномиальность), 1.6.3abcde и [S20, 3.8.1c] и по [ABM+]: 2.1, 2.2ab, 2.4ab, 2.6ab, 5.9abc, 5.4a.
К 27.09: 3f, 4abcd, 5, 7a, 6 из п. 1.6 и 3ab, 4ab, 5, 6ab, 7ab, 8a* из п. 9.2.
К 4.10: 9.2.8a, 1.5.3c, 5.1.5abcd, 5.1.8abcde, 5.1.9be и по [S14]: 2.6, 1.2', 2.8, 1.5.
К 11.10: 5.1.9e. По [S14]: 2.8'abc, 1.5'. По [S20]: 1a, 3, 4ab, 5ab, 6abc из п. 6.3 и 6.4.1abc, 6.5.1abc, 6.5.2abc, 6.5.3 (для триангуляции T).
К 18.10: По [S20]: 6.3.7ab, 6.4.2, 6.4.3abc, 6.5.4a, 6.5.5ab, 10.4.3abc, 10.4.4abc, 10.5.1abc.
К 25.10: По [S20]: 6.5.6b, 10.4.3d и 2a, 3abc, 4abcd, 5abcd, 6abcd из п. 10.5. По [DMN+]: 4.6ab, 4.8, 4.7ab.
К 1.11: По [S20]: 7abc, 9abe, 8abc, 10abcd, 11abcd из п. 10.5 и 11.2.1ab, 11.3.2abc (для s=1). По [DMN+]: 7.1.
К 8.11: По [S20]: 10.5.9e, 11.2.1c, 11.3.2bdefg* (для s=1,2), 11.3.3 (начиная с H_2(A)), 11.3.4ab. По [DMN+]: 7.2, 7.3ab, 7.4ab, 7.6, 7.5a.
К 15.11 (дистанционно): По [DMN+]: 7.5b, 7.7ab*, 8.1b, 8.3b. По [S]: 2.2.2b*, 6.1.1a*b, 6.1.2abc, 6.1.3(3)(12)(22)(31)* (для объяснения реализуемости нужен рисунок, а не доказательство; для обратного - эвристика).
К 22.11: 6.2.1abcdef, 6.2.2ab, 6.2.3, прочитайте п. 6.3.
К 29.11: 6.2.4, 6.4.1abc,e-i,j, 6.4.2, 6.5.2a (топологическую вложимость), 6.5.2c, 6.5.3b (используйте без доказательства 6.5.2a и 6.5.4), 6.14.1ab (используйте без доказательства теорему классификации), прочитайте п. 6.6.
К 6.12: 1.7.1ab*, 6.17.3a, 6.17.4e (для k=3), и 1abc, 2ab, 3b, (4aa'*bcde) 5abc, 6ab*c из п. 6.17. 5.13?.1, 5.13.2ab, 5.13.4abcd. 6.7.1, 6.7.2, 6.7.4abc (для k=2), 6.7.3, 7.2.2. и по [S20]3.6.2ab?.
К 13.12:
Изученное в прошлые годы: 4.8.1a, 4.8.1b (только 1<=>1'), 4.8.2a* и 5abcd, 4, 6, 7, 2 из п. 5.8 для k=2, 1.5.9abc, 1.5.10, дочитайте п. 1.5.4. 5.9.1abc, прочитайте п. 5.9, 7.1.1ab*, 7.1.2abc, 7.1.3abc*. 1.6.4abcd, 7.2?.1ab, 7.2.2abcdef*, дочитайте п. 7.2. 7.2.3a*. По [S22]: 4.1.3, 2.2a (используйте без доказательства 2.8.8c), 2.1a. По [S20]: 2, 3a (\Sigma(f) - объединение отрезков), 3b, 4ab, 5abc, 1 из п. 6.8.

Выше написано про часть 1 указанного курса. Исполнялась также часть 2, которая влилась в курс Препятствия и алгоритмы в алгебраической топологии.
Аннотация и программа, 2017. Аннотация и программа, 2015. Похожий спецкурс на матфаке ВШЭ, 2013.

Препятствия и алгоритмы в алгебраической топологии

Домашние задания (Если источник не указан, то задание по электронной версии книги [S20]. Бумажная версия книги [S20] доступна в библиотеке МФТИ - просите 2-е издание 2020 года - но нумерация в ней может отличаться. Окончательны только задания с жирными датами. Перед решением каждого задания обновите pdf-файл книги. См. выше: задачи со звездочкой принимаются только у того, кто сделал все задачи без звездочки на данный день, кроме, быть может, двух. Готовьте к рассказу не засчитанные Вам задачи из предыдущих заданий, используемые в Ваших решениях текущего.)
К 6.09: 10.4.3abcd, 10.4.4abcde (замечание 8.6.3 эл. версии = замечание 8.4.3 бумажной версии) и 1abcd, 2b*, 3abc, 4abcd, 5abc из п. 10.5.
К 13.09: 10.5.5de*, 10.5.6abcd и по [S20eng, \S10.6]: 1ab, 2ab, 3a, 4abc, 5abcd, 6ab, 7* (используйте без доказательства 10.6.3b).
К 20.09: 7abcd, 9abc*d*e, 8abc из п. 10.5 и по [S20eng]: 8.6.5c и 6b, 9a, 11abcd из п. 10.6 и 1aT, 1aN, 1bc, 2ab (без HP^2), 4, 5a из п. 10.7.
К 27.09: 9ae, 10abcd, 11abcd из п. 10.5. Далее по [S20eng]: 8.6.5c, 10.6.6b, 10.6.13(1,3a,4a), 10.6.13*(4bc,5bd,7) и 1aN, 2a (без HP^2), 5b из п. 10.7. Саше: сначала подготовьте к сдаче 1aT, 1b, 2b, 4, 5a из п. 10.7.
К 4.10: 10.5.9e (не используя классификации), 10.5.11c. По [S20eng]: 8.6.5c, 10.6.13(5bd,7,11abcd), 10.7.1aN* (далее используйте без доказательства), 10.7.7a (используйте без доказательства 10.7.8 и 8.6.5d), 10.8.2.
К 11.10: По [S20eng]: 8.6.5c, 10.7.7a*b (используйте без доказательства 10.7.8 и 8.6.5d), 10.8.1a, 9.1.3 (mod 9.2.1, 9.4.6ab, 9.5.1), 6.7.8ab*, 10.6.9b*.
К 18.10: По [S20eng]: 8.6.5c, 10.7.3 (mod всего), 10.8.1b, 10.6.10*. Для тех, кто сдал большинство задач про умножение, по [S]: 1.6.3abcdef, 1.6.4abc*d*.
К 25.10: 10.5.4a, 10.5.9bde. По [S20eng]: 10.7.3 (mod всего). Только для тех, кто уже сдал большинство задач без * про умножение из всех заданий, по [S]: 1.6.5, 1.6.2(iii=>ii), 1.6.2(ii=>iii) и 3ab, 4ab, 5, 6ab из п. 9.2.
К 1.11: По [S20]: 10.6.13 (10.6.11a), 10.7.3 (mod всего), 10.9.1, 10.9.3 (только равносильность невырожденности тому, что в выключной формуле). Только для тех, кто уже сдал большинство задач без * про умножение из всех заданий, по [S]: 1.6.2(ii<=>iiS<=>iii<=>iiiS), 9.2.7ab, 9.2.8ab, 9.2.9ab.
К 8.11: По [S20]: 10.6.13 (10.6.11a), 10.9.3. По [S]: 4.7.1a и 5.3.9 (без доказательства тройной зацепленности), 4.8.2, прочитайте 4.2.8bс, 4.8.1abcde, 4.8.3abc. Только для тех, кто уже сдал большинство задач без * и без `только' из всех заданий, по [S]: 1.6.2(ii<=>iiS<=>iii<=>iiiS), 9.2.8ab, 9.2.9ab, 1.5.3c.
К 15.11, по [S]. 4.8.4 и 1abc, 2, 3 (i<=>ii<=>iii), 4, 5ab из п. 4.9. Только для тех, кто уже сдал большинство задач без * и без `только' из всех заданий: 9.6.7abcd.
К 22.11. По [S]: 4.9.6, 4.10.1ab, 4.10.2 (только для изотопности), 4.7.1a (доказательство тройной зацепленности); только для тех, кто уже сдал большинство задач без * и без `только' из всех заданий 9.6.7bd. По [S20, бум. версии]: 11.2.1ab, 11.3.2abc.
К 29.11: По [S20, бум. версии]: 11.2.1c, 11.3.2defg*, 11.3.3, 11.3.4ab. По [S20]: 9.1.8, 9.2.2abс, 9.2.3ab (используйте без доказательства теорему классификации), 9.7.6.
К 6.12: 4ab*, 5 (используйте без доказательства ???), 1 из п. 9.2 и из п. 9.8 и из п. 9.9.
К 13.12:
К дифф. зачету 20.12 (по лекции 13.12): 5.2.1, 5.2.2, 5.2.3(1<=>3), 5.2.4a. ?5.2.7a*b, 5.3.2 (2ab, 4ab), 5.4.2, 5.3.3, 5.3.4abc, 5.3.7, 5.4.1ab. 5.3.9* (доказательство тройной зацепленности), 5.3.1abc, 5.3.5, 5.3.6a, 5.3.6b (4.3.4bc), 6.7.1 (см. указание к 6.2.1f). По [S20eng] 10.7.5c*d*e*, 10.7.6*, 10.7.1c*, 8.6.5d*.
По атласу: 2.1ab, 5.1bc, 5.1e (well-defined, for l=1, mod2).
1, 3, 5, 6, 2 из п. 5.10 и 9abc, 10, 11 из п. 1.5. 5.11.1abc, 5.13.2a*b*, 5.13.3ad, 5.14.1a*bde. 5.13.3b, 5.13.4ab и 1afg, 3ab, 2(=>), 4 из п. 5.14 5.11.4, 5.11.5ab, 5.13.4c, 5.12.7ab* (without `deformation'). 4bc, 5ab, 6 из п. 5.13 и 5.11.3, 5.11.2b, 5.12.7ab, 5.12.8ab* (without `deformation'), 5.14.1g, 5.14.2(=>), 5.7.4 (d=2k=4; mod 5.14.2), 5.8.2c (d=2k=4; mod the analogue of 5.14.2), [S20, 11.7.6b]. 4bc, 5b, 6 из п. 5.13 и 5.11.2b, 5.12.7a*b*, 5.12.8ab*, 1.5.12, 5.11.5c, 5.13.5c, 5.13.4bc, 5.13.6, 5.11.2b и 5.8.2d (d=2k=4; подсказка в \S7). 1abcdef, 2abcd*, 3ab*c*d*e*, 4ab*c* из п. 5.15.
По arXiv:math/0604045: Example 5.7.a for l=1, Example 5.7.d* for m=n+2=3. И по статье.
5.4.4, 5.7.1a, 5.13.4bc (hint: Remark 1.5.5.c), 5.13.6, 5.11.2b, 4.9.6e, 4.7.4h*, Remark 1.5.5.c, Lemma 2, Theorem 1.9 for k=r=2 (hint: Remark 3.1.c), И теоремы Уитни о вложимости n-многообразий.

Дополнительные главы по препятствиям и алгоритмам в алгебраической топологии.  Курс проходит по четвергам, 12.30-13.15 и 13.45-14.30, для тех, кто успешно решает обычные главы (или уже сдал их).

Домашние задания (Окончательны только задания с жирными датами. Перед решением каждого задания обновите pdf-файл книги.)
К 5.09: задачи 8.6.5ab из эл. версии [S20].     
К 12.09: По эл. версии [S20]: 8.6.5ab. По invasurf.pdf: 1.1.4a, 1.1.3 (невложимость), comment in \S2.5. По [ABM+]: 5.2, 5.9abc.
К 19.09: По эл. версии [S20]: 8.6.5a. [S, 6.7.3] для k=2. По invasurf.pdf: 1.1.4b, 1.1.3 (невложимость), 1.1.3, (For any maximal $k$-forest $T\subset K$ defined before 2.4.1 and $k$-face $\sigma\subset K-T$ there is a unique non-empty $k$-cycle $\widehat\sigma$ in $T\cup\sigma$...). По [ABM+]: 6.5, 7.2abc, 5.4a.
К 26.09: (\Delta_6^2 is Z_2-embeddable to CP^2), (\Delta_6^2 is Z-embeddable to CP^2), use without proof that CP^2 is a closed 4-manifold whose (integer, or mod2) intersection form has matrix (1) in some basis; non-existence of integer van Kampen number [Garaev, Remark 6abc]; по invasurf.pdf: (comment on the connectedness assumption after Theorem 1.1.6).
К 3.10: (\Delta_6^2 is Z_2-embeddable to CP^2), (\Delta_6^2 is Z-embeddable to CP^2), (\Delta_7^2 is Z_2-embeddable to the connected sum of 30 CP^2)*, use without proof [S, 6.7.1] and that CP^2 is a closed 4-manifold whose (integer, or mod2) intersection form has matrix (1) in some basis. По invasurf.pdf: (comment on the connectedness assumption after Theorem 1.1.6), 1.1.4c, 2.4.2ab (mod 2.2.1b), 1.1.5b (mod 2.4.1 and 1.1.6), (For any $k$-face $\sigma\subset K-T$ there is a unique, up to multiplication by $-1$, non-zero primitive integer $k$-cycle $\widehat\sigma$ in $T\cup\sigma$.)
К 10.10: По invasurf.pdf: (comment on the connectedness assumption after Theorem 1.1.6), 1.1.4c, 1.1.5b (mod 2.4.1 and 1.1.6), 2.4.2c (k=2), 1.1.5c (mod 2.4.2c, 2.4.1Z and 1.3.1).
К 17.10: По invasurf.pdf: 2.4.1c, (footnote 11 for k>2, mod 2.2.1b)*, подготовьте решение про \widehat\sigma к 3.10. Example from Remark 1.3.g of [DS22]. [Bing, Theorems I.1.ABCD]. [AP24]: Example 3 (find a mistake), Lemma 6 (mod A := '$\st_\sigma\Delta'$ intersects $\Gamma$ exactly by $\sigma_1\cap\Gamma$'; either give a proof or find another gap).
К 24.10: Emil - equivalent definitions of PL embeddability into R^d. По invasurf.pdf: 2.4.1c. (There are a connected 2-complex $K$ and its 2-face $\sigma$ such that $K-\sigma$ is an integer maximal tree, and the coefficient of $\sigma$ in any integer 2-cycle in $K$ is divisible by 2.) [Bing, Theorem I.2.A]. In [AP24], in the notation from the proof Lemma 6: A* ($\Gamma\cap\sigma_1 = \Gamma\cap\st_\sigma\Delta'$), B ($\Gamma\cap\alpha$ is a face of $\Delta$ for any face $\alpha$ of $\Delta$), C (disprove: $\Gamma\cap\sigma_1=\widehat\sigma$).
К 31.10: По invasurf.pdf: 1.1.4c (mod 1.3.1, 2.4.1c, and integer analogue of 2.3.1). [AP24]: A*, Lemma 8 mod Lemma 6. (Given three pairwise tangent-transversal submanifolds [S20eng, 8.6.5c], the sum of their normal spaces at any point of their triple intersection is the normal space to the triple intersection.) Timur: [S20, 8.6.5d], Emil: equivalent definitions of PL embeddability into R^d.
К 7.11: (Equivalent definitions of PL embeddability into R^d, plan from Emil). По [S]: 6.14.7ab (mod аппроксимации самотранстверсальными погружениями). Timur: [S20, 8.6.5d], Emil: on diploma work,
К 21.11: [S20, 8.6.5d, plan from Timur], [S20, 8.6.5b'] = (if u\sqcup v:S^2\sqcup S^2 is a self-transverse immersion, then u^{-1}(v(S^2)) is a 1-cycle in S^2), [S, 6.14.7bc] (mod аппроксимации самотрансверсальными погружениями), (Take the cone in 3-space over the 8-figure in the plane. The obtained map D^2 \to \R^3 is approximable by immersions.) Igor: [AP24], A.
К 28.11: По [AP24]: the `obvious' fact from Lemma 7 (prove or disprove), Lemma 7 (mod the `obvious' fact). (Every smooth map S^2\to\R^4 is approximable by immersions; use Sarde theorem [Wa16, Theorem 4.2.3; Pr07?].) По [Al22]: Remark 4ab. По [AMS+]: Lemma 4 for l=2 and n=3 (mod аппроксимации самотрансверсальными погружениями). Timur: (Every smooth map S^2\to\R^3 is approximable by smooth maps whose differential is non-degenerate outside a finite set).
К 5.12: [AP24]: Theorem 2*. Применение аппроксимации погружениями --- принципа плотности Смейла-Громова. [KS21e: 2.5.1] [SS23]: 1.2 (only if), 3.1ab, 2.2ab.
Classify smooth embeddings into R^5 of S^2\times D^1, (of punctured S^2\times S^1)*, (of the boundary connected sum of two copies of S^2\times D^1)*; use without proof that any two embeddings into R^5 of S^2 are isotopic. Examples 3.4ab, 3.1abc, 3.2*, 3.3* (use without proof Unknotting Spheres Theorem 2.3 and isotopy of embeddings S^k\times[0,1] coinciding on S^k\times0 and having homotopic normal vector fields to S^k\times0)).

Аннотация и программа близкого курса `Алгоритмы распознавания реализуемости гиперграфов-2', 2021. Литература: [S, параграфы 4, 5, 6], [S16].

Введение в топологическую комбинаторику

Домашние задания (если источник не указан, то задание по книге [S]; cледите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг! окончательны только задания с жирными датами; основные задачи обсуждаются только с теми и засчитываются только тем, кто сделал все задачи на повторение, кроме, быть может, двух; задачи со * обсуждаются только с теми и засчитываются только тем, кто сделал все задачи без *, кроме, быть может, двух)
К 7.02, по [S]: 2.1.3, 2.1.6, 2.2.1a, 2.2.2a, 2.2.3, 8.1.3a и по [S20]: 3.2.4a, 3.2.5ab*, 3.6.2a.
К 14.02, повторение по [S20]: 3.1.7a, 3.10.2, 9.2.2ac.
По [S20]: 6ab, 5b, 8abc*, 9abc*d*e*f*, 11a из п. 3.2 и 14.1.1, 14.1.5, 14.1.2ab и по [S]: 4.10.5a.
К 21.02, повторение по бумажной версии [S20]: 9.2.2acde, 8.7.1ab, 8.7.2ab и посмотрите мультфильмы про отображение Хопфа: для взрослых, для детей-1, для детей-2.
По [S20]: 7, 9defg, 10abc, 11bcd, 12ab из п. 3.2 и 3, 2cdeh, 4, 6ab из п. 14.1.
К 28.02, повторение по бумажной версии [S20]: 8.7.2ab, по эл. версии [S20]: 8.3.1abcd, 8.3.2, 8.3.5abc.
По [S20]: 3.2.10ab, 3.2.9g, 3.2.13ab*, 14.1.2deh, 14.1.6abcd*, 14.2.1abcde.
К 6.03, повторение по эл. версии [S20]: 8.3.5defg, 8.3.6abcd, 8.4.3ab.
К 6.03, по [S20]: 3.2.13a, 3.2.13d (аналоги 3.2.10ab), 3.2.14abc*, 14.1.2deg*h, 14.1.6c, 14.2.1cde, 14.3.1 (X - объединение букета окружностей и дисков по отображениям границ дисков в букет; используйте без доказательства 14.3.2), 14.3.2 (U_1\cap U_2 связно; образующие), 14.4.1ab, 14.4.2a, 14.1.2i* (используйте пояснение и без доказательства 14.3.2).
К 13.03, повторение по эл. версии [S20]: 8.3.6abcd, 8.3.7abcd, 8.4.3cdefg, 8.4.4.
К 13.03, по [S20]: 3.2.13d (аналоги 3.2.10ab), 3.2.14abc*, 10.1.2a, 14.1.2deh, 14.1.2i* (используйте пояснение и без доказательства 14.3.2), 14.2.1de, 14.3.1 (X - объединение букета окружностей и дисков по отображениям границ дисков в букет; используйте без доказательства 14.3.2), 14.3.2 (U_1\cap U_2 связно; образующие), 14.4.1d, 14.4.1e* (if $X$ is simply-connected, then forg is bijective), 14.4.2abd, 14.4.3abd*, 15.6.4bc. По [S20e] 1.5c, 1.9aa'*b (определение выше). Здесь и далее можно пользоваться без доказательства теоремой Хопфа [S20e, 1.5b*] и результатами о степени, аналоги которых Вы доказали для степени по модулю 2.
К 20.03, повторение по бумажной версии [S20]: 3.10.3ac, 8.7.5a, 8.7.7ab; по электронной версии [S20]: 8.3.8a. Здесь и далее, кроме 8.7.6a, можно пользоваться без доказательства корректностью определения инварианта Хопфа [S20, 8.7.6abc].
К 20.03. По [S]: 4.3.3, прочитайте п. 4.8, 4.8.2, 4.8.4, 4.9.1abc, 4.9.3(i<=>ii), 4.9.5a. По бумажной версии [S20]: 3.2.14c*, 8.7.6a, 14.1.2i* (используйте пояснение и без доказательства 14.3.2), 14.3.2 (U_1\cap U_2 связно; образующие), 14.4.1d, 14.4.1e* (if $X$ is simply-connected, then forg is bijective), 14.4.2e, 14.4.3d*, 15.6.4abc, 15.6.4e(first bullet point). По [S20e] 1.5c for $l=2$ (hint: any two disjoint finite subsets of $S^2$ are conained in disjoint PL disks in $S^2$), 1.9aa'*b (определение выше). Здесь и далее, кроме 8.8.2c, можно пользоваться без доказательства инъективностью инварианта Хопфа [S20, 8.8.2c].
К 27.03, повторение по эл. версии [S20]: 8.3.8bcdef, 8.1.7.
К 27.03. По бумажной версии [S20]: 3.2.14c*, 8.7.5a' (the preimages of the Hopf map are intersections of $S^3$ with complex lines $a_1z_1+a_2z_2=0$, where $a_1,a_2\in\C$), 8.7.6a (hint: approximate given map $f:S^3\to S^2$ by a simplicial map $g$ that maps no 2-simplex to a point; then the preimage of any $k$-simplex is a $(k+1)$-simplex; take $y_1,y_2$ outside 1-skeleton; take a path joining $y_1,y_2$ outside 0-skeleton), 8.7.7ab (тор не нужен), 14.1.2i* (используйте пояснение и без доказательства 14.3.2), 14.4.1e* (if $X$ is simply-connected, then forg is bijective), 14.4.2e, 14.4.3d*, 15.6.4.a,b,c(up to the sign),c*,e(first bullet point),e(second bullet point). По эл. версии [S20]: 8.11.1b*c*d*e*. По [S20e] 1.5c* for $l=2$, 1.9aa'*bb', 1.8a. Здесь и далее, если не получается что-то доказать самостоятельно в [S20e], то восполняйте детали в имеющихся набросках доказательств.
К 3.04, повторение по [S20]: 8.3.8f, 8.1.7, по [S]: 2.2.1ab, 2.2.3, 2.2.2ab.
К 3.04. По [S20]: 8.7.7a, 15.6.4bed* (hint: for a PL map $\psi:S^3\to S^2\vee S^2$ define $H(\psi) := \lk(\psi^{-1}y_1,\psi^{-1}y_2)$, where $y_1\in S^2\vee*, y_2\in*\vee S^2$ are distinct {\it regular} values of $\psi$, and $\psi^{-1}$ is the `oriented' preimage). По [S20e] 1.9.b', 1.8b и для l=2: 1.7(m=1), 1.7, 1.2, 1.1 (use without proof Lemma 1.4). По [S]: 2.1.3, 2.1.6*, 2.3.1abcd.
К 10.04, повторение: [S20, 3.10.3ac] и по [S]: 7.1.1, 8.1.1a, 8.1.2ab, 8.1.3ab.
К 10.04: По [S20]: 8.7.7a, 15.6.4e. По [S20e] для l=2: 1.7, 1.2, 1.1 (use without proof Lemma 1.4). По [S]: 2.3.1c, 7.2.1 (при помощи теоремы Борсука-Улама 6.5.4), прочитайте п. 7.1-7.3 и 7.3.7b, 7.4.1abc, 7.4.2(r=6), 6.15.1, 6.15.2ab, 6.15.3abcd. Задачи со * к 27.03.
К 17.04: По [S20e] для l=2: 1.7, 1.2, 1.1 (use without proof Lemma 1.4; дальнейшие задачи обсуждаются только с теми и засчитываются только тем, кто сделал не менее 2 задач из этих 3). И 6.15.4abcd (дальнейшие задачи обсуждаются только с теми и засчитываются только тем, кто сделал все эти 4 задачи). И 7.2.1 (при помощи теоремы Борсука-Улама 6.5.4), прочитайте п. 7.1-7.3 и 7.3.7b, 7.4.1abc, 7.4.2(r=6) (дальнейшие задачи обсуждаются только с теми и засчитываются только тем, кто сделал не менее 5 задач из этих 6). И 1cd, 6, 7abcd, 8ab из п. 8.2 и 8.3.1, 8.3.2(1)-(5). Задачи со * к 27.03.
К 24.04, повторение по [S]: 8.2.1ab, 8.2.2abcd.
К 24.04: 7.2.2, 8.2.6, 8.2.8a, 8.2.7cd, 8.3.3a, 8.3.4, 7.3.5b (mod 8.3.6, 8.3.7, 8.3.5, 7.5.1), 7.3.2b (mod 7.3.5b), 8.4.1abc, 7.3.2a (для r простого, mod 8.4.2). Задачи со * к 27.03, 7.1.3* (mod Barany CCT [RRS]), 7.3.7b*.
К 1.05 (дистанционно): 6.15.4a, 7.2.2, 7.3.2b (mod 7.3.5b), 8.4.1ac, 8.4.1c (mod 6.15.4b), 8.4.2, 7.3.2a (для r простого), 9.1.1 (прочитайте), 9.1.2abc, 9.2.1ab, 9.2.2 (прочитайте), 9.4.1a. Задачи со * к 27.03 и к 24.04.
К 8.05: 8.4.1c, 8.4.2, 7.3.2a (для r простого, mod 8.4.1c), 9.2.1b, 9.2.3ab и 1a'bcdefgh, 2ab, 3ac(необходимость), 6ab, 5ab из п. 9.4 и 9.5.1ab, 9.1.3a*b*. Задачи со * к 27.03 и к 24.04.
К 15.05, повторение по [S20]: 9.4.2a, 9.4.3a, 9.4.6a. Можно пользоваться без доказательства эквивалентностью ориентируемости следующему. Ориентацией n-мерного векторного пространства V над R можно назвать невырожденную полилинейную кососимметричную форму V^n\to R. Многообразие N называется ориентируемым, если существует семейство ориентаций касательных пространств к N в точках x\in N, `непрерывно зависящих' от точки x\in N. В начале п. 9.4 опечатка: вместо (234) и (124) нужно (243) и (142).
К 15.05. Решите нерешенные Вами задачи к 8.05 (заносить в таблицу те из них, которые не повторены ниже, не нужно, но и решать задачи к 15.05, не решив их, неразумно). 8.4.1cd, 8.4.2, 7.3.2a (для r простого), 9.2.1b и 3c, 4a, 5ab, 7abc*de, 4b из п. 9.4 и 9.5.1bcd, 9.5.2abc, 9.5.3b.
К 22.05, повторение по эл. версии [S20] (кусочек 0) 10.4.3abcd, 10.4.4abcde (замечание 8.6.3 эл. версии = замечание 8.4.3 бумажной версии), 10.5.1abcd.
К необязательной консультации 22.05 и дифф. зачету 22.05. Решите нерешенные Вами задачи к 15.05 (заносить в таблицу те из них, которые не повторены ниже, не нужно, но и решать задачи к 22.05, не решив их, неразумно). Задачи из каждого следующего кусочка обсуждаются только с теми и засчитываются только тем, кто сделал все задачи без * из предыдущего кусочка, кроме, быть может, двух.
Кусочек 1 по эл. версии [S20]: 3abc, 4abcd, 5abcde*, 6abcd из п. 10.5 (задача 6.4.1 эл. версии = задача 6.4.1 бумажной версии).
Кусочек 2 по эл. версии [S20]: 7abcd, 9abc*d*e, 8abc, 10abcd, 11abcd, 2b* из п. 10.5.
Кусочек 3 по [S]: 9.4.9a, 9.4.1i, 9.4.7e, 9.4.4b, 9.5.3ba, 9.6.1ba, 9.3.1*, 9.4.2с*, 9.4.8c*d*.
Кусочек 4 по [S]: 8.2.6, 8.2.8a, 8.2.7cd, 8.3.3a, 8.3.4, 8.4.1b, 7.3.5b (mod 8.3.6, 8.3.7, 8.3.5, 7.5.1).
Для необязательной самостоятельной работы (этот материал входил в курсы прошлых лет). РДП (или тексты по исследовательским задачам) По [S]: 9.5.4*, 9.5.5* (для замкнутых PL 3-многообразий) 2, 3ab, 4 из п. 9.6 и 9.8.1b(n=2)c(n=2), 9.8.2b(n=3)c(n=3), 9.8.3 (7.1.2 [BM16])*, (6.7.4 или аналог для числа Радона)*, (7.2.1 или 7.2.3 при помощи чисел ван Кампена или Радона)*. По [S20]: 14.1.2f*, 14.5.1ab, 14.5.5ab (подсказка: определение локально-тривиального расслоения в конце п. 13.1), 14.7.1ab, 14.9.1 a(реализация класса) a(реализация гомологичности для n>3) b(реализация класса) c(n>3), 14.9.2a (для PL 3-многообразий и отображений; под $S^1$ понимается $S^1_{PL}$; значение PL отображения называется {\it регулярным}, если оно не совпадает с образом ни одной вершины некоторой триангуляции, для которой отображение симплициально) и 14.9.2a(n=3)d(n=3)*d(реализация класса)*, 14.9.3a(корректность для n=3) b(реализация класса для n=4)*c*. 14.9.4a(корректность для n=4)*b(реализация класса)*с*. Линейность* и суперкоммутативность* произведения Уайтхеда. [KS21, Remark 1.3.C] и по [KS21e]: Corollary 1.2.1a (mod 1.2.3 and 2.3.2), Lemma 2.3.2 for M = R^{2k}*, Corollary 1.2.2 (mod 1.2.3 and 1.2.4a), Corollary 1.3.2ab (mod 1.3.1a, 1.3.4 and 2.1.7), Lemma 2.1.7*, Corollary 1.3.3b (mod Theorem 1.3.4).

Топология зацеплений и конфигурационных пространств (весна 2024)
[DMN+]: 2.2, 2.3a, 2.4*, прочитайте \S3, 6.1ab, 6.2ab, 7.1, 7.2, 7.3ab, 7.4ab, 7.6, 7.5ab, 7.7ab*, 8.1bc (кроме K_5,K_{3,3}), 8.2abcd, 8.3ab, 8.4ab, 8.5ab.

Аннотации и программы похожих курсов <<Кратные пересечения в геометрической топологии, топологической комбинаторике и комбинаторной геометрии>>, НМУ, осень 2018, и <<Топологическая гипотеза Тверберга: комбинаторика, алгебра и топология>>, НМУ, осень 2016.
Аннотация, программа и литература курса для НМУ (весна 2022). Были разобраны п. 1-3 и 7 программы, а также материал доклада "Invariants of graph drawings in the plane" на семинаре "Динамические системы" на матфаке ВШЭ.

Гомотопическая топология с алгоритмической точки зрения (весна 2020). Аннотация, программа и литература.
То же, что по курсу <<Введение в топологическую комбинаторику>> по [S]. И по [S20]: 2, 3, 4b, 5c, 6ab из п. 3.1 и 3.10.2, 3.10.3с, 4.3.3b*, 4.4.2ab*, 8.6.2ab*, (3.2.3a с доказательством)*, (4.2.4a для заузленных окружностей)* и 10.1.3, 10.1.7*, 14.3.3ab* и прочитайте п. 10.2 и 10.3.1.ab, 10.3.5 и 13.4.2cd*, 13.4.3ab и 5ab, 6a-g, 7a-e из п. 8.1 и 8.2.4a*b*c*, 1a-h, 2a-g, 3, 5e*f*, 6, 7 из п. 8.2 и 8.3.1a*b, 14.9.1ac, 14.9.2a (для PL многообразий и отображений), 8.7.5a, 8.7.8abc*d*e*. Утверждениями 8.2.4c, 8.2.5ef, 8.3.1a можно пользоваться в других задачах этого и следующего заданий без доказательства. И 8.3.1a*b, 8.7.8f*g*, 8.7.4b*, прочитайте п. 13.1, 13.1.1abc, 13.2.1f, 13.4.1 и 13.4.2b (с заменой векторных расслоений на I-расслоения), 13.2.3a*b*, 13.4.2c, 13.4.3ab. 13.4.4a (первая фраза), 13.3.1a*b*, 13.4.4b*c*, 4.1.6.b*, 4.9.2b*, леммы 6* и 7*; F определен на стр. 8.

Классификационные проблемы в дифференциальной и гомотопической топологии

Домашние задания (Если источник не указан, то задание по электронной или бумажной 2020 года версии книги [S20]. Следите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг! Окончательны только задания с жирными датами.)
К 10.02, по атласу: Example 2.1ab, Example 5.1bc*e*(well-defined, for l=1, mod2) и по [S20]: 14.4.2abd, 14.4.3ab.
К 24.02 по [S20]: 15.1.2, 15.1.6, 15.1.7a, 15.2.1 и по январскому занятию, ktori_link.pdf (используя без доказательства то, что там использовано без): Lemma 3.3 (the first three equalities), Lemma 3.4a*, Lemma 3.3 (H\lambda_-)* (далее используйте без доказательства), Theorem 2.2, (how does the Hopf invariant of a map S^3\to S^2 change under the composition with the symmetry of S^2 w.r.t. a hyperplane containing the equator), Lemma 3.5.
К 26.02, по ktori_link.pdf (используя без доказательства то, что там использовано без): Lemma 2.4, Corollary 2.3ba. По [Sk15, \S3]: 2.1ab* for p=0.
К 11.03, по [Sk15, \S3]: 2.1b, 2.2 for p=0 (=[Ha66A, 1.3-1.7]), 2.1a* for p=1. По атласу: 2.2(well-defined)(homomorphism), 3.2a(well-defined)(homomorphism), 3.2bcd, 3.3(well-defined)(homomorphism)[both for q\le m-3], 3.4 (используя конструкцию Понтрягина и Lemma 3.4a из ktori_link.pdf). По [S20]: 15.1.6, 15.6.5a. По ktori_link.pdf: корректность определения на стр. 4.
К 18.03. По атласу: 2.2(homomorphism), 3.2a(homomorphism), 3.3(homomorphism, for q\le m-3), 3.4 (используя конструкцию Понтрягина и Lemma 3.4a из ktori_link.pdf). По [S20]: 15.6.5b (подсказка: [Sk20e, Sketches of proofs of (a1,b1) in p. 6]). По ktori_link.pdf (используя без доказательства Theorem 2.2 и то, что там использовано без): корректность определения на стр. 4, Lemma 3.4b, Theorem 2.6abcd.
К 25.03. По атласу: 3.2a(homomorphism), 3.3(homomorphism, for q\le m-3). По [S20]: 15.6.5b. Prove that [i_1,[i_2,i_3]] \in \pi_4 (S^2 V S^2 V S^2) is non-zero. По [DMN+]: 2abcd, 3ab, 4ab, 5ab из \S8 (граф $\widetilde K_n$ определен перед леммой 1.7). По ktori_link.pdf (используя без доказательства то, что там использовано без): 4.1.b*, 2.7.b*, 2.8*,
К 1.04. По [DMN+]: 8.5ab. Prove that [i_1,[i_2,i_3]] \in \pi_4 (S^2 V S^2 V S^2) is non-zero (hint: define an invariant of a map S^4 \to S^2_1 V S^2_2 V S^2_3 whose compositions with the contractions to S^2_j and to S^2_2 V S^2_3 are null-homotopic). По ktori_link.pdf, p. 5: prove the existence of a homotopy equivalence \varphi for q>1; (are the spaces homotopy equivalent for q=1?)*; construct a homotopy equivalence \psi; the map p_1:F_3(\R^m)\to S^{m-1} defined by p_1(x_1,x_2,x_3) := \psi(x_1,x_2) is a fibration and has a cross-section; \pi_s(p) is surjective for any s; \pi_s(i) is injective for any s. По ktori_link.pdf, 4.2*. If X is an (r-1)-complementary n-connected manifold, then F_r(X) is n-connected; (the same for n-connected replaced by n-acyclic)* (the definitions are analogous to [HKTT, Definition 1.3]).
К 13.04. По alg-alm-emb, p. 3: p_* is surjective for any s; i_* is injective for any s; p_*i_S^*(\varphi^*)^{-1}(k^*)^{-1}[g^3]=0; F is (2m-4)-connected; \pi_{3q}(F) = \pi_{3q}(S^{2m-3}) (используя без доказательства Hilton's theorem). По [DMN+]: 5.7b*. Из \S15.2: 1, 3a (прочитайте), 5.
К 20.04. 15.2.5. Prove that [i_1,[i_2,i_3]] \in \pi_4 (S^2 V S^2 V S^2) is non-zero (hint: define an invariant of a map S^4 \to S^2_1 V S^2_2 V S^2_3 whose compositions with the contractions to S^2_j and to S^2_2 V S^2_3 are null-homotopic). Calculate \pi_k(S^p V S^p V S^p) for p>1 and k=3p-3, k=3p-2 (in terms of \pi_k(S^p) and \pi_k(S^{2p-1}); give a heuristic proof). По reports.pdf: Proposition 4.3, Lemma 4.4.
К 22.04. \pi_j (S^2 V S^2) for j=4,5 (give a heuristic proof), problems 1, 2, 3* from F. Vylegzhanin's talk. По tver_comp.pdf: Lemma 2.
К 29.04. По tver_comp.pdf: Lemma 2. По [S]: 4.6.2a, 4.7.3c. По alg-alm-emb.pdf: (prove for q=1 the existence of a homotopy equivalence \varphi from \S2), Proposition 4ab, (what does not work for $1=q=m-2$ in \S2?)*.
К 6.05. If any intersection of $n$ complexes (including intersections involving ony one complex) is contractible (including empty), then $H^{n-1}$ of the union is zero. Proposition 2.3 (what does not work for CW complexes in which the closure of every cell is homeomorphic to the ball?). По [S20]: 2ab, 3ab*cd из п. 14.8. По tver_comp.pdf: Theorem 1 (modulo Ozaydin-Volovikov lemma). (Let $D_1,D_2$ be copies of $D^4$, and $f:D_1\sqcup D_2\to\R^7_+$ be a proper map whose restriction to the boundary is a link map. If the abbreviation of $f^2$ to a map $\partial(D_1\times D_2)\to (\R^7_+)^{\underline 2}$ is null-homotopic, then the abbreviation of $f^2$ to $\partial D_1\times\partial D_2\to (\R^6)^{\underline 2}$ is null-homotopic.) Problems 3*, 4* from F. Vylegzhanin's talk.
К 13.05. (Let $D_1,D_2$ be copies of $D^4$, and $f:D_1\sqcup D_2\to\R^7_+$ be a proper map whose restriction to the boundary is a link map. If the abbreviation of $f^2$ to a map $\partial(D_1\times D_2)\to (\R^7_+)^{\underline 2}$ is null-homotopic, then the abbreviation of $f^2$ to $\partial D_1\times\partial D_2\to (\R^6)^{\underline 2}$ is null-homotopic.) По [S20, электр. версия]: 14.8.2c*d, 14.8.4abc (use without proof Pontryagin's classification of [N^3;S^2]). По alg-alm-emb.pdf: (what does not work for $1=q=m-2$ in \S2?). По [S]: 4.10.5b*, 5.4.1a, 5.4.2, 5.4.3, 5.4.4a* (use without proof 4.10.5b and Triple Parity Lemma).
К 20-21.05. 3 (mod4), 4, 5 из п. 15.3 и 1ab, 3ab, 7abc, 4, 2 (mod 15.3.6) из п. 15.4, 15.2.4. (Triple Parity Lemma)*. Экзаменационные задачи: обсудить и записать [S, 5.4.4a] (Тимур) Theorem 2.1 (for embeddings; the definition of the cap-product \lambda is either by duality with the homology-cohomology cap product, or as in the atlas; Эрик).

Гомотопическая топология и ее приложения (осень 2023)
Аннотация и программа. Для изучения курса достаточно владеть материалом [S20, \S\S 3, 8.1-8.3, 8.7, 14.1-14.3]. Литература: [S20, \S\S 8, 14, 15], \S3.
Домашние задания (список сокращен) (Если источник не указан, то задание по электронной или бумажной 2020 года версии книги [S20].)
Ко 2-16.09: 8.3.2e, 8.8.2d, 14.4.1abc*d, 14.4.2c, 14.4.3cd, 14.6.2 из бум. версии [S20] (подсказка: [DNF, ч.2, \S23.1]) и Theorem 4.1 (инъективность для p=q и PL случая; используйте теорему о незаузленности сфер, теорему о конкордантности и изотопии, и лемму о поглощении) по атласу. Theorem 4.1 (инъективность для PL случая; используйте то же) по атласу и Theorem 2.6c for closed manifolds and 2m>3n+2 (mod леммы о поглощении) и Theorem 2.6c for closed manifolds (mod леммы о поглощении).
К 24.09-12.10:: 14.5.7ab, 14.6.3abc, 14.6.1-1, 14.6.4ab(сюръективность)c (подсказка: [DNF, ч.2, \S23.2,3]) и 8.8.3ab, 14.5.3e, 14.6.4b(инъективность), 14.8.1ab, 14.8.2abc, 14.8.3abcd, 14.8.4abc, 15.6.6ab.
Ко 28.10-23.11: по ktori_link.pdf. мотивировка к статье.
К 30.11-14.12: по [Sk05']: (define the attaching invariant of knots S^n\to S^d with trivial normal bundle), Lemma 3.1 (the attaching invariant is a homomorphism), Symmetry Remark in \S3.
Доп. материал:8.7.8abcdef, 14.8.4a* и 2cd, 3ab, 4b, 5, 8ab, 6, 7, 4acd из п. 14.7 и 1abc, 2abcd, 3abcdef, 4ab*, 5ab из п. 14.5, 14.5.6, 14.5.7ab, 14.5.9bcdefg, 14.5.10ab, 14.6.4de

Через гомотопическую топологию к сверхтекучести. Мастер-класс (осень 2018), ориентированный на студентов ФОПФ. Литература: [S], [S20, параграф 8.7] и [MM95, RSS05] из [S20].

Конкретная дифференциальная топология

Домашние задания (Если источник не указан, то задание по электронной версии книги [S20]. Бумажная версия книги [S20] доступна в библиотеке МФТИ - просите 2-е издание 2020 года - но нумерация в ней может отличаться. Следите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг! Окончательны только задания с жирными датами. Перед решением каждого задания обновите pdf-файл книги.)
К 14.02: 4.2.3, 4.2.4b*, 4.4.2b, 4.4.4ab, 5.7.1abcd, 5.7.2a, 5.7.3a*, 6.2.1abc, 6.2.2abcd*, 6.2.3bcd и 1abb'c, 2, 3, 4ab из п. 6.3.
К 21.02: 4.3.1cde*f, 4.4.1a*, 4.5.3ab и 5abc*, 6abc*, 7abc* из п. 6.3 и 6.1.2b.
К 28.02: 4.3.1g, 4.3.2a*, 4.1.2a*, 4.5.3c, 4.5.5ab, 4.5.6
По гладким (под)многообразиям. По [S20], бумажной версии: 8.4.1abcde (см. определение сферы с ручками в п. 2.1), 8.4.2 (4.5.1abcdf, 4.5.2a, 4.5.4*, 4.6.1; напишите номера задач, аналоги которых сделали), 8.4.4c, 8.4.3 a(гомеоморфность)* a(подмногообразие) b* c*(подмногообразие). По п. 5.2: 0, 1abcde, 3abcde*f*.
Примечания. Утверждения типа 8.1.8a на лекциях я предваряю вопросами типа `существует ли ненулевое касательное векторное поле на $S^3$'? Но в книгу это не включаю.
Диффеоморфизмы ни для чего в этом курсе не нужны (см. замечание в конце п. 4.6).
Возможно, серьезное изучение гладкой формализации понятия степени (после гораздо более простой кусочно-линейной формализации) - это то, что придется удалить из программы (наступив на горло своей песне), чтобы не перегружать студентов, а также не жертвовать более ярким материалом ради более технического.

Линейно-алгебраический метод в топологии: теория гомологий: аннотация и программа; видеозаписи занятий (2021).
Домашние задания 2023 года (список сокращен) (Если источник не указан, то задание по электронной версии книги [S20]. Задачи со * обсуждаются только с теми и засчитываются только тем, кто решил все задачи без *, кроме не более чем двух.)
К 20.09: 6.3.7b* (контрпример для не локального евклидовых гиперграфов), 6.3.8abc, 6.4.1abc, 6.4.2a, 6.4.3* и 1abc, 2, 3a*, 4ab, 5ab из п. 6.5.
К 27.09: 5.9.1ac (по эл. версии), 6.5.3ab, 6.5.6a, 6.7.1a' (пересечение ребра \sigma и ребра \tau^*, двойственного к ребру \tau, равно \delta_{\sigma\tau}), 6.7.1a(без симметричности), 6.7.1bc.
К 4.10: 1d(определите `естественные' отображения $f$ и $f^*$), 2ab, 2d (форма пересечений симметрична), 3a (достаточно нестрогих рассуждений), 4, 5abcd*ef из п. 6.7 (здесь и далее используйте без доказательства утверждение 6.7.5d для других утверждений) и 6.5.6a, 6.6.1a.
К 11.10: 2.2.5d*, 6.6.1b* (достаточно нестрогих рассуждений), 6.6.2, 6.7.2c, 6.7.3b*, 6.7.5g, 6.7.6, 8.1.1b, 8.1.2 (напишите номера задач, аналоги которых сделали), 8.1.3 (равносильность).
К 18.10: по электронной версии 8.1.2(3.7.2d), 8.1.3(доказательство), 8.2.1eg, 8.3.6abcd, 8.3.7abcd, 8.4.3abce, 8.4.4, 8.4.5, по бум. версии 10.6.8*.
К 25.10: по электронной версии 8.2.1g, 8.2.2c и 3e, 4, 5, 6abd из п. 8.4 (утверждением 8.4.5 можно пользоваться в других задачах без доказательства) и 8.1.3(доказательство), 8.1.5ab, 8.1.8(b=>a) и по [KS21e]: read definitions before Addendum 2.4.3, 2.4.3a ( for any k-face s in K-T there is a unique non-zero k-cycle in H_k (T U s) ), 2.5.4ab*c*d и KxI (K стягиваем <=> KxI стягиваем), DHxI (DHxI сдавливаем)*,
К 1.11: по электронной версии 8.4.5, 8.4.6abd, 8.4.7, 8.1.4, 8.1.8b (утверждением 8.4.5 можно пользоваться в других задачах без доказательства) и 4.5.1f, 4.5.2bc (см. определение в конце п. 2.1), 4.5.4, 4.6.3i, 4.7.1abcdef, 4.7.2 (предполагая корректность).
К 8.11: по электронной версии 8.4.5, 8.4.6abd, 8.4.7 (равносильность) (утверждением 8.4.5 можно пользоваться в других задачах без доказательства), 4.5.1f, 4.5.2bc (см. определение в конце п.2.1), 4.5.4, 4.6.3i, 4.7.1f, 4.7.2 (предполагая корректность), 4.8.1abc и
К 15.11: по электронной версии 8.4.5, 8.4.6abd, 8.4.7 (равносильность) (утверждением 8.4.5 можно пользоваться в других задачах без доказательства), 4.5.4, по бумажной версии 4.8.1abc, 4.8.2abc, 4.8.3ab, 4.6.1, 8.4.2 (4.6.1), 8.3.2abd (в определении шары D_1,...,D_{k+l} не существуют, а наперед заданы; в (d) замените (k+1,l+1) на (k-1,l-1)), 8.3.1a.
К 22.11: по электронной версии 8.4.5, 8.4.6abd, 8.4.7 (равносильность) (утверждением 8.4.5 - и, тем самым, корректностью определения степени - уже нельзя пользоваться в других задачах без доказательства), 4.5.4, по бумажной версии 4.8.3ab, 4.6.2, 8.4.2 (4.6.1), 8.3.2abd (в определении шары D_1,...,D_{k+l} не существуют, а наперед заданы; в (d) замените (k+1,l+1) на (k-1,l-1)), 8.3.1a, 8.6.1abc*d*c'*d'*, 8.6.2abcdef*, 8.5.2, 8.5.1a, 8.5.3ac. Теоремами 8.3.1a и 8.6.2f можно пользоваться в других задачах без доказательства.
К 29.11: по электронной версии 8.4.6abd, 8.4.7 (равносильность), 4.5.4, 8.10.3abс* и по бумажной версии 8.3.2abd (в определении шары D_1,...,D_{k+l} не существуют, а наперед заданы; в (d) замените (k+1,l+1) на (k-1,l-1)), 8.3.1a, 8.6.1b, 8.6.2abcdef (в f достаточно картинок для тетраэдра), 8.5.2, 8.5.1a, 8.5.3ac*, 8.7.4b (по бумажной версии; в 4b можно пользоваться без доказательства результатами задач 8.7.6abc), 9.4.1, 9.4.2a. Теоремами 8.3.1a и 8.6.2f можно пользоваться в других задачах без доказательства. Можно пользоваться без доказательства эквивалентностью ориентируемости следующему. Ориентацией n-мерного векторного пространства V над R можно назвать невырожденную полилинейную кососимметричную форму V^n\to R. Многообразие N называется ориентируемым, если существует семейство ориентаций касательных пространств к N в точках x\in N, `непрерывно зависящих' от точки x\in N. В начале п. 9.4 опечатка: вместо (234) и (124) нужно (243) и (142).
К 6.12: по бумажной версии 8.3.1a, 8.5.3ac*, 8.6.3a*b*c* и и 1, 3ab, 4, 5, 6a из п. 9.4 и 9.1.1a, 9.1.2ab, 9.2.2abcdef (deg f четно), 9.3.1a.
К 13.12: 9.3.1b (эвристика), 9.3.2a, 9.2.1 (вывод из погружаемости в R^3 окрестности подмногообразия F в M) и 2a, 3abc, 4ab, 5ab из п. 9.7, 9.5.1, из п. 10.4, 10.5.2a, 9.4.2b*, 9.4.6b*.
К дифф. зачету 20.12: 9.7.3c, 9.7.4ab, 9.7.5ab, 9.5.1, 10.5.2(a-f)g* и 1, 2ab, 3a*, 4a* из п. 10.6 и 10.7.0 (пересечение k-симплекса \sigma и клетки \tau^*, двойственной к k-симплексу \tau, равно \delta_{\sigma\tau}), 10.7.1abcd* (для n=3=s+1), 10.8.1ab, 9.1.3.

О параллельных курсах по одной теме

По нашему мнению, курсы (топологии) должны быть устроены так, что
(a) полученные студентами знания и умения были адекватны программе курса и оценке студента за курс; это достигается за счет
* приема экзамена по курсу в основном теми, кто не ведет этот курс;
* публикации (на страничке курса в интернете) в начале семестра программы, правил сдачи экзамена, информации об общих критериях математической культуры на занятиях и на экзамене, а также списка необходимых знаний и умений из предыдущих курсов (как это делается на ДА; чтобы студенты строили работу в семестре, отталкиваясь от этих правил, и выбирали курсы - если выбор возможен - отталкиваясь от объявленного уровня курса, а студенты, не изучавшие эти предыдущие курсы, предупреждались о трудностях).
(b) занятия вели авторы признанных в стране и в мире (научных и методических) работ по данному направлению;
(c) студенты получали еженедельные задания (в основном по материалу лекции), успешное решение которых несложно (для тех, кто разобрался с лекцией и прошлыми заданиями) и дает возможность получить успешную оценку за курс даже без серьезной траты времени на подготовку к экзамену;
(d) каждый студент мог хотя бы раз в 2 недели рассказать (лично преподавателю или у доски) хотя бы одну задачу (тем самым и потренироваться к экзамену и завоевать очки, влияющие на экзамен).
(e) сильные и мотивированные студенты могли серьезно изучить объемный материал, содержащий глубокие идеи; слабые или немотивированные студенты могли без перегрузки получить хорошую или удовлетворительную оценку, за которой стоят адекватные знания (это достигается, например, за счет выделения разных уровней обучения в рамках одного курса)
(f) могли приниматься непопулярные решения, но через смягчение и мотивирующий разговор со студентами (например, решение о дополнительных занятиях из (3) выше можно смягчить включением небольшой части предварительного материала в занятия по данному курсу, необязательностью дополнительных занятий для сдавших соответствующие курсы на `отлично', и объяснением тех разочарований, к которым может привести попытка изучать более продвинутый материал без базового).
Здесь экзаменом называется экзамен или дифф. зачет.
М. Блудов, А. Рухович, А. Скопенков.

Вот еще мнения о том, как должны быть устроены курсы (топологии). Я сознательно привожу разные (в т.ч. противоположные) мнения, чтобы стимулировать профессиональное обсуждение разных мнений. Нужно, чтобы
(b') вместе с авторами, упомянутыми в (b), занятия вели молодые талантливые преподаватели, в результате чего (вместе с их научным ростом) они постепенно вырастали бы, вплоть до уровня лектора МФТИ;
(g) более продвинутые темы изучались бы только после более базовых (например, как на ОКТЧ + ДА линейно-алгебраический метод изучается только после применений правила суммы и произведения в комбинаторике).
(g') более продвинутые темы не обязательно изучались бы после более базовых;
(h) немотивированные студенты могли стать более мотивированными за счет того, что материал прокладывает путь от ярких интересных студентам результатов к нужным для результатов методам и теориям;
(h') немотивированные студенты могли стать более мотивированными за счет того, что материал прокладывает путь от нужных студентам методов и теорий к интересным и ярким результатам.
Преподаватели, выдвинувшие в частной переписке принцимы (g',h'), не дали разрешения опубликовать здесь их имена. Я укажу здесь эти имена, когда получу разрешение.
Принципы (a,b,b',c,d,e,f,g,h) реализованы на курсах (1), (2), (3), (4) выше (b'- всегда на дифф. зачетах и экзаменах и, при наличии достаточного количества студентов, на занятиях). М. Блудов не ответил на вопрос о том, какие из вышеприведенных принципов реализованы на курсе Дифференциальная геометрия и топология. Я укажу здесь ответ, когда получу его.

Курс гомотопической топологии в 4 семестре ФПМИ, проводимый Д.М. Скуридиным, параллелен курсам (2,4) из списка в начале этой страницы. Программа курса не представлена лектором на обозрение студентов перед началом семестра; я предложил лектору представить программу и поставлю здесь на нее ссылку, когда это будет сделано. Необходимые соответствия и допустимые несоответствия в наших разных курсах по одной теме не обсуждались до начала семестра; я предложил лектору их обсудить и укажу здесь результаты, когда это будет сделано.

Алгебраическая топология многообразий в интересных результатах

Домашние задания (Если источник не указан, то задание по электронной версии книги [S20]; если задачи нет в электронной версии, то по бумажной 2020 года версии. Следите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг! Окончательны только задания с жирными датами. В заданиях используйте без доказательства следующий факт и его обобщения на многообразия с краем и Z-коэффициенты: if N is a closed smooth n-manifold, P and Q are its closed smooth p- and q- submanifolds, intersecting transversely, then [P]\cap[Q] = [P\cap Q] \in H_{p+q-n}(N;Z_2)). )
К 8.09: 11.9.2abc*de, 11.9.3abcd*, 11.4.1ab, 11.4.2ab.
К 15.09: прочитайте п. 10.2; 10.3.1a, 10.3.3abc (mod 10.1.7), из п. 10.4, 10.7.0 (пересечение k-симплекса \sigma и клетки \tau^*, двойственной к k-симплексу \tau, равно \delta_{\sigma\tau}), 10.7.1abcd, 11.9.2bc*de, 11.9.3bcde*.
К 22.09: из п. 10.4, 10.7.1bcd, 10.7.2ab, 10.8.1ab, 10.8.2ab, 11.4.1ab, 11.4.2a, 11.9.3e* (mod 11.2.3) и 1, 3 (подсказка), 2(своб.части)(кручения)* 6(унимод)* из п. 10.9.
К 29.09: из п. 10.4, 6.2.3d, 10.7.2a' (формула Лейбница; подсказка: для граней a\supset b триангуляции опишите грани барицентрического подразбиения, из которых сосотоит a\cap b*), 10.7.2ab, 10.7.3a, 11.2.2a, 11.9.4, 11.9.5a и 3 (подсказка), 2(своб.части)(кручения)*, 5ab*, 6(унимод)* из п. 10.9.
К 6.10: 10.7.2b, 10.9.5a, 11.2.2a (ни a, ни b не содержат граней на границе), 11.2.3a(mod2)b(mod2), 11.9.5bcde (mod 11.2.3), 11.9.7, 11.9.8ab*.
К 13.10: 6ab*cc'd*e, 1a (негомеоморфность S^3), 8c, 1b, 1a* из п. 11.9 (mod 11.2.3, 11.4.2c, 11.4.6ab, 11.9.6bd, 14.5.7b и 14.7.4c) и 11.4.4b.
К 20.10: 2c*d, 3ab, 4acd, 5 из п. 11.4 (hint to 4d: use im\partial \cap \im\partial = 0, im i \cap_\partial \ker\partial = 0, and non-degeneracy of the intersection forms \cap and \cap_\partial) и 11.3.5, 11.9.9* (mod того же, что к 13.10, и \pi_j(SO_7)=0 для j=4,5,6), 16.3.2 (необходимость), 9.7.7 (первое равенство, mod 16.2.1a), 16.5.2a (mod 16.4.1a), 16.5.3a (mod 16.5.2b и 16.4.1c).
К 27.10: 2d, 3b, 4cd, 5 из п. 11.4 и 8.3.2abcde (по бумажной версии), 8.8.1de, 8.8.2abcd, 14.6.2, 14.6.3abc (для n=2); подсказка: [DNF, ч.2, 23.1, 23.3Б] или Прасолов2004, 18.3, 18.5.
К 3.11: 14.6.3bc*, 14.6.1-1 (mod 14.6.3c; подсказка: [DNF, ч.2, \S23.3]) и по [S22]: 2abcde, 3* (подсказка: Claim in p. 14) и по [Ka]: 7.5, стр. 195, 7.8 (mod 7.7), стр. 200, invariance of signature (mod 7.7).
К 10.11: 14.6.3c*, 14.6.4a и по [Ka]: стр. 206, (right trefoil \ne left trefoil), (square \ ne granny), прочитайте стр. 252 и определения 10.1 и 10.2, (|q^{-1}(0)|\ne|q^{-1}(1)|)*, стр. 259(v)* и по [DNF, ч.2, \S23.4] (для !гомологической! функции Арфа \Phi, см. текст): 0a (постройте оснащенный тор, для которого \arf\Phi=1), 1a (функция Арфа - не гомоморфизм; указание: рассмотрите тор со стандартным оснащением), 1b (=1 для M\subset S^3 со стандартным оснащением), 1с* (=1).
К 17.11: 14.6.4b (сюръективность) (инъективность); подсказка: [DNF, ч.2, \S23.2] и по [DNF, ч.2, \S23.4] (для !гомологической! функции Арфа): 0b* (вычислите инвариант Понтрягина для композиции S^6\to S^5\to S^4 гомотопически нетривиальных отображений), 1b (=1 для M\subset S^3 со стандартным оснащением), 1с (=1), 2a (independence of a symplectic basis), 3a (если g(M)\ge2, то существует \alpha\ne0, для которого \Phi(\alpha)=0), 3b (=3), 3c (если \alpha\ne0 и \Phi(\alpha)=0, то можно уменьшить число ручек оснащенной перестройкой), 3d (the surgery preserves \arf\Phi).
К 24.11: по [Ha62A] 3.3 for n=2, d=4, r=1 (read 3.2; spherical modification = surgery) и по [DNF, ч.2, \S23.4] 0b* (вычислите инвариант Понтрягина для композиции S^6\to S^5\to S^4 гомотопически нетривиальных отображений), 1, 2a (independence of a symplectic basis), 2b* ($\arf\Phi=0$ if and only if there is a symplectic basis $a_1,...,a_g,b_1,...,b_g$ such that $\Phi(a_1)=...=\Phi(a_g)=0$)*, 3, 3c (если \alpha\ne0 и \Phi(\alpha)=0, то можно уменьшить число ручек оснащенной перестройкой), 3d (the surgery preserves \arf\Phi) и 14.6.1-2 (mod корректности инварианта Понтрягина).
К 1.12: по [Ha62A]: 3.3 (read 3.2; spherical modification = surgery; далее можно использовать без доказательства) и по [DNF, ч.2, \S23.4]: 0b* (гомотопна ли нулю композиция S^6\to S^5\to S^4 гомотопически нетривиальных отображений), 1*, 3, 3c (если \alpha\ne0 и \Phi(\alpha)=0, то можно уменьшить число ручек оснащенной перестройкой) и 14.6.1-2 (mod корректности инварианта Понтрягина) и (any stably trivial 3-dimensional vector bundle over S^2 is trivial), (any two smooth embeddings $S^4\to S^8$ are isotopic; modulo results used in the lecture without proofs).
К 8.12: [Ha62A, 3.3], (any stably trivial 3-dimensional vector bundle over S^2 is trivial), (any two smooth embeddings $S^4\to S^8$ are isotopic; modulo results used in the lecture without proofs), read [Sk16s, \S\S1-3], prove that the Haefliger invariant E^{6k}_D(S^{4k-1}) \to \Z, the signature \pi_{6k+1}(S^{2k+1}) \to \Z, and the Haefliger invariant \pi_{6k+1}(S^{2k+1}) \to \Z are homomorphisms (assuming that they are well-defined), calculate the Haefliger invariant for Example 2.1a (hint: [Ha62A, \S4]).
К 15.12: 1 (the intersection form of V is even), 2a (calculate the Haefliger invariant \varkappa(f) for Example 2.1a), 2b* (calculate the Haefliger invariant \varkappa(f) for Example 2.1b using any formula), 3 (the Haefliger invariant \pi_{6k+1}(S^{2k+1}) \to \Z is well-defined and is zero), 4 (the Haefliger invariant \varkappa(f) is independent of framed V for fixed framed f), 5 (the Haefliger invariant \varkappa(f) is independent of framed cobordism of framed f). Hint: [Ha62A, \S4, 2.8, 2.7].
К экзамену: (the Haefliger invariant \varkappa(f) is injective; hint: [Ha62A, 3.5]; use Theorem 6.3.b), (the Haefliger invariant \varkappa(f) is independent of framing of f; hint: [Ha62A, 2.3, 2.4, 2.9]), Example 3.1.

Топология гиперграфов и многообразий в интересных результатах

Домашние задания (если источник не указан, то задание по книге [S]; cледите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг! окончательны только задания с жирными датами; если не получается что-то доказать самостоятельно, то восполняйте детали в имеющихся набросках доказательств.)
Повторение. По bookeng.pdf: 8.2, 8.1 for m=2n+1=3, 8.1 for m=2n+1, 8.1 for m=2n first step.
По `Элементам...' Прасолова: теорема Хопфа 18.9ab, 18.9c (Let f:B^{n+1}\to B^{n+1} be a map such that f(S^n)\subset S^n. Then \pm\deg(f|_{S^n}:S^n\to S^n) equals to the algebraic intersection in S^n\times S^n of the graph of f|_{S^n} and S^n\times*, to the sum \deg_c f of signs of f-preimages of a regular value c of f, and to the algebraic intersection in B^{n+1}\times B^{n+1} of the graph of f and B^{n+1}\times*).
По parsa_join.pdf: доказательство теорем 1 и 3*, (сообщите замечания по всему тексту)*.
По eliminat.pdf: сообщите замечания по \S1 (до замечания 1.5 включительно) и по \S3 (до теоремы 3.2 включительно); необходимость в теоремах 1.2, 1.3, 1.4; Remark 1.5b; достаточность в теореме 1.2 для d=n_1+n_2, d-2>n_1,n_2, ориентируемых N_1 и N_2 (можно пользоваться без доказательства тем же, чем в bookeng), 1.2a (under the assumptions of Theorem 1.2 for d=n_1+n_2, orientable N_1, N_2, and general position map f, the number fN_1\cdot fN_2 equals to \pm\deg_0F, where F:N_1\times N_2\to B^{n_1+n_2} is defined by F(x,y)=f(x)-f(y)), 1.2b (... and to (fN_1\times fN_2)\cdot\delta_2, for some orientation on \delta_2), 1.2c (... and to the degree of the map \t f:d(N_1\times N_2)\to S^{n_1+n_2-1}, for some orientation on S^{n_1+n_2-1}), 1.2d (if any of these numbers is zero, then the map \t f is null-homotopic), 1.2e* (for a connected n-manifold N a map dN\to S^{n-1} is null-homotopic if and only if it extends to N); теорема 3.1 для d=6, N_1=D^2 и N_2=D^3, теорема 3.1 для d=n_1+n_2+1, n_1,n_2>1, ориентируемых N_1 и N_2 (можно пользоваться без доказательства утверждением 1.2e*).
По bookeng.pdf: прочитайте и сообщите замечания по \S1, \S4, \S5 (до теоремы 5.4 включительно), \S8 (до утверждения 8.4a включительно); 8.3, 8.4a (без незаузленности); (прочитайте \S7 без аппендиксов и сообщите замечания)*Timur, 8.4.bc (можно пользоваться без доказательства тем же, что в bookeng), 8.1 (existence of an almost embedding), 8.8a (obtain the condition only for disjoint \sigma,\tau), 8.10, 8.8b for d=0, 8.7 for d=0 (using 8.9).
По [S20]: 10.8.1a, 10.8.2a, 10.8.1b, 10.8.2b, 10.9.1, 10.9.5ab, 10.9.2(свободные), 10.9.3, 11.2.2a, 11.2.3a(Z_2)(свободные) (по бум. версии; use without proof that any subgroup of $\Z^k$ is isomorphic to $\Z^l$ for some $l\le k$), из 11.6, 11.7 (по эл. версии).
По [CS16]: 3.1*.
По [S]: 4.6.6ab, 4.6.7ab, 4.6.9a, 4.6.10abc*, 4.6.10d (прочитайте), 4.6.9bcd*e*, 4.7.4abcdefg*h*, 4.9.6b*, 6.6.2abc, прочитайте и выскажите замечания по формулировкам: 6.6.3.abcd, 6.6.4abcd, 6.6.5ab; 6.6.6abc, 1.6.3ab, 1.6.5ab.
По joinpowers: the `if' part of T 1.3 (using lemmas without proof), 2.1, 2.3 (using 2.5 without proof), 3.1ab, 2.2ab, 2.5a, 3.3*, 2.5b(l=1)b*.
По alg-alm-emb: L3.
Не разобранные темы, входящие в программу курса: По [S20]: 11.2.3a(свободные), 5.8.1acde. Any subgroup of $\Z^k$ is isomorphic to $\Z^l$ for some $l\le k$ (start with k=2; use primitive elements). По [S]: 6.6.6bc, 4.7.5a*, 1.6.3b, 1.6.5ei, 1.6.6acd*, 1.6.7abc. По bookeng: 2.2ab (PL, (b) for n=2, используйте без док-ва [RS, 3.27] и 1.1, подсказка), 4.5bdefcag. По [DS22]: 2.1, 1.10, 1.8, 1.9. Только следующие темы будут повторены в новом курсе: [S20, 8.10, 14.4], \S3.
К новому курсу. По alg-alm-emb. [RS72, \S5; 5.6.ii, 5.8, 5.9] For every m construct an immersion a_m : R^m \to R^{2m} which is approximately linear outside the unit ball, and has a single double point (hint)

Домашние задания осени 2022
18-25.07: [KS21], по [KS21e]: 2.5.3, 2.5.4abcde (see definitions before Addendum 2.4.3), [DS22].
К 8-15.08: Th 1.1ab* (=>), Th 1.4* (=>); C121a mod Th 123, L232, R251: E<=>EH, R252b*.
К 22-28.08: 1.5.6, 5.8.5, 8.5.1abcdef, 8.4.2ab, 8.5.3.
К 18.09.2022: по [S20]: 13.1.1abcd*e, 6.8.2, 6.8.3ab и по [RS72]: 5.2.1, 5.2.3, 5.4*. Hint to 13.1.1c: Define a map $p_1:D^2\times S^1\to D^2$ by $p_1(z,w)=zw$. Find a self-homeomorphism $h_1$ of $D^2\times S^1$ such that $\pr_1 h_1 = p_1$. Пересмотрите мультфильм про отображение Хопфа.
К 24.09: 8.3.6cd, 8.5.2abcd, 8.3.4a и по [RS72, \S5]: 2.1, 2.3, 4* (без Addendum) и по [S20]: 6.8.3a, 13.1.1c, 10.6.1, 10.6.2ab, 10.6.3ab, 10.6.4ac.
Ко 2.10: по [S20]: 10.6.4acd, 11.2.1abc (G=Z_2), 11.3.1abcd, 11.3.2abcd, 11.3.4ab (далее используйте 11.3.3 без док-ва) и по [S]: 5.14.4c, 7.2.8b*, 7.2.9bad*c* и по [RS72]: 5.4*.
К 9.10: по [S20]: 6.8.4ab, 11.2.1cd (G=Z_2), 11.3.2d, 11.3.3 и по [S]: 7.2.8b*, 7.2.9bad*c* и по [RS72]: 5.4*.
К 16.10: по [S20]: 11.2.1c (G=Z_2) и по [RS72]: 5.4, 5.4.Addendum*, 5.5 ( сильная теорема Уитни о вложении для PL случая; используйте 3.27 без док-ва).
К 23.10: [RS72, 5.4, 5.4.Addendum*Emil], [S, 8.3.4f*Timur], [Sk06, Lemma 4.3].
К 30.10: [RS72, 5.4.Addendum for M=R^m], [Sk06, Lemmas 4.2 and 4.3], [S, 5.9.2a], [S20, 6.8.3b, 6.8.4ab], [Hu69, Lemma 11.1 for W the complement to some (m+n)-balls in D^{m+n}, 11.2, 11.3, for strong g.p.: 11.4]*Emil.
К 6.11: По [AMS+]: Local Disjunction Theorem 1.9 for r=2=k (hint: Remark 3.1.c), for r=2\le k-1, Global Disjunction Theorem 1.11.a для r=2 (это аналог теоремы 5.9.2a для почти-вложимости; hint: use the Local Disjunction Theorem 1.9, and use without proof that the preimage of a regular neighborhood is a regular neighborhood). [S20, 6.8.5abcd, 6.8.6, 9.8.7abc, 9.9.2a для k=2 и j=0, j=1*]; далее используйте 9.9.2a без док-ва. From EmbedsE.pdf: L3 mod L4 for i=n-1, L3 mod L4. [S, 5.9.3, 5.9.2a] [Sk06, Lemma 4.2] (используя [RS72, 5.12.1] без док-ва), [RS72, 5.14, 5.15, 5.12.1 + 5.16 for p,q>2, mod lemmas and 5.6]*TimurSlava, [Hu69, Lemma 11.1 for W the complement to some (m+n)-balls in D^{m+n}, 11.2, 11.3, for strong g.p.: 11.4]*Emil.
К 13.11: По [AMS+]: Local Disjunction Theorem 1.9 for r=2=k (hint: Remark 3.1.c), for r=2\le k-1, Global Disjunction Theorem 1.11.a для r=2 (это аналог теоремы 5.9.2a для почти-вложимости; hint: use the Local Disjunction Theorem 1.9, and use without proof that the preimage of a regular neighborhood is a regular neighborhood). [S20, 6.8.5cd, 6.8.6*, 9.9.2a для k=2, 9.9.2a]. По [S]: 4, 5ab, 3, 2a из п. 5.9 и 4.6.8ab*Emil. [Sk06, Lemma 4.2] (всюду используйте [RS72, 5.12.1] без док-ва), [RS72, 5.10, 5.14, 5.15, 5.12.1 + 5.16 for p,q>2, mod lemmas and 5.6]*TimurSlava, [Hu69, Lemma 11.1 for W the complement to some (m+n)-balls in D^{m+n}, 11.2, 11.3, for strong g.p.: 11.4]*Emil.
К 20.11:По [AMS+]: Local Disjunction Theorem 1.9 for r=2=k (hint: Remark 3.1.c), for r=2\le k-1, Global Disjunction Theorem 1.11.a для r=2 (это аналог теоремы 5.9.2a для почти-вложимости; use without proof the Local Disjunction Theorem 1.9, and `the preimage of a regular neighborhood is a regular neighborhood'). [KS21e, Theorem 1.3.1a], (any almost embedding from a 3-complex to a 1-connected 6-manifold is homotopic to an almost embedding whose restriction to any simplex is an embedding), [Sk06, 8.2, 8.1 for m=2n+1=3], [S20, 9.9.2a для k=2, 9.9.2a], [S, 4.6.8b*],
К 27.11: По [AMS+]: Local Disjunction Theorem 1.9 for r=2=k (hint: Remark 3.1.c), for r=2\le k-1; [KS21e, Theorem 1.3.1a], (any almost embedding from a 3-complex to a 1-connected 6-manifold is homotopic to an almost embedding whose restriction to any simplex is an embedding); [S, 4.4.7a]; [Sk06, 8.2, 8.1 for m=2n+1=3, 8.1 for m=2n+1], Theorem 2.1.b mod Lemmas 3.1 and 3.2, Lemma 3.2 mod Lemma 3.3 for i=n-1, for i\le n-1, [RS72, 5.12.1 for p,q>2 mod lemmas]*Timur,
К 4.12: По [AMS+]: Local Disjunction Theorem 1.9 for r=2=k (hint: Remark 3.1.c), for r=2\le k-1; [S, 4.4.7a]; [Sk06, 8.2, 8.1 for m=2n+1=3, 8.1 for m=2n+1, 8.1 for m=2n first step],
К 11-18.12 и к повторению в январе 2023: [S, 4.4.7a], [Sk06, 8.2, 8.1 for m=2n+1=3, 8.1 for m=2n+1, 8.1 for m=2n first step, 8.3], [S20, 14.6.4 a (только корректность) b (только эпиморфность; подсказка: Фоменко-Фукс, п. 10.1)], Theorem 2.2.b*Timur, 5*Emil.
[Hu69] J. F. P. Hudson, Piecewise-Linear Topology, Benjamin, New York, Amsterdam, 1969.
[HH63] A. Haefliger and M. W. Hirsch, On existence and classification of differential embeddings, Topology 2 (1963), 129--135.
[RS72] C. P. Rourke and B. J. Sanderson, Introduction to Piecewise-Linear Topology, Springer, 1972. (К. П. Рурк и Б. Дж. Сандерсон, Введение в кусочно-линейную топологию, Москва. Мир. 1974.)
[RS99] D. Repovs and A. B. Skopenkov. New results on embeddings of polyhedra and manifolds into Euclidean spaces, Russ. Math. Surv. 54:6 (1999), 1149--1196.
[Sk16c] Embeddings in Euclidean space: an introduction to their classification.

Примеры красивых теорем, которые изучались ранее: [S20, пункты 9.1, 11.1, 12.1, 16.1]. John Milnor: Spheres. По [S20]: 5ab, 6, 7ab, 9abcdef из п. 14.5 и 4a, 5b*, 6, 7abce, 8c из п. 15.1 и 1, 2 (эвристика), 3a (разберите доказательство), 5ab, 4 из п. 15.2 и 1ab, 2a, 3, 4, 5 из п. 15.3 и 1ab, 3ab, 5, 7ab, 4, 2 (разберите доказательства) и 2d, 3ab из п. 9.4 и 9.5.1 (подсказки: п. 9.6, 9.7) и 1abcdfg, 2abcd, 3abcdfg, 6a, 7abc, 8abcd* из п. 9.8 и 2ab, 3, 4, 1, 5ab*, 6a из п. 9.9 и 2.1, 3.1, 2.2a, 4.1, 2.2b, 2.3ab (без вложений), 2.2c, 5.1a из \S12.
Unknotting Theorem 2.4 Докажите (для PL случая) the Penrose-Whitehead-Zeeman Theorem 6.1; сформулируйте свойства регулярных окрестностей, используемые в доказательстве [RS99, \S8]; from now on use without proof [RS99, Engulfing Lemma 8.1]. [HH63, Theorem 3.1.a]. From now on: use the Smale-Hirsch theorem 15.3.6 without proof. Theorem 6.5 (подсказка: Lemma 2.2.W_0'). По атласу. [RS72, 7.12, 7.13, 7.14]

НМУ, весна 2013: аннотация и программа (в окончательную программу вошли пункты 1,2,4,5,6), видеозаписи лекций.
НМУ, осень 2013: аннотация и программа, видеозаписи лекций.
НМУ, осень 2015: аннотация и программа.

Введение в топологию для пользователя

Аннотация и программа. В окончательную программу вошли пункты 1-7 и 12, 13 предварительной программы. О занятиях и экзамене/зачете (прочитайте к 9-16.09). Как ставится оценка за экзамен/зачет? Литература: [S20, параграфы 1-5], [S, параграфы 1, 4], [CR, глава 5], [A, BE, P, S14, S89]. Успехи студентов.
Примеры красивых теорем, которые будут изучаться: 1.1.2, 2.2.9, 2.3.2, 2.3.4, 2.3.5, 2.3.7, 3.1.1, 3.1.2, 3.1.3, 3.1.5c, 3.6.3, 3.6.4, 4.1.1, 4.1.2 из [S20] и 1.2, 1.5 из [S14].

Домашние задания (Если источник не указан, то задание по электронной версии книги [S20]. Бумажная версия книги [S20] доступна в библиотеке НМУ - просите 2-е издание 2020 года - но нумерация в ней может отличаться. Следите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг! Окончательны только задания с жирными датами. Хотя смотреть видео и пробовать программы не обязательно, это поможет Вам решить обязательные задачи.)
К 9.09. 1.4.1a*, 2.2.1ab*, 2.2.2a, 2.2.3a, 2.3.2ab из [S20]. Прочитайте первую фразу в п. 2.2. Определения ленты Мебиуса, бутылки Клейна и тора можно найти в п. 2.1 (или в Википедии). Посмотрите мультфильмы про тор и Cutting a Moebius strip in half (and more). Попробуйте программу A polygonal line avoiding an obstacle.
К 16.09. 2b, 3b, 4ab, 5* из п. 2.2 и 2c, 3abc, 4, 5c, 1ab из п. 2.3 (в 2.3.5с используйте без доказательства неравенство Эйлера 2.5.3a) и 2.4.1a, 1.4.1ca. Определение сферы с ручками можно найти в п. 2.1 (или в Википедии), а букета циклов - на рис. 1.2.1. Посмотрите мультфильмы про крендель и сферу с ручками.
К 23.09. 3c, 5c, 1ab из п. 2.3 и 2, 3a, 4a из п. 2.4 (используйте без доказательства неравенство Эйлера 2.5.3a). Видео лекции.
К 30.09. 2.3.1b и 6a, 8a, 7(для тора) из п. 2.4 (используйте без доказательства неравенство Эйлера 2.5.3a) и 1c, 2abcd, 5, 6ab'b, 4 из п. 1.4.
К 7.10. 1.4.2cd, 1.4.3b, 1.3.3c* (далее используйте без доказательства), 2.5.1abcde (формулировка + нестрогое обоснование), 2.5.2ab, 2.7.2ab.
К 14.10. 2.5.1abcde (формулировка + нестрогое обоснование), 2.5.2b, 2.5.3a и 1a, 2bd, 3ab, 5 из п. 2.7.
К 21.10. 1, 2abcd, 3aa'bc* из п. 1.5 и 1.6.1abd.
Занятие 21.10 не обязательное. Оно состоялсь в 18.10-19.40 в виде доклада на научном семинаре лаборатории алгебраической топологии и приложений на ФКН ВШЭ: A quadratic estimation for the K\"uhnel conjecture (S. Dzhenzher and A. Skopenkov).
К 28.10. 1fg, 2ab, 3a,bI,bE, 4abc, 5 из п. 1.6.
К 4.11. 1.5.2d и 1abdfg, 2ab, 3a,bI,bE, 4abc, 5 из п. 1.6 и 1.1.2, 2.5.1e, 2.5.2b, 2.5.3a, 2.6.1bc, 2.6.2aba'b', 2.6.3aa', 2.7.2d.
К 11.11. 1.1.2, 2.5.1e, 2.5.2b, 2.5.3a и 2ab, 3aa'b, 4abcd, 5(bE)a, 7ab, 8(bE)a из п. 2.6 и 2d, 6ab, 7abc из п. 2.7.
К 18.11. 3aa'b, 4cd, 5(bE)a(bI)*, 6*, 7ab, 8(bE)a(bI)* из п. 2.6 и 7c, 8bac*, 9bac* из п. 2.7 и 2.4.5, 4.6.3abc, 5.2.2, 5.2.3ab. Задачи со звездочкой принимаются только у того, кто сделал более 3/4 задач без звездочки к данному занятию.
К 25.11. 1.5.3c и 5(bE)a, 8(bE)a из п. 2.6 и 2d, 6ab, 7abc, 8ba, 9ba из п. 2.7 и 2.4.5, 4.6.3degi*, 5.3.2abc, 5.4.2ab, 5.2.3d.
Ко 2.12. 2.8.1acd, 2.8.3a, 5.3.2bc, 5.4.2ab, 5.4.3ab, 5.4.1a-i, 5.4.4abc, 5.2.3d.
К 9.12. 5.4.4de, 5.4.5, 5.5.1abc, (далее используйте без доказательства утверждения 2.7.7ab и 5.5.1d), 5.3.3, 5.3.1a, 5.2.3d, 5.7.1abcd, 5.7.2ab, 5.7.3a, 5.6.2 (для ориентируемых). Попробуйте программу Homeomorphism between ribbon graph and sphere with handles and holes.
К 16.12. (далее используйте без доказательства утверждения 2.7.7ab и 5.5.1d) 5.3.3, 5.3.1a, 5.2.3d, 5.6.2 (для ориентируемых), 5.7.1c, 5.7.3ac*, 2.8.5abcd*e* и по [S]: 1, 2, 3b, 4 из п. 4.1 и по [Sk14]: 2.4ab, 1.2, 2.8, 1.5.
К необязательной консультации 21.12, 17.00: по [S]: 4.1.4 и 1ab, 2ab, 3b из п. 4.2 и по [Sk14]: 1.2, 2.8, 1.5, 2.9*. [S20u]: 1.1a, 1.3, 4.1, 4.2.
Экзамен 30.12, 17.30-19.00. Общие критерии такие же, как в типичном пояснении к контрольной работе и в рекомендациях по письменным решениям для пользователя, см. также на стр. 2-3.

От векторных полей к характеристическим классам

Домашние задания (если источник не указан, то задание по книге [S20]; бумажная версия книги [S20] доступна в библиотеке; cледите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг! окончательны только задания с жирными датами) (cледите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг! окончательны только задания с жирными датами)
11-25.07: Some material from [S, \S8.1-8.4] including 1abc, 4abcd*, 5, 6abcd, 8ab from \S8.3.
К 10.09: 8.10.1a, 8.12.1a, 8.12.2a, 8.1.7a*b* и (по бумажной версии) 9.1.1ab*, 9.1.2ab, 9.2.2c.
К 18.09: 8.1.7b (указание: 3.11.1ab), 9.2.2cde, 9.3.1ab, 9.3.2ab* и 1, 2ab*c*d*, 4, 5, 3ab, 6ab* из п. 9.4 (указание: сделайте для триангуляций 6.2.3abc, 6.3.1bcd, 6.3.2ab, 6.3.3, 6.4.1ab). Можно пользоваться без доказательства эквивалентностью ориентируемости следующему. Ориентацией n-мерного векторного пространства V над R можно назвать невырожденную полилинейную кососимметричную форму V^n\to R. Многообразие N называется ориентируемым, если существует семейство ориентаций касательных пространств к N в точках x\in N, непрерывно зависящих от точки x\in N. В начале п. 9.4 опечатка: вместо (234) и (124) нужно (243) и (142).
К 24.09: 8.1.7b (указание: 3.11.1ab), 9.2.2de, 9.3.1b, 9.3.2a, 9.4.3b и (трехмерный аналог задачи 6.1.2b)* и 2ac*, 3abc, 4ab, 5ab* из п. 9.7 и 10.4.1abcd.
Ко 2.10: 9.3.1b, 9.7.4ab, 9.7.5ab*, 10.4.1def, 10.5.1abcd, 10.5.2 (аналог 6.5.4ab).
К 9.10: 10.5.1ef, 10.5.2 (аналог 6.5.5a), 10.5.2g, 6.7.3b, 9.2.2f (deg f четно), 9.2.1 (эвристика) (строгое док-во)*, 9.7.1a, 9.7.5b, 9.1.6.
К 16.10: 8.4.3c, из п. 10.4, 10.5.1f, 9.2.2f (deg f четно), 9.2.1 (строгое док-во), 9.4.6ab*.
К 30.10: 8.4.3c, 8.6.3bc, 10.6.8 (для dim K=2), 9.2.1, 9.5.1 (без невырожденности).
К 6.11: 8.4.3c (подсказка), 10.6.8, 10.7.1abcd, 10.8.1ab, 9.5.1 (невырожденность), 9.1.3, 9.1.7c, 9.7.1b*, 9.7.6*.
К 13.11: 10.8.1b, 9.1.7c, 9.7.1b*, 9.7.8ab*cd*, 9.8.1abcdefg (H_1 -> H_3).
К 20.11: 9.7.8c, 9.8.1eg (H_1 -> H_3), 9.8.2abc.
К 27.11: 9.8.1e, 9.8.2abcd, 9.8.3ab*cdef*g, 9.8.6a*-f*.
К 4.12: 9.7.4a, 9.8.2bcd, 9.8.3abdef*g, 9.8.8ab*cd, 9.9.3, 9.9.1 (здесь и далее испольуйте 9.9.2b без доказательства).
К 18.12: 8.6.3c, 9.8.3e' для ориентируемых, 9.8.3e', 9.8.8e, 9.9.3, 9.9.1, 9.9.4*, 9.9.5ab (далее испольуйте 9.9.5b без доказательства), 9.9.5cd, 9.9.6ad
Для самостоятельного разбора: [S, \S8.5] и 7.1.2ab, 7.1.1ab*, 7.1.7abc, 7.1.7c, 7.2.2, 7.2.5.

Векторные поля на многообразиях и теория гомологий, НМУ, весна 2021. 3.4.6a, 3.11.1a, 4.1.1a, 4.2.2, 4.3.1a, 4.4.2ab, 8.9.1a* и 2ab, 4abc, 5ac*, 6b, 7a из п. 3.4 и 3.8.1abc и 1abcd, 2a'a''abb'ce, 3a из п. 3.9 и 1ab, 2abc, 3abc*d из п. 3.11 и 3.7.2ab, 4.2.3b, 4.4.2b и 3.7.2cd*, 3.3.1с, 3.4.5b, 3.10.2, 3.10.4(n=1), 3.11.2b, 3.11.3bce, 3.1.6a, 4.3.1bce, 4.3.2a, 4.1.2a и 3.11.3c, 4.3.2a, 4.1.2ab*, 4.4.1a и 1(c-i), 2abc, 3, 4 из п. 4.5 и 4.6.1, 4.6.3(a-g) и 1abcd, 2abc, 3ab из п. 4.8 и 1ab, 2 (напишите номера задач, аналоги которых сделали) из п. 8.1 и 4.6.2 и 3, 6(a-f), 7(a-e), 5ab из п. 8.1 и 8.2.1(a-d), 8.2.2 (начинайте решать предложенные задачи из параграфа 8 со случая n=2 - там, где он осмыслен) и 4.7.1(a-h),i*, 4.7.2 и 3(a-f)2*, 4, 5abc, 8 из п. 8.2 и 8.4.1abcd. и 5abc, 6abcdef, 7 из п. 8.2 и 2, 3abc*(p=3q=3), 4a из п. 8.4 и 8.6.1abcdc'd' (для достаточно мелкой триангуляции) и 8.6.2abcdef, 8.5.1ab, 8.5.2 и 8.3.2abcde, 8.3.1a и 1ab, 2ab, 3a, 4a, 7ab (используя корректность 8.7.6) из п. 8.7 (по электронной версии) и 8.8.1abcde, 8.8.2abcd и посмотрите мультфильм про отображение Хопфа (для взрослых) и мультфильм-1 (для детей) мультфильм-2 (для детей). и 8.7.3bc, 8.7.4b (по электронной версии), 8.8.2abcd и 4.9.1abc, 4.9.2 и 1abcd, 2, 3a (для m>4), 4ab из п. 4.10 и 8.5.3abc, 8.6.4a (для m=5,n=3), 8.6.5a, 9.8.7a и 8.6.3abc*, 8.7.6a, 8.8.2abcd, 8.8.3ab, 9.8.7bc.
4.4.6abc*, 4.4.7a, 5.12.1abcd* и Remark 2a, 1st paragraph и прочитайте стр. 30-31 и 37.
If $A\subset X$ is a strong deformation retract of $X$, then for any $Z\subset\R^d$ the restriction induces a 1--1 correspondence $[X,Z]\to[A,Z]$.

Векторные поля на многообразиях и теория гомологий, 2019. Аннотации и программы похожих курсов <<Теория гомологий для пользователя>>, НМУ и МФТИ, весна 2018, и <<Топологическая теория векторных полей на многообразиях>>, НМУ, весна 2016.

Классификация зацеплений

Алгебраическая топология с геометрической точки зрения

Мотивированное и доступное изложение основ топологии

См. также:
Санкт-Петербургская заочная олимпиада по топологии.
А.А. Ошемков, А.Б. Скопенков, Студенческие олимпиады по геометрии и топологии, Матем. просв. 11 (2007) 131-140.

Другие ранее исполненные курсы

Последнее обновление/Last modification 9.11.2023.
Contacts: s*open*o@mccme.ru, *:=k. Пожалуйста, направляйте пожелания и замечания Аркадию Борисовичу Скопенкову, s*open*o@mccme.ru, где *=k.