Курсы топологии в исполнении А.Б. Скопенкова

• Как учить(ся) математике (в т.ч. об экзамене/зачете)
• (1) Введение в топологию (дискретные структуры и алгоритмы в топологии), ФПМИ МФТИ, 2й семестр, весна 2025 (и ранее в 3м семестре; прежнее название для ФОПФ+ФУПМ - Основы топологии, для ФОПФ - Cовременные топологические методы в физике)
• (2) Линейно-алгебраический метод в топологии: теория гомологий, ФПМИ МФТИ, 3й семестр, осень 2025 (ранее в 5м семестре исполнялся схожий более сложный курс)
• (3a) Алгоритмы распознавания реализуемости гиперграфов МФТИ, 5й семестр, осень 2025 (и ранее: МФТИ, НМУ; для 2-курсников возможна сдача упрощенного варианта)
• Классификационные проблемы в дифференциальной и гомотопической топологии, ФПМИ МФТИ, осень 2025, магистранты и аспиранты (ранее - НМУ, весна 2024)
• (3b) Введение в топологическую комбинаторику, ФПМИ МФТИ, 6й семестр, весна 2025 (и ранее: МФТИ, НМУ)
• (4a) Препятствия и алгоритмы в алгебраической топологии, МФТИ, осень 2024 (и ранее под другим названием: МФТИ, НМУ)
• (4b) От векторных полей к характеристическим классам, МФТИ, весна 2025 (и ранее: НМУ)
• Топология гиперграфов и многообразий в интересных результатах, МФТИ, весна 2025 (и ранее: МФТИ, 2022-2023 уч. год, НМУ)
• Алгебраическая топология многообразий в интересных результатах, НМУ, осень 2023
• Классификация зацеплений, НМУ, осень 2019 (и ранее)
• Другие ранее исполненные курсы
• О параллельных курсах по одной теме
• Алгебраическая топология с геометрической точки зрения
• Мотивированное и доступное изложение основ топологии
• Задачи для исследования (студентам и аспирантам)

Как учить(ся)? Как ставится оценка за экзамен/зачет?

Читать приведенные ниже литературу и мысли не обязательно. Но, надеемся, они будут интересны и полезны - особенно если у Вас возникли вопросы "почему и зачем нужны нижеприведенные правила сдачи зачета".

Ваши вопросы и отзывы (Критика)

Как ставится оценка за экзамен/зачет? (Проза)

Здесь оценки, большие 10, занижаются до 10; коэффициенты в формулах слегка изменятся к концу семестра; оценки за курсы, не перечисленные выше, вычислялись (или будут вычисляться) аналогично; лагранжиан L состоит из следующего.
(1) Плюсик за домашнюю задачу, который студент ставит себе сам - 1 очко (даже если задача сдана им устно на прошлом занятии). Если это решение проверяется (у доски или на месте), то 1 заменяется на число от -4 до +4 в зависимости от того, насколько сложна задача, насколько серьезны ошибки в решении и исправлены ли они в процессе обсуждения. Успешная подготовка домашних задач не только даёт возможность получить за них много баллов, но и помогает в получении баллов по другим пунктам. Подробнее о пунктах (1) и (3) см. ниже.
(2) Контрольная на N минут (в частности, большая контрольная на дифф.зачёте или экзамене) оценивается из 3N/4 очков. За неполное решение ставится часть очков. Контрольные минут на 20 проходят почти на каждом втором семинаре. Общие критерии проверки такие же, как в типичном пояснении к контрольной работе и на дискретном анализе (стр. 3). БУЛЛА экзаменаторам по курсу <<Введение в топологию>> (ее разрешается подсмотреть и студентам).
(3) Письменное решение для пользователя - 7-8 очков (если не вошло в учебник по курсу) или 11 очков (если вошло). Решения задач, слишком легких для записи, могут оцениваться ниже. За непринятое письменное решение ставится 0 очков (независимо от <<существенности>> недочетов). Если решение не принято, то после получения замечаний можно и даже рекомендуется написать и сдать новую версию решения. Если Вы хотите получить 0, то не читайте рекомендации по письменным решениям для пользователя, иллюстрирующие содержательные требования. Решения проверяются одна версия в две недели. Если решение не сдано вовремя студентом, присутствовавшим на обоих занятиях, то возможность его сдать (скажем, в конце семестра) пропадает.
(4) Устная задача, сданная на занятии - от 1 до 3 очков (в зависимости от сложности; отрицательные очки за незасчитанные решения не ставятся).
(5) Нахождение жука в учебнике (не найденного ранее) - 1 очко.

Принцип непредвзятости. В лагранжиан не входит ничто другое (пол, возраст, национальность сдающего/-щей, его/ее желание сделать что-то, не входящее в лагранжиан и т.д).
Каждая оценка ставится только один раз (в частности, уже написанная контрольная не переписывается; готовьтесь к контрольным до них, а не после них). Оценка может быть исправлена, если студент или преподаватель нашел ошибку в решении или в проверке.

Комментарии к пункту (1)

Указания или решения (или ссылки на них) для многих задач к некоторому занятию приведены на предыдущей лекции. См. также указания в конце параграфов в литературе по курсу. Иногда в задании имеются видео и программы. Cмотреть их не обязательно, но это поможет Вам решить обязательные задачи.

Каждое следующее задание делать легче, если Вы разобрались во всех предыдущих заданиях и при этом большую часть решили <<самостоятельно>> (используя лекции). Задания несложны при условии, что студент хорошо осознал лекции и овладел необходимой техникой для выполнения заданий.

Готовьтесь к рассказу решений. Нужно уметь
* давать определения понятий, используемых в условии задачи и в Вашем ее решении,
* формулировать и доказывать все используемые утверждения из данного курса (в частности, доказанные на лекциях или на прошлых занятиях) - если не оговорено, что чем-то можно пользоваться без доказательства,
* приводить детали доказательств, которые могли не разбираться на лекции или на прошлом занятии.

При рассказе решений (как и на экзамене по дискретному анализу):
* если определение не засчитано, то рассказ, использующий это определение, не заслушивается, а за него ставится минус;
* если формулировка не засчитана, то его доказательство не заслушивается, а за него ставится минус;
* если умение приводить строгие определения, формулировки и доказательства продемонстрировано на нескольких примерах, то далее можно рассказывать менее строго, наводя строгость только в указанных слушателями местах (например, в тех, где без строгого изложения невозможно по-настоящему проверить результат);
* можно пользоваться без доказательства теми результатами из других курсов, формулировки которых (и необходимые для них определения) Вы готовы привести; приводить их нужно только по просьбе слушателей;
* иногда проще не повторить доказательство лекционной теоремы (или разобранной задачи) и использовать ее для решения задачи, а повторить необходимый небольшой фрагмент доказательства на примере решения данной задачи.
*Будьте осторожны: если в цепочке задач каждая опирается на предыдущую, Вы не решили первой из них, и ей не разрешено пользоваться без доказательства, то Вы получите минусы за каждую задачу этой цепочки.
* Будьте осторожны. За решение с использованием факта из курса (утверждения с лекций или другой задачи из задания), который студент не доказал после двухминутной подготовки (и про который в задании не написано, или при вызове к доске не сказано, что им разрешается пользоваться без доказательства), ставится отрицательная оценка. Если же решение рассказано в ответ на предложение рассказать другие решения, и в нем нашлась ошибка, то отрицательная оценка не ставится.

Для обучения важна свобода выбора метода решения задач (ср. с. Auftragstaktik). Свобода выбора не должна отделяться от ответственности за него. Иначе студенты осваивают неправильные и неудобные идеи вместо правильных и удобных (приведенных на лекциях и в книге). Поэтому при приеме задач мы проверяем, имеется ли у студента решение (возможно, с мелкими недочетами) на момент начала рассказа, а не то, доводится ли идея решения студента до полного решения за неограниченное время.
Поэтому вдумчиво проверяйте свои решения до (а не после) проставления единичек за них - в частности, обсуждением и частичной записью. Это увеличит вклад разбора задач на семинаре в Ваши умения и в зачет. Конкретнее, это позволит на занятии разбирать (а не решать) домашние задачи, тем самым тратить на них меньше времени, тем самым тратить на обсуждение нового материала больше времени, тем самым тратить на новое задание по новому материалу меньше времени, и т.д.   
Более конкретно, если в рассказе найдены недочеты, то мы даем время на их исправление, но не более двух попыток исправления, не более трех минут на подготовку исправлений и не более двух минут на их рассказ (это на все исправления одного студента по одной задаче; время на исправление по сложным задачам может быть немного больше). Плюс за домашнюю задачу оценивается в -4 очка, если у студента до на момент начала рассказа нет записанных ответа (если он требуется) или длинных вычислений (если они есть в решении этого студента) или перебора (если в решении этого студента есть перебор более трех случаев, включая подслучаи) или формулы для \delta_f(\epsilon) (если решение включает доказательство непрерывности по определению). Если время и число попыток вышло, то мы ставим минус. После выставления оценки мы будем рады (по просьбе студента и при наличии времени) предложить более удачную идею (сказав, что студент и сам бы до нее дошел, если бы честно пытался довести свою идею и не забывал о лекциях), или обсудить с ним доведение его / ее идеи. Баллы за обсуждение после выставления оценки не снимаются и не добавляются.

Дополнительные задачи отмечены звездочкой. Они принимаются (в любом виде: рассказ у доски, РдП) только у того, кто сделал все задачи без звездочки на данный день, кроме, быть может, двух. Обычно они посложнее и потому учитываются с большим весом.

Комментарии к пункту (3)

Мы приветствуем сдачу в качестве РдП не только решений, но и:

• кусочка Вашего текста по мат. практикуму, содержащего формулировки и доказательства;
• программы по курсу, выложенной на github;
• понятной большой красивой картинки по задаче из курса;
• мультфильма по курсу, выложенного на youtube;
• отзыва о проведении курса (раз в семестр).

О пропусках (по болезни и не)

Студенты, пропустившие занятия, или не сдавшие вовремя зачет, могут досдавать задачи. Очки за (1) -- домашние задачи -- умножаются на 2/3. Задачи по занятию, за которое стоит 0 баллов (пропущенному), можно досдавать только в течение месяца после этого занятия (кроме случая, когда явно объявлено иное --- например, когда студент принес документ о болезни во время пропущенного занятия и всего месяца после него). Досдача происходит раз в неделю в удобное преподавателям время, объявляемое в начале семестра.

Досдача и пересдача предполагают, что студент ознакомился с обсуждением задач на семинарах (лучше обсудить решения с одногруппниками; можно также --- если доступно --- посмотреть видео). Досдача и пересдача, в противоположность семинарам --- в первую очередь проверка, а лишь затем обучение. На них мы даем меньше подсказок и времени на исправление недочетов, чем на семинарах.

Возможно, студент опоздал к началу занятия, т.е. к вызову к доске по поставленным им в таблицу единичкам (за домашние задачи). Тогда эти единички не подтверждены возможностью вызова его по любой из них к доске. Период полураспада таких не подтвержденных единичек - 4 минуты (т.е. при опоздании на T минут баллы домножаются на 2^{-T/4}). Аналогичное происходит, если студент сообщает преподавателю о своих единичках позже, чем за 5 минут до начала занятия (когда эти единички уже не могут быть учтены при вызове к доске).

Все студенты, не писавшие контрольную, пишут ее позже в одно и то же время. Пожалуйста, напишите по эл. почте, на какое время Вы договорились, за 3 дня или более до него, с копиями всем студентам, не писавшим контрольную (в подтверждение их согласия с этим временем). Если хотя бы один студент (не писавший контрольную) не явится в это время и не пришлет электронного письма с отказом от возможности получить баллы за контрольную, то контрольная в это время не состоится. Вы наберете больше баллов за написание не написанной контрольной, если перед этим досдадите устные и письменные задачи по теме контрольной.
Если контрольная не написана (позже, чем вся группа, и) до зачетной сесии, то мы назначаем время написания в зачетную сесию или в последнюю неделю занятий. Мы постараемся, чтобы это время было приемлемо (для студентов, не писавших контрольную), но не гарантируем этого. Студент, не пришедший в назначенное время, теряет возможность получить баллы за контрольную (кроме случая предоставления справок об отсутствии по уважительным причинам за все время от написания контрольной всей группой до назначенного времени).

Линейно-алгебраический метод в топологии: теория гомологий

Попытайтесь решить следующие вводные задачи к первому семинару 5.09! The solutions will be discussed in the first seminar. Это будет Вашим первым вкладом в экзамен, позволит немного уменьшить нагрузку в семестре, а также поможет нам сделать первые лекции доступными и интересными. Это поможет Вам решить, изучать ли этот курс. This trying is also sensible if you are sure that you will take the course. Not succeeding in solving these problems does not mean that you shouldn't take the course. По [MNS]: 1.3.5ba (см. определение 1-цикла в п. 1.1), 2.2.2b. По [S20]: 5.7.1a, 5.7.3b*, 3.6.1Sp (докажите), 3.1.4, 3.6.1Sp* (придумайте и докажите аналог для тетраэдра), 8.1.3(1)* (для n=3).

Домашние задания (Если источник не указан, то задание по электронной версии книги [S20]. Бумажная версия книги [S20] доступна в библиотеке МФТИ - просите 2-е издание 2020 года - но нумерация в ней может отличаться. Окончательны только задания с жирными датами. Перед решением каждого задания обновите pdf-файл книги.)
К 12.09: 5.7.1bc, 5.7.2a, 5.7.3a*, 6.1.2a, 6.2.1abc, 6.2.2abcd*, 6.2.3d и 1abb'c, 2, 3, 4ab, 5abc* из п. 6.3. Запас. По [ABM+]: 3.2, 3.3, 6.1abc*d, 6.2, 6.3*, 6.4.a, 6.5 и [S, 1.6.3abcdef].
К 19.09: 6.3.6abc*, 6.3.7abc*, 6.1.2b, 5.7.3c*, 6.4.1abc, 6.4.2a, 6.4.3abc, 6.4.4* и 1abc, 2, 3a*, 4ab, 5ab из п. 6.5.
Примечания. Утверждения типа 8.1.8a на лекциях я предваряю вопросами типа `существует ли ненулевое касательное векторное поле на $S^3$'? Но в книгу это не включаю.
Диффеоморфизмы ни для чего в этом курсе не нужны (см. замечание в конце п. 4.6).
Возможно, серьезное изучение гладкой формализации понятия степени (после гораздо более простой кусочно-линейной формализации) - это то, что придется удалить из программы (наступив на горло своей песне), чтобы не перегружать студентов, а также не жертвовать более ярким материалом ради более технического.
К 14.02: 3.1.6, 3.1.7ab, 3.10.1c (можно использовать без доказательства 3.9.2a''b') и 4.2.1ab, 4.1.1a, 4.2.3
К 28.02: 4.3.1ab, 4.4.2a, 4.5.1ab, 4.5.2abce, 4.5.1d* 4.5.2dfg 6.6.1a, 8.1.1a, 8.1.8a(для n=3) 4.2.3, 4.2.4b*, 4.4.2b, 4.4.4ab, 4.3.1cde*f, 4.4.1a*, 4.5.3ab и 4.3.1g, 4.3.2a*, 4.1.2a*, 4.5.3c, 4.5.5ab, 4.5.6
6.6.1a. Регулярные окрестности изоморфных графов в~одной поверхности не обязательно гомеоморфны.
По гладким (под)многообразиям. По [S20], бумажной версии: 8.4.1abcde (см. определение сферы с ручками в п. 2.1), 8.4.2 (4.5.1abcdf, 4.5.2a, 4.5.4*, 4.6.1; напишите номера задач, аналоги которых сделали), 8.4.4c, 8.4.3 a(гомеоморфность)* a(подмногообразие) b* c*(подмногообразие). По п. 5.2: 0, 1abcde, 3abcde*f*.
К 27.09: 5.9.1ac (по эл. версии), 6.5.3ab, 6.5.6a, 6.7.1a' (пересечение ребра \sigma и ребра \tau^*, двойственного к ребру \tau, равно \delta_{\sigma\tau}), 6.7.1a(без симметричности), 6.7.1bc.
К 4.10: 1d(определите `естественные' отображения $f$ и $f^*$), 2ab, 2d (форма пересечений симметрична), 3a (достаточно нестрогих рассуждений), 4, 5abcd*ef из п. 6.7 (здесь и далее используйте без доказательства утверждение 6.7.5d для других утверждений) и 6.5.6a, 6.6.1a.
К 11.10: 2.2.5d*, 6.6.1b* (достаточно нестрогих рассуждений), 6.6.2, 6.7.2c, 6.7.3b*, 6.7.5g, 6.7.6, 8.1.1b, 8.1.2 (напишите номера задач, аналоги которых сделали), 8.1.3 (равносильность).
К 18.10: по электронной версии 8.1.2(3.7.2d), 8.1.3(доказательство), 8.2.1eg, 8.3.6abcd, 8.3.7abcd, 8.4.3abce, 8.4.4, 8.4.5, по бум. версии 10.6.8*.
К 25.10: по электронной версии 8.2.1g, 8.2.2c и 3e, 4, 5, 6abd из п. 8.4 (утверждением 8.4.5 можно пользоваться в других задачах без доказательства) и 8.1.3(доказательство), 8.1.5ab, 8.1.8(b=>a) и по [KS21e]: read definitions before Addendum 2.4.3, 2.4.3a ( for any k-face s in K-T there is a unique non-zero k-cycle in H_k (T U s) ), 2.5.4ab*c*d и KxI (K стягиваем <=> KxI стягиваем), DHxI (DHxI сдавливаем)*,
К 1.11: по электронной версии 8.4.5, 8.4.6abd, 8.4.7, 8.1.4, 8.1.8b (утверждением 8.4.5 можно пользоваться в других задачах без доказательства) и 4.5.1f, 4.5.2bc (см. определение в конце п. 2.1), 4.5.4, 4.6.3i, 4.7.1abcdef, 4.7.2 (предполагая корректность).
К 8.11: по электронной версии 8.4.5, 8.4.6abd, 8.4.7 (равносильность) (утверждением 8.4.5 можно пользоваться в других задачах без доказательства), 4.5.1f, 4.5.2bc (см. определение в конце п.2.1), 4.5.4, 4.6.3i, 4.7.1f, 4.7.2 (предполагая корректность), 4.8.1abc и
К 15.11: по электронной версии 8.4.5, 8.4.6abd, 8.4.7 (равносильность) (утверждением 8.4.5 можно пользоваться в других задачах без доказательства), 4.5.4, по бумажной версии 4.8.1abc, 4.8.2abc, 4.8.3ab, 4.6.1, 8.4.2 (4.6.1), 8.3.2abd (в определении шары D_1,...,D_{k+l} не существуют, а наперед заданы; в (d) замените (k+1,l+1) на (k-1,l-1)), 8.3.1a.
К 22.11: по электронной версии 8.4.5, 8.4.6abd, 8.4.7 (равносильность) (утверждением 8.4.5 - и, тем самым, корректностью определения степени - уже нельзя пользоваться в других задачах без доказательства), 4.5.4, по бумажной версии 4.8.3ab, 4.6.2, 8.4.2 (4.6.1), 8.3.2abd (в определении шары D_1,...,D_{k+l} не существуют, а наперед заданы; в (d) замените (k+1,l+1) на (k-1,l-1)), 8.3.1a, 8.6.1abc*d*c'*d'*, 8.6.2abcdef*, 8.5.2, 8.5.1a, 8.5.3ac. Теоремами 8.3.1a и 8.6.2f можно пользоваться в других задачах без доказательства.
К 29.11: по электронной версии 8.4.6abd, 8.4.7 (равносильность), 4.5.4, 8.10.3abс* и по бумажной версии 8.3.2abd (в определении шары D_1,...,D_{k+l} не существуют, а наперед заданы; в (d) замените (k+1,l+1) на (k-1,l-1)), 8.3.1a, 8.6.1b, 8.6.2abcdef (в f достаточно картинок для тетраэдра), 8.5.2, 8.5.1a, 8.5.3ac*, 8.7.4b (по бумажной версии; в 4b можно пользоваться без доказательства результатами задач 8.7.6abc), 9.4.1, 9.4.2a. Теоремами 8.3.1a и 8.6.2f можно пользоваться в других задачах без доказательства. Можно пользоваться без доказательства эквивалентностью ориентируемости следующему. Ориентацией n-мерного векторного пространства V над R можно назвать невырожденную полилинейную кососимметричную форму V^n\to R. Многообразие N называется ориентируемым, если существует семейство ориентаций касательных пространств к N в точках x\in N, `непрерывно зависящих' от точки x\in N. В начале п. 9.4 опечатка: вместо (234) и (124) нужно (243) и (142).
К 6.12: по бумажной версии 8.3.1a, 8.5.3ac*, 8.6.3a*b*c* и и 1, 3ab, 4, 5, 6a из п. 9.4 и 9.1.1a, 9.1.2ab, 9.2.2abcdef (deg f четно), 9.3.1a.
К 13.12: 9.3.1b (эвристика), 9.3.2a, 9.2.1 (вывод из погружаемости в R^3 окрестности подмногообразия F в M) и 2a, 3abc, 4ab, 5ab из п. 9.7, 9.5.1, из п. 10.4, 10.5.2a, 9.4.2b*, 9.4.6b*.
К дифф. зачету 20.12: 9.7.3c, 9.7.4ab, 9.7.5ab, 9.5.1, 10.5.2(a-f)g* и 1, 2ab, 3a*, 4a* из п. 10.6 и 10.7.0 (пересечение k-симплекса \sigma и клетки \tau^*, двойственной к k-симплексу \tau, равно \delta_{\sigma\tau}), 10.7.1abcd* (для n=3=s+1), 10.8.1ab, 9.1.3.

Курс 2021 года: аннотация и программа; видеозаписи занятий.

Алгоритмы распознавания реализуемости гиперграфов

Попытайтесь решить следующие вводные задачи к первому семинару 3.09! The solutions will be discussed in the first seminar. Это будет Вашим первым вкладом в экзамен, позволит немного уменьшить нагрузку в семестре, а также поможет нам сделать первые лекции доступными и интересными. Это поможет Вам решить, изучать ли этот курс. This trying is also sensible if you are sure that you will take the course. Not succeeding in solving these problems does not mean that you shouldn't take the course. По [S]: 1.1.1b, 1.1.2, 1.3.3b, 1.3.6a*, 1.4.3*. По [S14]: 2.4ab.

Домашние задания (Если источник не указан, то задание по книге [S]. Окончательны только задания с жирными датами. Перед решением каждого задания обновите pdf-файл книги.)
К 3.09:
К 10.09: 1.2.2* (без линейности), 1.3.6ab, 1.4.2, 1.4.3, 1.4.1, 1.4.4b* и 1 (используйте без доказательства утверждение 1.4.4b и теорему Куратовского 1.2.3e), 2, 3ab, 4ab, 5ab, 7(тогда) из п. 1.5. Запас: 3.2, 3.3, 6.1abc*d, 6.2, 6.3*, 6.4.a, 6.5 из [ABM+] и 1.6.3abcdef.
К 20.09: 1.3.5b, 1.4.4.a и 7 (используйте без доказательства лемму 6), 8, 6, 9abc, 10, 12 (mod 11) из п. 1.5 и 1.2.3с (полиномиальность), 2.2.1ab, 2.2.3, 2.2.2a и [S20, 3.8.1c] и по [ABM+]: 5.2*, 7.2abc, 2.1, 2.2ab, 2.4ab, 2.6ab, 5.9abc, 5.4a.
К 27.09: 3f, 4abcd, 5, 7a, 6 из п. 1.6 и 3ab, 4ab, 5, 6ab, 7ab, 8a* из п. 9.2.
К 4.10: 9.2.8a, 1.5.3c, 5.1.5abcd, 5.1.8abcde, 5.1.9be и по [S14]: 2.6, 1.2', 2.8, 1.5.
К 11.10. 5.1.9e. По [S14]: 2.8'abc, 1.5'. По [S20]: 1a, 3, 4ab, 5ab, 6abc из п. 6.3 и 6.4.1abc, 6.5.1abc, 6.5.2abc, 6.5.3 (для триангуляции T).
К 18.10. По [S20]: 6.3.7ab, 6.4.2, 6.4.3abc, 6.5.4a, 6.5.5ab, 10.4.3abc, 10.4.4abc, 10.5.1abc.
К 25.10. По [S20]: 6.5.6b, 10.4.3d и 2a, 3abc, 4abcd, 5abcd, 6abcd из п. 10.5. По [MNS]: 4.6ab, 4.8, 4.7ab.
К 1.11. По [S20]: 7abc, 9abe, 8abc, 10abcd, 11abcd из п. 10.5 и 11.2.1ab, 11.3.2abc (для s=1). По [MNS]: 7.1.
К 8.11. По бум. версии [S20]: 10.5.9e, 11.2.1c, 11.3.2bdefg* (для s=1,2), 11.3.3 (начиная с H_2(A)), 11.3.4ab. По [MNS]: 7.2, 7.3ab, 7.4ab, 7.6, 7.5a.
К 15.11. По [MNS]: 7.5b, 7.7ab*, 8.1b, 8.3b. По [S]: 2.2.2b*, 6.1.1a*b, 6.1.2abc, 6.1.3(3)(12)(22)(31)* (для объяснения реализуемости нужен рисунок, а не доказательство; для обратного - эвристика).
К 22.11: 6.2.1abcdef, 6.2.2ab, 6.2.3, прочитайте п. 6.3.
К 29.11: 2.2.2b*, 6.2.1f, 6.2.4, 6.4.1abc,fghijk*, 6.4.2, 6.5.2a (only if - топологическую вложимость), 6.5.2c, 6.5.3b (используйте без доказательства 6.5.2a, 6.5.4 и 6.17.4e), 6.17.3a, прочитайте п. 6.6.
К 6.12: 6.5.2a (only if - топологическую вложимость), 6.14.1ab (используйте без доказательства теорему классификации), 8.1.1ab*, 8.1.2abc, 8.1.3abc, 8.2.1abcd. По бум. версии [S20]: 11.2.1d. По [BF09]: Corollary 1.2, Proposition 1.3 (use K"unneth theorem). По [FH10], Proposition 2 (mod excision and the surjectivity of \alpha).
К 13.12: 8.2.1fg, 8.2.2ac, прочитайте 8.2.3-8.2.5 и (все для k=2) 6.7.1, 6.7.2, 6.7.4abc, 6.7.3, 7.2.2. По [BF09]: Proposition 1.3 (mod K"unneth theorem). По [FH10], Proposition 2 (mod excision), Corollary 3 (mod [S20eng, 10.6.10]).
Изученное в прошлые годы: 1.7.1ab*, 4.8.1a, 4.8.1b (только 1<=>1'), 4.8.2a* и 5abcd, 4, 6, 7, 2 из п. 5.8 для k=2, 1.5.9abc, 1.5.10, дочитайте п. 1.5.4. 5.9.1abc, прочитайте п. 5.9. 6.16.1, 6.16.2ab, 6.16.4abcd. 1abc, 2ab, 3b, (4aa'*bcde) 5abc, 6ab*c из п. 6.17. По [S22]: 4.1.3, 2.2a (используйте без доказательства 2.8.8c), 2.1a. По [S20]: 2, 3a (\Sigma(f) - объединение отрезков), 3b, 4ab, 5abc, 1 из п. 6.8.

Выше написано про часть 1 указанного курса. Исполнялась также часть 2, которая влилась в курс Препятствия и алгоритмы в алгебраической топологии.
Аннотация и программа, 2017. Аннотация и программа, 2015. Похожий спецкурс на матфаке ВШЭ, 2013.

Классификационные проблемы в дифференциальной и гомотопической топологии

Домашние задания (Если источник не указан, то задание по электронной или бумажной 2020 года версии книги [S20]. Следите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг! Окончательны только задания с жирными датами.)
К 10.02, по атласу: Example 2.1ab, Example 5.1bc*e*(well-defined, for l=1, mod2) и по [S20]: 14.4.2abd, 14.4.3ab.
К 24.02 по [S20]: 15.1.2, 15.1.6, 15.1.7a, 15.2.1 и по январскому занятию, ktori_link.pdf (используя без доказательства то, что там использовано без): Lemma 3.3 (the first three equalities), Lemma 3.4a*, Lemma 3.3 (H\lambda_-)* (далее используйте без доказательства), Theorem 2.2, (how does the Hopf invariant of a map S^3\to S^2 change under the composition with the symmetry of S^2 w.r.t. a hyperplane containing the equator), Lemma 3.5.
К 26.02, по ktori_link.pdf (используя без доказательства то, что там использовано без): Lemma 2.4, Corollary 2.3ba. По [Sk15, \S3]: 2.1ab* for p=0.
К 11.03, по [Sk15, \S3]: 2.1b, 2.2 for p=0 (=[Ha66A, 1.3-1.7]), 2.1a* for p=1. По атласу: 2.2(well-defined)(homomorphism), 3.2a(well-defined)(homomorphism), 3.2bcd, 3.3(well-defined)(homomorphism)[both for q\le m-3], 3.4 (используя конструкцию Понтрягина и Lemma 3.4a из ktori_link.pdf). По [S20]: 15.1.6, 15.6.5a. По ktori_link.pdf: корректность определения на стр. 4.
К 18.03. По атласу: 2.2(homomorphism), 3.2a(homomorphism), 3.3(homomorphism, for q\le m-3), 3.4 (используя конструкцию Понтрягина и Lemma 3.4a из ktori_link.pdf). По [S20]: 15.6.5b (подсказка: [Sk20e, Sketches of proofs of (a1,b1) in p. 6]). По ktori_link.pdf (используя без доказательства Theorem 2.2 и то, что там использовано без): корректность определения на стр. 4, Lemma 3.4b, Theorem 2.6abcd.
К 25.03. По атласу: 3.2a(homomorphism), 3.3(homomorphism, for q\le m-3). По [S20]: 15.6.5b. Prove that [i_1,[i_2,i_3]] \in \pi_4 (S^2 V S^2 V S^2) is non-zero. По [MNS]: 2abcd, 3ab, 4ab, 5ab из \S8 (граф $\widetilde K_n$ определен перед леммой 1.7). По ktori_link.pdf (используя без доказательства то, что там использовано без): 4.1.b*, 2.7.b*, 2.8*,
К 1.04. По [MNS]: 8.5ab. Prove that [i_1,[i_2,i_3]] \in \pi_4 (S^2 V S^2 V S^2) is non-zero (hint: define an invariant of a map S^4 \to S^2_1 V S^2_2 V S^2_3 whose compositions with the contractions to S^2_j and to S^2_2 V S^2_3 are null-homotopic). По ktori_link.pdf, p. 5: prove the existence of a homotopy equivalence \varphi for q>1; (are the spaces homotopy equivalent for q=1?)*; construct a homotopy equivalence \psi; the map p_1:F_3(\R^m)\to S^{m-1} defined by p_1(x_1,x_2,x_3) := \psi(x_1,x_2) is a fibration and has a cross-section; \pi_s(p) is surjective for any s; \pi_s(i) is injective for any s. По ktori_link.pdf, 4.2*. If X is an (r-1)-complementary n-connected manifold, then F_r(X) is n-connected; (the same for n-connected replaced by n-acyclic)* (the definitions are analogous to [HKTT, Definition 1.3]).
К 13.04. По alg-alm-emb, p. 3: p_* is surjective for any s; i_* is injective for any s; p_*i_S^*(\varphi^*)^{-1}(k^*)^{-1}[g^3]=0; F is (2m-4)-connected; \pi_{3q}(F) = \pi_{3q}(S^{2m-3}) (используя без доказательства Hilton's theorem). По [MNS]: 5.7b*. Из \S15.2: 1, 3a (прочитайте), 5.
К 20.04. 15.2.5. Prove that [i_1,[i_2,i_3]] \in \pi_4 (S^2 V S^2 V S^2) is non-zero (hint: define an invariant of a map S^4 \to S^2_1 V S^2_2 V S^2_3 whose compositions with the contractions to S^2_j and to S^2_2 V S^2_3 are null-homotopic). Calculate \pi_k(S^p V S^p V S^p) for p>1 and k=3p-3, k=3p-2 (in terms of \pi_k(S^p) and \pi_k(S^{2p-1}); give a heuristic proof). По reports.pdf: Proposition 4.3, Lemma 4.4.
К 22.04. \pi_j (S^2 V S^2) for j=4,5 (give a heuristic proof), problems 1, 2, 3* from F. Vylegzhanin's talk. По tver_comp.pdf: Lemma 2.
К 29.04. По tver_comp.pdf: Lemma 2. По [S]: 4.6.2a, 4.7.3c. По alg-alm-emb.pdf: (prove for q=1 the existence of a homotopy equivalence \varphi from \S2), Proposition 4ab, (what does not work for $1=q=m-2$ in \S2?)*.
К 6.05. If any intersection of $n$ complexes (including intersections involving ony one complex) is contractible (including empty), then $H^{n-1}$ of the union is zero. Proposition 2.3 (what does not work for CW complexes in which the closure of every cell is homeomorphic to the ball?). По [S20]: 2ab, 3ab*cd из п. 14.8. По tver_comp.pdf: Theorem 1 (modulo Ozaydin-Volovikov lemma). (Let $D_1,D_2$ be copies of $D^4$, and $f:D_1\sqcup D_2\to\R^7_+$ be a proper map whose restriction to the boundary is a link map. If the abbreviation of $f^2$ to a map $\partial(D_1\times D_2)\to (\R^7_+)^{\underline 2}$ is null-homotopic, then the abbreviation of $f^2$ to $\partial D_1\times\partial D_2\to (\R^6)^{\underline 2}$ is null-homotopic.) Problems 3*, 4* from F. Vylegzhanin's talk.
К 13.05. (Let $D_1,D_2$ be copies of $D^4$, and $f:D_1\sqcup D_2\to\R^7_+$ be a proper map whose restriction to the boundary is a link map. If the abbreviation of $f^2$ to a map $\partial(D_1\times D_2)\to (\R^7_+)^{\underline 2}$ is null-homotopic, then the abbreviation of $f^2$ to $\partial D_1\times\partial D_2\to (\R^6)^{\underline 2}$ is null-homotopic.) По [S20, электр. версия]: 14.8.2c*d, 14.8.4abc (use without proof Pontryagin's classification of [N^3;S^2]). По alg-alm-emb.pdf: (what does not work for $1=q=m-2$ in \S2?). По [S]: 4.10.5b*, 5.4.1a, 5.4.2, 5.4.3, 5.4.4a* (use without proof 4.10.5b and Triple Parity Lemma).
К 20-21.05. 3 (mod4), 4, 5 из п. 15.3 и 1ab, 3ab, 7abc, 4, 2 (mod 15.3.6) из п. 15.4, 15.2.4. (Triple Parity Lemma)*. Экзаменационные задачи: обсудить и записать [S, 5.4.4a] (Тимур) Theorem 2.1 (for embeddings; the definition of the cap-product \lambda is either by duality with the homology-cohomology cap product, or as in the atlas; Эрик).

Гомотопическая топология и ее приложения (осень 2023)
Аннотация и программа. Для изучения курса достаточно владеть материалом [S20, \S\S 3, 8.1-8.3, 8.7, 14.1-14.3]. Литература: [S20, \S\S 8, 14, 15], \S3.
Домашние задания (список сокращен) (Если источник не указан, то задание по электронной или бумажной 2020 года версии книги [S20].)
Ко 2-16.09: 8.3.2e, 8.8.2d, 14.4.1abc*d, 14.4.2c, 14.4.3cd, 14.6.2 из бум. версии [S20] (подсказка: [DNF, ч.2, \S23.1]) и Theorem 4.1 (инъективность для p=q и PL случая; используйте теорему о незаузленности сфер, теорему о конкордантности и изотопии, и лемму о поглощении) по атласу. Theorem 4.1 (инъективность для PL случая; используйте то же) по атласу и Theorem 2.6c for closed manifolds and 2m>3n+2 (mod леммы о поглощении) и Theorem 2.6c for closed manifolds (mod леммы о поглощении).
К 24.09-12.10:: 14.5.7ab, 14.6.3abc, 14.6.1-1, 14.6.4ab(сюръективность)c (подсказка: [DNF, ч.2, \S23.2,3]) и 8.8.3ab, 14.5.3e, 14.6.4b(инъективность), 14.8.1ab, 14.8.2abc, 14.8.3abcd, 14.8.4abc, 15.6.6ab.
Ко 28.10-23.11: по ktori_link.pdf. мотивировка к статье.
К 30.11-14.12: по [Sk05']: (define the attaching invariant of knots S^n\to S^d with trivial normal bundle), Lemma 3.1 (the attaching invariant is a homomorphism), Symmetry Remark in \S3.
Доп. материал:8.7.8abcdef, 14.8.4a* и 2cd, 3ab, 4b, 5, 8ab, 6, 7, 4acd из п. 14.7 и 1abc, 2abcd, 3abcdef, 4ab*, 5ab из п. 14.5, 14.5.6, 14.5.7ab, 14.5.9bcdefg, 14.5.10ab, 14.6.4de

Через гомотопическую топологию к сверхтекучести. Мастер-класс (осень 2018), ориентированный на студентов ФОПФ. Литература: [S], [S20, параграф 8.7] и [MM95, RSS05] из [S20].

Введение в топологию (дискретные структуры и алгоритмы в топологии)

Домашние задания (Если источник не указан, то задание по электронной версии книги [S20]. Бумажная версия книги [S20] доступна в библиотеке МФТИ - просите 2-е издание 2020 года - но нумерация в ней может отличаться. Окончательны только задания с жирными датами. Перед решением каждого задания обновите pdf-файл книги. Хотя смотреть видео и пробовать программы не обязательно, это может помочь Вам решить обязательные задачи. Готовьте к рассказу не засчитанные Вам задачи из предыдущих заданий, используемые в Ваших решениях текущего. О занятиях и экзамене/зачете.)
К 7.02: 2.2.1ab*, 2.2.2ab*, 2.3.2ab, 2.4.1ad*, 2.8.1ad*. Прочитайте первую фразу в п. 2.2. Определения ленты Мебиуса и тора можно найти в п. 2.1 (или в Википедии). Посмотрите мультфильмы про тор и Cutting a Moebius strip in half (and more).
К 14.02: 3ab, 4ab, 5*(две) из п. 2.2 и 2cd*, 3abc, 4* из п. 2.3 и 2.4.2, 2.4.3a (используйте без доказательства неравенство Эйлера 2.5.3a) и 1.a2,a3,c, 2a*, 5, 3b (не менее двух; используйте без доказательства аналог леммы 1.4.4) из п. 1.4. Определение бутылки Клейна и тора с дыркой можно найти в п. 2.1 (или в Википедии), а связности - в п. 1.3. Определение сферы с ручками можно найти в п. 2.1 (или в Википедии), а букета циклов - на рис. 1.2.1. Попробуйте программу A polygonal line avoiding an obstacle. Посмотрите мультфильмы про крендель и про сферу с ручками.
К 21.02: 2abcd, 6ab'b, 4, 3b(не более двух)(не менее двух), 7a* из п. 1.4 и 1.3.3c (далее используйте 1.3.3c без доказательства), 1.3.3d, 2.3.5с (в 2.3.5с и в п. 2.4 используйте без доказательства неравенство Эйлера 2.5.3a), 2.3.1ab (нестрогое обоснование аналогично книге), 2.5.1abc (формулировка + эвристика), [S, 1.3.6a*]. Определения плоского графа и его грани можно найти в п. 1.3 (или в Википедии). Посмотрите мультфильмы `Euler's Formula and Graph Duality' и Euler inequality, а также картинку `Wedge on sphere with handles' (О. Рыжова).
К 28.02: 1.4.2c, 1.4.3b(не более двух), 2.4.3b (только K_{5,4}), 2.4.4a, 2.4.6ab (в п. 2.4 используйте без доказательства неравенство Эйлера 2.5.3a), 2.5.1de (используя (с) без доказательства), 2.5.2ab, 2.5.3a*, [S, 1.3.6a*b*]. И по [ABM+]: 1.2, 1.3, 1.5, 1.4, 1.6*, 3.2*. Посмотрите мультфильм `A map on the torus that cannot be colored in 6 colors' и картинку `Three Moebius bands cut out of a surface' (Я. Шульгинтовский).
К 7.03: По [ABM+]: 2.5ab*, 2.1, 2.2ab, 2.3. По [MNS]: прочитайте "предисловие...", "о стиле..." и п. 1.1; решите 1.2.1 и 1, 5b, 7b, 6, 5a из п. 1.3 и 2.2.2b*a*, 2.2.1*. По [S20] (уже нельзя использовать без доказательства неравенство Эйлера): 2.5.2b, 2.4.8ab*, 2.4.7(для тора), 2.4.7*.
К 14.03: 1, 2ab, 3abc, 4ab, 5a (пример без доказательства), 6a*, 7*, 9*, 8b*, 6b* из п. 3.2 и 1.5.1, 1.5.2abdc. Попробуйте программу Boundary circles of disc with ribbons.
К 21.03: 3.2.4b, 2.2.4b и 1a, 2abd, 3ab, 5, 6a, 7b'ab из п. 2.7 и 1.5.3aa'*b, 1.5.4c*, 1.6.1a*d*e*f*g*.
К 28.03: прочитайте пп. 5.1-5.4 и решите 3.2.4b, 2.7.7b, 5.2.2, 5.2.3ab, 5.3.2abc, 5.3.1a (используйте без доказательства 5.3.3), 5.4.1ab, 5.3.3 (только тогда), 5.4.2abc, 1.6.2a*b*, 1.6.3(bI)*(bE)*a*, 1.1.2*, 1.6.4a*c*, 1.6.5*, 2.7.7b'*, 2.7.8a*b*. Попробуйте программу Homeomorphism between ribbon graph and sphere with handles and holes.
К 4.04: 5.4.2b и 2abc (гомеоморфность - на интуитивном уровне), 4abc, 3bcdefgh, 1abc, 5 из п. 5.5 и 5.7.1abcd (5.7.1c - для выбранной Вами триангуляции ленты Мебиуса), 5.3.3* (тогда; используйте без доказательства 2.7.8b и 5.4.2d) и 1b*, 2a*a'*, 3a*a'*, 4d*, 5(bE)* из п. 2.6. Посмотрите мультфильмы Real projective plane and Moebius strip, The cross-cap и Moebius strip and Cross-cap.
К 11.04: 5.5.5, 5.7.2a и по [S]: 4.1.1 (1<=>2<=>3<=>5; укажите минимальные импликации между 1,2,3,5, которые Вы доказали; минимальность означает отсутствие тех импликаций, которые получаются по транзитивности), 4.1.2(1<=>2) и 1, 2ab, 3, 5ab, 4ab из п. 4.2 и 4.1.2(2<=>3). Прочитайте 4.2.8b*с*. По [S20]: 5.3.3* (тогда; используйте без доказательства 2.7.8b и 5.4.2d) 2.6.3b*, 2.6.5(bE)*a*, 2.4.5*, 2.6.5(bI)*, 2.7.7c*, 2.7.2c*.
2.8.5(a)* (К 18.04) Лента Мёбиуса с~ручкой гомеоморфна ленте Мёбиуса с~вывернутой ручкой.
К 18.04: По [S]: 4.2.4a, 4.2.6, 4.4.2, 1.3.4, 1.5.9abc, 4.3.1. По [S20u]: 1.1ac, 1.3, 2.1a, 4.2. По [S20]: 2.8.3a*, 2.8.5a*, 5.2.3d* (используйте без доказательства 2.7.8b и 5.4.2d), 5.5.2d*, 5.5.6a*b*c*d*, 5.5.7*. Посмотрите первую часть лекции и вторую часть рекламы.
[S20u, 1.3] Дайте определение `абстрактной плоской диаграммы'. Докажите, что для любой абстрактной плоской диаграммы существует узел, проецирующийся на нее.
К 25.04: 4.2.4a, 3.3.1ab и 1, 2ab, 3abc, 3d ('объединение' непрерывных функций f:A\to\R и g:B\to\R, заданных на замкнутых подмножествах A,B\subset\R^d и совпадающих на их пересечении, непрерывно), 6ab из п. 3.4 и 2.8.5a*, 5.5.7*. Здесь и далее: рассказ (но не придумывание) доказательства непрерывности отображения f начинайте с приведения формулы \delta_f(\epsilon)=..., или с формулировки тех теорем о непрерывности, которые используете. По [S]: 4.3.2b (используйте без доказательства 4.3.2a), 4.1.2'*, 4.2.7*, 4.3.4b*c*. По [S20u]: 3.2*, 3.3*, 5.1a*.
[S20u, 3.2] Пусть существует точка диаграммы узла (отличная от перекрестков), такая что если мы идем вдоль диаграммы, начиная с этой точки, то сначала встречаем только переходы, а затем только проходы. Тогда этот узел изотопен тривиальному узлу.
Ко 2.05: 3.4.4abc, 3.4.7a и 1bce, 2bcde, 3ab, 4cd, 5ab из п. 3.5. По [S20u]: 5.1b*, 5.2a*b*. По [Sk14, \S2.2, \S2.3]: 2.4a*b*, 1.1'*, 1.2'*. Посмотрите мультфильм о векторных полях.
К необязательной консультации 8.05, 18.00, ориентировочно полчаса, дистанционно от А.Д. Руховича: 3.4.7b, 3.5.5cd и по [BMS]: 5.1*, 5.3a*b*c*. На консультации можно будет также задать вопросы.
К 16.05: 3.4.5ac, (3.3.1с <=> 3.4.5b), 3.5.1a*ce, 3.6.1 (Re<=>3.3.1с) (Br=>Re) (Re=>Br) (Sp=>Re) Sp(докажите), 3.11.1d, 3.11.2abc*, 3.11.3abc*de*, 3.6.1 (Re=>Sp)* (докажите напрямую) Re* (докажите напрямую). Посмотрите кино о лемме Шпернера в мат. экономике.
К дифф. зачету 23.05 (15.20-17.40, принимают Э.В. Алкин, А.В. Мирошников, А.Д. Рухович и А.Б. Скопенков): 3.6.1 (Re=>Br) (не забудьте получить -4, если Вы не заготовили заранее ни формулы для отображения f, непрерывность которого доказываете, ни формулы для \delta_f(\epsilon)), 3.6.2 (3.1.3<=>c) (b<=>c) (d=>c)* (3.1.3=>d)*, 3.7.1abcd, 3.8.1ab*c, 3.9.1abcd, 3.9.2a''* (далее леммы 3.9.2a''b' о поднятии пути и гомотопии можно использовать без доказательства), 3.9.2cde, 3.4.5b, 3.6.2b (докажите), 3.9.3ab*c*, 3.9.4a*b*. Посмотрите кино о теореме Борсука-Улама, короткометражку о гомотопии и первую половину немого кино о накрытиях. Готовьтесь к контрольной работе на 30 минут, прорешивая задачи и прочитав типичное пояснение (а дальше уж и без предупреждения).

Для необязательной самостоятельной работы (этот материал входил в курсы прошлых лет). 3.7.2abd*, 3.7.2c, 3.9.2a''*b', (тому, кто доказал лемму о поднятии пути 3.9.2a', четко сформулированные версии леммы о поднятии гомотопии 3.9.2b можно использовать без доказательства) (лемму о поднятии гомотопии 3.9.2b уже нельзя использовать без доказательства), 3.1.4b*, 3.10.1a*b*c*, 3.10.2*, 3.5.4e*, 3.11.4a*b*c*d*e*, 3.1.1*, 3.1.7a*, 3.1.6*. 4.2.1a*b*, 4.1.1a*, 4.2.2, 4.3.1abcde*, 3.1.5f*, 3.9.5a*b*, 3.1.7b*, 4.2.3*. 5.4.3*, 5.7.3a* 5.8.2a*b*c*.
[S] 4.4.1a*b*, 4.4.4a* и 2a*, 3a*b*, 4a*b*c, 5* из п. 4.3.
[S20u] 2.1b*c* 3.1.5abcd*e.
[BMS] 5.2*.

Получили рекомендацию по итогам курса в/на выбранную аспирантуру, стажировку, летнюю школу и т.д.: Акимов Даниил, Бобохонов Мехрон, Волков Никита, Горбунова Анастасия, Деркач Илья, Ким Раиса, Шестакова Ксения.

Аннотация и программа для 2 курса (2017-2024).
Похожий курс в НМУ, осень 2022: введение в топологию для пользователя. Аннотация и программа. В окончательную программу вошли пункты 1-7 и 12, 13 предварительной программы. Литература: [S20, параграфы 1-5], [S, параграфы 1, 4], [CR, глава 5], [A, BE, P, S14, S89].
Примеры красивых теорем, которые будут изучаться: 1.1.2, 2.2.9, 2.3.2, 2.3.4, 2.3.5, 2.3.7, 3.1.1, 3.1.2, 3.1.3, 3.1.5c, 3.6.3, 3.6.4, 4.1.1, 4.1.2 из [S20] и 1.2, 1.5 из [S14].
Домашние задания (Если источник не указан, то задание по электронной версии книги [S20].)
К 9.09. 1.4.1a*, 2.2.1ab*, 2.2.2a, 2.2.3a, 2.3.2ab из [S20]. Прочитайте первую фразу в п. 2.2. Определения ленты Мебиуса, бутылки Клейна и тора можно найти в п. 2.1 (или в Википедии). Посмотрите мультфильмы про тор и Cutting a Moebius strip in half (and more). Попробуйте программу A polygonal line avoiding an obstacle.
К 16.09. 2b, 3b, 4ab, 5* из п. 2.2 и 2c, 3abc, 4, 5c, 1ab из п. 2.3 (в 2.3.5с используйте без доказательства неравенство Эйлера 2.5.3a) и 2.4.1a, 1.4.1ca. Определение сферы с ручками можно найти в п. 2.1 (или в Википедии), а букета циклов - на рис. 1.2.1. Посмотрите мультфильмы про крендель и сферу с ручками.
К 23.09. 3c, 5c, 1ab из п. 2.3 и 2, 3a, 4a из п. 2.4 (используйте без доказательства неравенство Эйлера 2.5.3a). Видео лекции.
К 30.09. 2.3.1b и 6a, 8a, 7(для тора) из п. 2.4 (используйте без доказательства неравенство Эйлера 2.5.3a) и 1c, 2abcd, 5, 6ab'b, 4 из п. 1.4.
К 7.10. 1.4.2cd, 1.4.3b, 1.3.3c* (далее используйте без доказательства), 2.5.1abcde (формулировка + нестрогое обоснование), 2.5.2ab, 2.7.2ab.
К 14.10. 2.5.1abcde (формулировка + нестрогое обоснование), 2.5.2b, 2.5.3a и 1a, 2bd, 3ab, 5 из п. 2.7.
К 21.10. 1, 2abcd, 3aa'bc* из п. 1.5 и 1.6.1abd.
Занятие 21.10 не обязательное. Оно состоялсь в 18.10-19.40 в виде доклада на научном семинаре лаборатории алгебраической топологии и приложений на ФКН ВШЭ: A quadratic estimation for the K\"uhnel conjecture (S. Dzhenzher and A. Skopenkov).
К 28.10. 1fg, 2ab, 3a,bI,bE, 4abc, 5 из п. 1.6.
К 4.11. 1.5.2d и 1abdfg, 2ab, 3a,bI,bE, 4abc, 5 из п. 1.6 и 1.1.2, 2.5.1e, 2.5.2b, 2.5.3a, 2.6.1bc, 2.6.2aba'b', 2.6.3aa', 2.7.2d.
К 11.11. 1.1.2, 2.5.1e, 2.5.2b, 2.5.3a и 2ab, 3aa'b, 4abcd, 5(bE)a, 7ab, 8(bE)a из п. 2.6 и 2d, 6ab, 7abc из п. 2.7.
К 18.11. 3aa'b, 4cd, 5(bE)a(bI)*, 6*, 7ab, 8(bE)a(bI)* из п. 2.6 и 7c, 8bac*, 9bac* из п. 2.7 и 2.4.5, 4.6.3abc, 5.2.2, 5.2.3ab. Задачи со звездочкой принимаются только у того, кто сделал более 3/4 задач без звездочки к данному занятию.
К 25.11. 1.5.3c и 5(bE)a, 8(bE)a из п. 2.6 и 2d, 6ab, 7abc, 8ba, 9ba из п. 2.7 и 2.4.5, 4.6.3degi*, 5.3.2abc, 5.4.2ab, 5.2.3d.
Ко 2.12. 2.8.1acd, 2.8.3a, 5.3.2bc, 5.4.2ab, 5.4.3ab, 5.4.1a-i, 5.4.4abc, 5.2.3d.
К 9.12. 5.4.4de, 5.4.5, 5.5.1abc, (далее используйте без доказательства утверждения 2.7.7ab и 5.5.1d), 5.3.3, 5.3.1a, 5.2.3d, 5.7.1abcd, 5.7.2ab, 5.7.3a, 5.6.2 (для ориентируемых). Попробуйте программу Homeomorphism between ribbon graph and sphere with handles and holes.
К 16.12. (далее используйте без доказательства утверждения 2.7.7ab и 5.5.1d) 5.3.3, 5.3.1a, 5.2.3d, 5.6.2 (для ориентируемых), 5.7.1c, 5.7.3ac*, 2.8.5abcd*e* и по [S]: 1, 2, 3b, 4 из п. 4.1 и по [Sk14]: 2.4ab, 1.2, 2.8, 1.5.
К необязательной консультации 21.12: по [S]: 4.1.4 и 1ab, 2ab, 3b из п. 4.2 и по [Sk14]: 1.2, 2.8, 1.5, 2.9*. [S20u]: 1.1a, 1.3, 4.1, 4.2.

Введение в топологическую комбинаторику

Домашние задания (включая повторение; если источник не указан, то задание по книге [S20]; cледите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг! окончательны только задания с жирными датами; задачи со * обсуждаются только с теми и засчитываются только тем, кто сделал все задачи без *, кроме, быть может, двух)
К 5.02: 3.2.3cd*, 3.2.4ab* и по [S]: 2.1.3, 2.1.5, 2.2.1a, 8.1.3a.
К 12.02: 3d, 5b*(только пример), 7, 9, 8b, 5a, 10b, 11abdeg, 14a, 15a из п. 3.2 и 3.10.2, 14.1.7c (по бумажной версии; используя 14.3.1 и неразрешимость проблемы тождества), 6.1.2a, 6.2.1a.
К 19.02. По [MNS]: прочитайте "предисловие...", "о стиле..." и п. 1.1; решите 1.2.1 и 1, 2bc, 3, 5b, 7bac, 6, 5a из п. 1.3. По [S20]: 3.10.2, 14.1.7c (по бумажной версии; используя 14.3.1 и неразрешимость проблемы тождества), 6.2.1bc, 6.2.2abc и 1abb'c, 2, 3, 4ab, 5ab, 6abc, 7b из п. 6.3.
К 26.02-5.03: 3.10.2, 3.1.7a, 6.3.7a, 6.4.1c, 6.4.4, 6.5.2abc, 6.5.3, 6.5.3' (аналог для связных с непустым краем), 6.5.1abcd, (далее по бумажной версии) 6.7.1a (симметричность), 6.7.1bcd*, 6.7.2a, 6.7.3a, 6.7.4.
К 12.03: 6.7.2ab (эвристика), 6.7.3a (эвристика), 6.7.4, 3.1.7b, 3.10.3c, 3.2.14b, 14.1.6bcd, (3.2.16a = 14.1.7а), 4.4.1a, 4.4.2b, 4.4.4b, 4.5.3c, 4.6.3egh, 4.7.2 (эвристика), 4.8.1a*b, 4.8.2abc.
К 19.03: 3.1.7b, 3.7.2d, 3.10.3c, 4.8.1a*, 4.8.2ac, 8.1.1b, 8.1.2 (аналог 3.7.2d), 8.2.1cef*, 8.2.2bcd, 8.1.5a, 8.3.1c, 8.3.2, 8.3.5сe2*, 8.3.6abcd.
К 26.03: 3.1.7b, 4.8.2c, 8.1.5b, 8.3.3, 8.3.7a*b*c*d*, 8.3.4* (далее используйте без доказательства 8.3.7d, 8.3.4), 8.4.3ce2*, 8.4.4, 8.4.5* (далее используйте без доказательства 8.4.5), 8.4.1 (далее используйте без доказательства 8.4.2 и инвариантность степени при гомотопии). И по [S20eng]: прочитайте 8.5.1a и 8.6.3 (далее используйте без доказательства 8.5.1a и a version of the Triangulation Theorem 4.6.4 for n-manifolds), решите 8.7.1d, 8.8.1ab, 8.8.2ae, 8.7.2, 8.8.2bcdf.
К 2.04: 3.1.7b, 8.1.5b и по [S20eng]: 8.8.2g* (далее используйте без доказательства), 8.7.4, 8.7.3a, 8.1.8ab, 8.8.3ab, 8.7.3b, 8.10.1a, 9.1.1(I), 9.1.2abc, 9.1.7ac (mod 9.1.3), 9.1.8ab, 9.3.1, 9.3.5ab (\in\pi_1(SO_3)), 9.3.4b, 9.1.1(S^1, mod 9.3.3).
К 9.04, по [S20eng]: 9.3.5ab (\in\pi_1(SO_3)), 9.3.4b, 9.1.1(S^1, mod 9.3.3) и 2ac, 3ab, 4a, 1 (mod 5) из п. 9.2 и 1abc, 3abc, 4, 5 из п. 9.4.
К 16.04, по [S20eng]: 1c, 6ab*, 7a*, 7b (mod 7a), 2 (mod 7b), 8acd из п. 9.4 и 8.7.5ab, 9.3.2abcdef (hint: cdef are analogous to [S20, 3.9.2abc, 3.10.1b]), 9.3.3, 9.3.5c, 9.3.6ab, 9.1.1(S^1).
К 23.04, по [S20eng]: прочитайте пп. 9.5--9.7 (до 9.7.4), решите 9.3.6c, 9.1.3 (mod 9.4.7a, 9.2.1 and 9.5.1) и 1a, 2abc, 3ab, 4ab* из п. 9.7 и 9.4.5b, 9.5.2b, 10.7.1ab (для n=3=k+2), 10.7.2a (S^1xS^2; mod 10.7.3).
К 30.04, по [S20eng]: 9.4.5cd, 9.5.2cd, 10.7.2a (S^1xS^1XS^1, RP^3; mod 10.7.3), 9.5.1 (mod 10.8.1b), 10.8.2, 10.8.1a, 10.8.1b, 9.8.1acde, 9.8.2ab, 9.8.3a.
К 7.05, по [S20eng]: 9.3.4a, 9.8.4ab (mod 14.5.7.b for k=1 from paper version), 9.1.7b, 9.1.8bb'c, 9.1.10a.
К 10.05, 9.00 (примерно 40 минут), по [S20eng]: 9.8.4ab (mod 14.5.7.b for k=1 from paper version), 9.1.8b'c, 9.1.10a.
К 14.05, по [S20eng]: 9.8.4ab (mod 14.5.7.b for k=1 from paper version), 9.1.8b'c, 9.1.10a, 9.8.5abc, 9.1.7b, 9.4.8b, 9.8.6abc, 9.8.7abd, 9.9.3, 9.9.1 (mod 9.9.2), 9.1.4 (mod 9.9.6a).
К дифф. зачету 22.05, 15:30-17:00 (принимает М.В. Блудов): То же, что к 14.05, плюс 9.7.2c*, 9.1.5* (operations of the algebra are smooth; mod 9.9.6a), 9.9.5a (mod 9.9.4). Cледующие задачи засчитываются только тем, кто сделал все предыдущие (включая к 14.05), кроме, быть может, двух: прочитайте п. 12.1-12.4 и решите 1b (mod 2a), 2.1, 3.1, 2.2a (используя существование характеристического набора), 4.1 (эвристика), 2.2b (эвристика), 2.3a, 2.4abc (mod 9.9.4 and 9.9.6a), 1.5b (mod 2.3bc), 1.2a (mod 2.3bc and 2.4c) из \S12.
Эти следующие задачи (+ материал из \S13) будут обсуждаться на заключительной лекции 24.05 в 11.00.

Материал курса 2024 года.
по [S20]: 10.1.2a, 14.4.1d, 14.4.1e* (if $X$ is simply-connected, then forg is bijective), 14.4.2abde, 14.4.3abd*. 14.4.1ab, повторение по бумажной версии [S20]: 9.2.2acde, 8.7.1ab, 8.7.2ab и посмотрите мультфильмы про отображение Хопфа: для взрослых, для детей-1, для детей-2. Дополнительно: 15.6.4.a,b,c(up to the sign),c* по [S20, бум. версии] и По бумажной версии [S20]: 15.6.4e(first bullet point),e(second bullet point). Здесь и далее, кроме 8.8.2c, можно пользоваться без доказательства инъективностью инварианта Хопфа [S20, 8.8.2c] [S20e, 1.5b*] и результатами о степени, аналоги которых Вы доказали для степени по модулю 2.
По [S20]: 8.7.5a' (the preimages of the Hopf map are intersections of $S^3$ with complex lines $a_1z_1+a_2z_2=0$, where $a_1,a_2\in\C$), 8.7.6a (hint: approximate given map $f:S^3\to S^2$ by a simplicial map $g$ that maps no 2-simplex to a point; then the preimage of any $k$-simplex is a $(k+1)$-simplex; take $y_1,y_2$ outside 1-skeleton; take a path joining $y_1,y_2$ outside 0-skeleton), 8.7.7ab (тор не нужен), 15.6.4d* (hint: for a PL map $\psi:S^3\to S^2\vee S^2$ define $H(\psi) := \lk(\psi^{-1}y_1,\psi^{-1}y_2)$, where $y_1\in S^2\vee*, y_2\in*\vee S^2$ are distinct {\it regular} values of $\psi$, and $\psi^{-1}$ is the `oriented' preimage).
По эл. версии [S20]: 8.11.1b*c*d*e*.
По [S]: 2.1.6*, 2.2.2a, 2.2.1ab, 2.2.3, 2.2.2ab. 2.3.1abcd. 7.1.1, 8.1.1a, 8.1.2ab, 8.1.3ab. 8.2.1ab, 8.2.2abcd. 7.2.1 (при помощи теоремы Борсука-Улама 6.5.4), прочитайте п. 7.1-7.3 и 7.3.7b, 7.4.1abc, 7.4.2(r=6), 6.15.1, 6.15.2ab, 6.15.3abcd. И 6.15.4abcd (дальнейшие задачи обсуждаются только с теми и засчитываются только тем, кто сделал все эти 4 задачи). И 7.2.1 (при помощи теоремы Борсука-Улама 6.5.4), прочитайте п. 7.1-7.3 и 7.3.7b, 7.4.1abc, 7.4.2(r=6) (дальнейшие задачи обсуждаются только с теми и засчитываются только тем, кто сделал не менее 5 задач из этих 6). И 1cd, 6, 7abcd, 8ab из п. 8.2 и 8.3.1, 8.3.2(1)-(5). 7.2.2, 8.2.6, 8.2.8a, 8.2.7cd, 8.3.3a, 8.3.4, 7.3.5b (mod 8.3.6, 8.3.7, 8.3.5, 7.5.1), 7.3.2b (mod 7.3.5b), 8.4.1abc, 7.3.2a (для r простого, mod 8.4.2). 7.1.3* (mod Barany CCT [RRS]), 7.3.7b*. 7.3.2b (mod 7.3.5b), 8.4.1ac, 8.4.1c (mod 6.15.4b), 8.4.1d, 8.4.2, 7.3.2a (для r простого, mod 8.4.1c), 9.1.1 (прочитайте), 9.1.2abc, 9.2.1ab, 9.2.2 (прочитайте), 9.4.1a, 9.2.3ab и 1a'bcdefgh, 2ab, 3ac(необходимость), 6ab, 5ab, 3c, 4a, 7abc*de, 4b из п. 9.4.
По [S20e]: 1.9aa'*bb' (определение выше), 1.5c for $l=2$ (hint: any two disjoint finite subsets of $S^2$ are conained in disjoint PL disks in $S^2$), 1.8b и для l=2: 1.7(m=1), 1.7, 1.2, 1.1 (use without proof Lemma 1.4). Здесь и далее, если не получается что-то доказать самостоятельно в [S20e], то восполняйте детали в имеющихся набросках доказательств.
Можно пользоваться без доказательства эквивалентностью ориентируемости следующему. Ориентацией n-мерного векторного пространства V над R можно назвать невырожденную полилинейную кососимметричную форму V^n\to R. Многообразие N называется ориентируемым, если существует семейство ориентаций касательных пространств к N в точках x\in N, `непрерывно зависящих' от точки x\in N. В начале п. 9.4 опечатка: вместо (234) и (124) нужно (243) и (142).
К необязательной консультации 22.05 и дифф. зачету 22.05. Решите нерешенные Вами задачи к 15.05 (заносить в таблицу те из них, которые не повторены ниже, не нужно, но и решать задачи к 22.05, не решив их, неразумно).

Для необязательной самостоятельной работы (этот материал входил в курсы прошлых лет).
8.3.8abcdef, 8.1.7abcd, 8.1.6. по бумажной версии [S20]: 8.7.5a, 8.7.7ab (здесь и далее, кроме 8.7.6a, можно пользоваться без доказательства корректностью определения инварианта Хопфа [S20, 8.7.6abc]).
Задачи из каждого следующего кусочка обсуждаются только с теми и засчитываются только тем, кто сделал все задачи без * из предыдущего кусочка, кроме, быть может, двух.
по эл. версии [S20] (кусочек 0) 10.4.3abcd, 10.4.4abcde (замечание 8.6.3 эл. версии = замечание 8.4.3 бумажной версии), 10.5.1abcd. 9.5.1abcd, 9.5.2abc, 9.5.3b, 9.1.3a*b*.
Кусочек 1 по эл. версии [S20]: 3abc, 4abcd, 5abcde*, 6abcd из п. 10.5 (задача 6.4.1 эл. версии = задача 6.4.1 бумажной версии).
Кусочек 2 по эл. версии [S20]: 7abcd, 9abc*d*e, 8abc, 10abcd, 11abcd, 2b* из п. 10.5.
Кусочек 3 по [S]: 9.4.9a, 9.4.1i, 9.4.7e, 9.4.4b, 9.5.3ba, 9.6.1ba, 9.3.1*, 9.4.2с*, 9.4.8c*d*.
Кусочек 4 по [S]: 8.2.6, 8.2.8a, 8.2.7cd, 8.3.3a, 8.3.4, 8.4.1b, 7.3.5b (mod 8.3.6, 8.3.7, 8.3.5, 7.5.1).
По бумажной версии [S20]: 1, 2abcdeh, 3, 4, 5, 6abcd, 7a из п. 14.1. 14.2.1abcde. 14.3.1 (X - объединение букета окружностей и дисков по отображениям границ дисков в букет; используйте без доказательства 14.3.2), 14.3.2 (U_1\cap U_2 связно; образующие), 14.1.2i* (используйте пояснение и без доказательства 14.3.2).
РДП (или тексты по исследовательским задачам) По [S]: 9.5.4*, 9.5.5* (для замкнутых PL 3-многообразий) 2, 3ab, 4 из п. 9.6 и 9.8.1b(n=2)c(n=2), 9.8.2b(n=3)c(n=3), 9.8.3 (7.1.2 [BM16])*, (6.7.4 или аналог для числа Радона)*, (7.2.1 или 7.2.3 при помощи чисел ван Кампена или Радона)*. По [S20]: 14.1.2f*, 14.5.1ab, 14.5.5ab (подсказка: определение локально-тривиального расслоения в конце п. 13.1), 14.7.1ab, 14.9.1 a(реализация класса) a(реализация гомологичности для n>3) b(реализация класса) c(n>3), 14.9.2a (для PL 3-многообразий и отображений; под $S^1$ понимается $S^1_{PL}$; значение PL отображения называется {\it регулярным}, если оно не совпадает с образом ни одной вершины некоторой триангуляции, для которой отображение симплициально) и 14.9.2a(n=3)d(n=3)*d(реализация класса)*, 14.9.3a(корректность для n=3) b(реализация класса для n=4)*c*. 14.9.4a(корректность для n=4)*b(реализация класса)*с*. Линейность* и суперкоммутативность* произведения Уайтхеда. [KS21, Remark 1.3.C] и по [KS21e]: Corollary 1.2.1a (mod 1.2.3 and 2.3.2), Lemma 2.3.2 for M = R^{2k}*, Corollary 1.2.2 (mod 1.2.3 and 1.2.4a), Corollary 1.3.2ab (mod 1.3.1a, 1.3.4 and 2.1.7), Lemma 2.1.7*, Corollary 1.3.3b (mod Theorem 1.3.4).

Аннотации и программы похожих курсов <<Кратные пересечения в геометрической топологии, топологической комбинаторике и комбинаторной геометрии>>, НМУ, осень 2018, и <<Топологическая гипотеза Тверберга: комбинаторика, алгебра и топология>>, НМУ, осень 2016.
Аннотация, программа и литература курса для НМУ (весна 2022). Были разобраны п. 1-3 и 7 программы, а также материал доклада "Invariants of graph drawings in the plane" на семинаре "Динамические системы" на матфаке ВШЭ.

Гомотопическая топология с алгоритмической точки зрения (весна 2020). Аннотация, программа и литература.
То же, что по курсу <<Введение в топологическую комбинаторику>> по [S]. И по [S20]: 2, 3, 4b, 5c, 6ab из п. 3.1 и 3.10.2, 3.10.3с, 4.3.3b*, 4.4.2ab*, 8.6.2ab*, (3.2.3a с доказательством)*, (4.2.4a для заузленных окружностей)* и 10.1.3, 10.1.7*, 14.3.3ab* и прочитайте п. 10.2 и 10.3.1.ab, 10.3.5 и 13.4.2cd*, 13.4.3ab и 5ab, 6a-g, 7a-e из п. 8.1 и 8.2.4a*b*c*, 1a-h, 2a-g, 3, 5e*f*, 6, 7 из п. 8.2 и 8.3.1a*b, 14.9.1ac, 14.9.2a (для PL многообразий и отображений), 8.7.5a, 8.7.8abc*d*e*. Утверждениями 8.2.4c, 8.2.5ef, 8.3.1a можно пользоваться в других задачах этого и следующего заданий без доказательства. И 8.3.1a*b, 8.7.8f*g*, 8.7.4b*, прочитайте п. 13.1, 13.1.1abc, 13.2.1f, 13.4.1 и 13.4.2b (с заменой векторных расслоений на I-расслоения), 13.2.3a*b*, 13.4.2c, 13.4.3ab. 13.4.4a (первая фраза), 13.3.1a*b*, 13.4.4b*c*, 4.1.6.b*, 4.9.2b*, леммы 6* и 7*; F определен на стр. 8.

От векторных полей к характеристическим классам

Домашние задания (если источник не указан, то задание по [S20eng]; cледите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг! окончательны только задания с жирными датами; задачи со * обсуждаются только с теми и засчитываются только тем, кто сделал все задачи без *, кроме, быть может, двух)
К 7.02: 9.5.1, 9.8.1abcf, 9.8.2abcd*, 9.8.7a.
К 10.02: 9.5.1, 9.8.1b'bfg, 9.8.2abcd*, 9.8.7abc.
К 17.02: 9.8.1deg, 9.8.2bcd*, 9.8.7c, 9.8.3ab*cd, 9.1.7abc.
К 24.02: 9.8.1eg, 9.8.3acde, 9.8.4ab, (препятствие к спинорности равно w_2)*.
К 3.03: 9.8.3de, 9.8.4b, 9.3.5abc, 9.1.6, 9.1.10a (для ориентируемых), 9.8.8a. По бумажной версии [S20]: 11.9.7b для m=n+1 (mod 14.5.7b; по рус. версии), 14.5.7a(локально тривиальное)b (по бум. версии).
К 10.03: 9.3.4ab*, 9.8.4ac, 9.1.8c, 9.1.10a, 14.5.7b, 11.9.7b для m=n+1 (mod 14.5.7b; по рус. версии).
К 17.03. Повторение: пп. 9.4-9.7 до 9.7.5. И 14.5.7b (по бум. версии), 9.8.4a, 11.9.7b (для m=n+1; по рус. версии), 9.1.8c, 9.1.10a, 9.3.6abc, 9.4.7ab, 9.4.2, 9.7.6 (w_1w_2=0), 9.8.8с.
К 24.03: 14.5.7b (по бум. версии), 9.8.4a, 11.9.7b (по рус. версии), 9.1.8cb''b', 9.1.10a, 9.3.6c, 9.4.7ab, 9.4.2, 9.7.6 (w_1w_2=0), 9.8.8cd.
К 31.03: 11.9.7b (по рус. версии), 9.1.8b''b', 9.4.7ab, 9.4.2, 9.7.6 (w_1w_2=0), 9.8.3e', 9.1.8d, 9.1.10b, 9.9.1a (mod 9.9.2ab и 9.9.3).
К 7.04: 9.1.8b', 9.8.3e', 9.1.8d*, 9.1.10b (mod 9.1.8d), 9.8.8e*, 9.4.9d, 9.9.1ab (mod 9.9.2ab и 9.9.3), 9.9.3 (for the assignment of elements of \pi_{n-k}(V_{n,k})), 9.9.2ab*, 9.9.5a (mod 9.9.4), 9.9.6c.
К 14.04: 9.8.3e', 9.9.3 (for the assignment of elements of \pi_{n-k}(V_{n,k})), 9.9.2a, 9.9.5a (mod 9.9.4), 9.9.4 (heuristics), 9.1.4 (mod 9.9.6a), 9.1.5* (mod 9.9.6a). По бумажной версии [S20]: прочитайте п. 12.1 и решите 12.2.1, 12.3.1.
К 21.04: задачи к 14.04 и (следующие задачи засчитываются только тем, кто сделал все предыдущие, кроме, быть может, двух) по бумажной версии [S20]: прочитайте п. 12.2-12.3 и решите 12.2.2a, 12.3.2, 12.6.2, 12.6.3a, 11.8.3 (для p=2, s=1 и связных графов X,Y; используйте формулы для C_i(XxY) для i=0,1,2, или см. [MNS, \S1.7]).
К 25.04: 9.8.3e', 9.9.4 (эвристика), прочитайте п. 12.1-12.3 и решите 12.3.1, 12.2.2a, 12.4.1. Следующие задачи засчитываются только тем, кто сделал все предыдущие, кроме, быть может, одной: 9.8.10a, 12.2.2b (эвристика; набросок в п. 12.4), 12.6.3b (для s=1) (для s=2).
Ко 2.05: 9.9.4 (эвристика), 12.2.2a (используя существование характеристического набора), 12.4.1, 12.2.2b (эвристика; набросок в п. 12.4), 13.2.1ab. Cледующие задачи засчитываются только тем, кто сделал все предыдущие, кроме, быть может, одной: 12.6.3b (для s=2), 13.2.1c, 13.5.1ab (без скобок), 9.8.11ab.
К 12.05: 12.4.1, 12.2.3a, 12.3.b (эвристика; набросок в п. 12.5), 12.2.4abc (mod 9.9.4 and 9.9.6a), 12.1.5b (for immersions), 13.2.1c, 13.2.4a, 13.2.6ab. Cледующие задачи засчитываются только тем, кто сделал все предыдущие, кроме, быть может, одной: 12.1.5c (for immersions), 12.3.2, 12.1.2c, 12.5.1a (эвристика), 9.8.7e, 9.9.1c.
К 16.05: 12.4.1 (m=n+2), 12.4.1 (эвристика), 12.2.4bc (далее используйте это и 12.2.3bc без доказательства), 12.1.1b, 12.1.2ab и 1cd, 3a, 4b, 6abc из п. 13.2.
К дифф. зачету 23.05 (13.35-15.05, на кафедре ДМ) 3a, 4b, 6bc, 7ab, 8abd, 9ab, 10abc из п. 13.2 и 13.3.1a, 13.3.2a, 13.3.3abcd, 13.4.1, 13.4.2, 13.4.3ab. Cледующие задачи засчитываются только тем, кто сделал все предыдущие, кроме, быть может, двух: 12.1.5c (for immersions), 12.3.2, 12.1.2c, 12.5.1a (эвристика), 9.8.7e, 9.9.1c и 3bc, 4c, 6cdef, 8e из п. 13.2 и 13.3.1b, 13.3.2b, 13.4.3cd, 13.4.4ab, 13.5.2abcdef, 9.8.11c* (эвристика).

Повторение: Some material from [S, \S8.1-8.4] including 1abc, 4abcd*, 5, 6abcd, 8ab from \S8.3. 8.10.1a, 8.12.1a, 8.12.2a, 8.1.7a*b* (указание: 3.11.1ab). Из п. 10.4, 10.5.1abcdf, 10.5.2 (аналог 6.5.4ab), 10.5.1ef, 10.5.2 (аналог 6.5.5a), 10.5.2g, 6.7.3b. И 8.4.3c (подсказка), 8.6.3bc, 8.4.3c, 10.7.1abcd, 10.8.1ab.
Для самостоятельного разбора: [S, \S8.5] и 7.1.2ab, 7.1.1ab*, 7.1.7abc, 7.1.7c, 7.2.2, 7.2.5 и 9.8.6a*-f*.

Векторные поля на многообразиях и теория гомологий, НМУ, весна 2021. 3.4.6a, 3.11.1a, 4.1.1a, 4.2.2, 4.3.1a, 4.4.2ab, 8.9.1a* и 2ab, 4abc, 5ac*, 6b, 7a из п. 3.4 и 3.8.1abc и 1abcd, 2a'a''abb'ce, 3a из п. 3.9 и 1ab, 2abc, 3abc*d из п. 3.11 и 3.7.2ab, 4.2.3b, 4.4.2b и 3.7.2cd*, 3.3.1с, 3.4.5b, 3.10.2, 3.10.4(n=1), 3.11.2b, 3.11.3bce, 3.1.6a, 4.3.1bce, 4.3.2a, 4.1.2a и 3.11.3c, 4.3.2a, 4.1.2ab*, 4.4.1a и 1(c-i), 2abc, 3, 4 из п. 4.5 и 4.6.1, 4.6.3(a-g) и 1abcd, 2abc, 3ab из п. 4.8 и 1ab, 2 (напишите номера задач, аналоги которых сделали) из п. 8.1 и 4.6.2 и 3, 6(a-f), 7(a-e), 5ab из п. 8.1 и 8.2.1(a-d), 8.2.2 (начинайте решать предложенные задачи из параграфа 8 со случая n=2 - там, где он осмыслен) и 4.7.1(a-h),i*, 4.7.2 и 3(a-f)2*, 4, 5abc, 8 из п. 8.2 и 8.4.1abcd. и 5abc, 6abcdef, 7 из п. 8.2 и 2, 3abc*(p=3q=3), 4a из п. 8.4 и 8.6.1abcdc'd' (для достаточно мелкой триангуляции) и 8.6.2abcdef, 8.5.1ab, 8.5.2 и 8.3.2abcde, 8.3.1a и 1ab, 2ab, 3a, 4a, 7ab (используя корректность 8.7.6) из п. 8.7 (по электронной версии) и 8.8.1abcde, 8.8.2abcd и посмотрите мультфильм про отображение Хопфа (для взрослых) и мультфильм-1 (для детей) мультфильм-2 (для детей). и 8.7.3bc, 8.7.4b (по электронной версии), 8.8.2abcd и 4.9.1abc, 4.9.2 и 1abcd, 2, 3a (для m>4), 4ab из п. 4.10 и 8.5.3abc, 8.6.4a (для m=5,n=3), 8.6.5a, 8.6.3abc*, 8.7.6a, 8.8.2abcd, 8.8.3ab, 9.8.7abc.
4.4.6abc*, 4.4.7a, 5.12.1abcd* и Remark 2a, 1st paragraph и прочитайте стр. 30-31 и 37.
If $A\subset X$ is a strong deformation retract of $X$, then for any $Z\subset\R^d$ the restriction induces a 1--1 correspondence $[X,Z]\to[A,Z]$.

Векторные поля на многообразиях и теория гомологий, 2019. Аннотации и программы похожих курсов <<Теория гомологий для пользователя>>, НМУ и МФТИ, весна 2018, и <<Топологическая теория векторных полей на многообразиях>>, НМУ, весна 2016.

Топология гиперграфов и многообразий в интересных результатах

Домашние задания (cледите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг! окончательны только задания с жирными датами; если не получается что-то доказать самостоятельно, то восполняйте детали в имеющихся набросках доказательств.)
К 10.02. Повторение. Read the definition of orientation, integer cycle, and integer homology group. [S20, Russian]: 10.5.5-10.5.9; [S20eng]: \S10.6; 11.8.2a (корректность).
К 17.02. [S20, 10.5.9e], [S20eng, 11.8.2abc], (an element $\alpha$ of a finitely generated abelian group is zero if and only if $\alpha$ has finite order, and is divisible by any non-zero integer.)
К 24.02: [S20eng, 11.8.2a'abc]. По [joinpowers_z.pdf, \S5.2]: (tor)<=>(tor').
К 3.03. По [S20eng]: 11.8.1(\beta is a homomorphism)(p=4)(p is any integer). По [joinpowers_z.pdf, \S5.2]: b, a(mod c), d(mod c), b', a'(mod c'), d'(mod c').
К 10.03. По [S20, бум. версии]: 15.4.5, 15.4.6ab*. По [S20eng]: 11.8.2d'd, 11.8.2e (using the fact for prime powers m). По [joinpowers_z.pdf, \S5.2]: b, a(mod c), d(mod c), b', a'(mod c'), d'(mod c'). [S, 9.6.7].
К 17.03: По [S20eng]: 11.8.2d'd, 11.8.2e (using the fact for prime powers m), 11.8.3bcg*. По [joinpowers_z.pdf, \S5.2]: d(mod c), d'(mod c'). [S, 9.6.7]. (w_1(N)=\rho_2\beta[N]).
К 24.03. По [S20eng]: 11.8.3bf (use e). По [S]: прочитайте п. 1.5.4 и решите 1.5.12. По joinpowers_z.pdf, \S5: d'(mod c'), e', 5.1b, 5.6a.
К 31.03: По [S20eng]: 11.8.3b. По [S]: 1.5.12. По [joinpowers_z.pdf], \S5: e', 5.1bc, 5.6ab. (For a graph K define (using construction by skeleta) an obstruction O(K) in H^2_{sym}(\widetilde K;\Z) to the existence of a Z_2-equivariant map \widetilde K\to S^1.) По [Sk18]: 2.5.1. (O(K)=V(K))
К 7.04: O(K)=V(K). По [S20eng]: 11.8.3b. По [joinpowers_z.pdf]: 5.6ab. По [MNS]: 1.3.10a, 2.3.6, 2.3.5a, 2.3.7ab, 2.4.5ab, 2.5.6, 1.5.2a.
К 14.04: По [MNS]: 2.5.7a* (mod 1.5.2b), 2.5.8a. По [joinpowers_z.pdf]: 5.5 (mod b,c,b',c'), 2.3a, 3.1 (mod 2.3b or analogously to [MNS]), 2.3'a, 5.6a'd1. По [S]: read 1.7.4abc.
К 21.04: По [joinpowers_z.pdf]: 2.4, 2.3b, 2.4', 2.3'a, 5.6da''e1.
К 28.04: По [joinpowers.pdf]: 3.3ab, 3.1b, 4.2ab, read definitions after Theorem 4.4, (\omega(\psi) is well-defined), 4.3 (mod 4.4). По [joinpowers_z.pdf]: read definition after Theorem 5.4, (equivalence to the previous definition). По [KS21e] 2.5.3 (for k=1).
К 5.05: По [S20, бум. версии]: 11.8.3 (для p=2, s=2,1 и связных графов X,Y; используйте формулы для C_i(XxY) для i=0,1,2). По [joinpowers_z.pdf]: 4.5, 4.1, 1.5 (mod 4.3). По [KS21e]: 2.5.1(R=>RH), 2.5.6a (so that (RZ=>RHZ), i.e. so that [KS21e, Theorem 1.3.4] would imply [joinpowers_z.pdf, Theorem 5.4]; hint: [PT19], bottom of p. 5).
К 12.05: Find H^2(\R P^2;\Z). По [KS21e]: 2.5.6c2, 2.5.6a (so that (RZ=>RHZ), i.e. so that [KS21e, Theorem 1.3.4] would imply [joinpowers_z.pdf, Theorem 5.4]; hint: [PT19], bottom of p. 5). По [joinpowers_z.pdf]: 5.5ab*(k=1), 5.3a(st + pr* mod 4.2'a, 5.6).
К 19.05: По [joinpowers_z.pdf]: (projection), 5.3a (pr mod 4.2'a, 5.6), 1.7b (new st + pr mod everything), 5.5b*(k=1).
OS: По [joinpowers_z.pdf]: k+1, 4.2.a, 2.1'a, 2.2'a.
К 28.05 (12.20): По [S]: 2.4.1acdef*. По [joinpowers_z.pdf]: 1.7b (new st + st of used lemmas + pr mod lemmas), 5.5b*(k=1).
OS: По [joinpowers_z.pdf]: 4.2.a, 2.1'a, 2.2'a.
К 2.06?: 2.2'a, 2.1'a [KS21e]: 2.5.5abc, 2.5.6d будет еще. v(K) = w_1(\t K\to K^*)^k.
OS: По [joinpowers_z.pdf]: 2.1'b, 2.2'b, 2.3', 2.5', 3.3'ab, 3.1', 4.1', 4.2'a.

(For a general position proper map f:D^k\sqcup D^l\to B^{k+l}, the number fD^k\cdot fD^l equals to \pm\deg_0F, where F:D^k\times D^l\to B^{k+l} is defined by F(x,y)=f(x)-f(y).) (Let f:B^{n+1}\to B^{n+1} be a map such that f(S^n)\subset S^n. Then \pm\deg(f|_{S^n}:S^n\to S^n) equals to the algebraic intersection in S^n\times S^n of the graph of f|_{S^n} and S^n\times*, to the sum \deg_c f of signs of f-preimages of a regular value c of f, and to the algebraic intersection in B^{n+1}\times B^{n+1} of the graph of f and B^{n+1}\times*). [S16] Proposition 3.4.
По bookeng.pdf: 8.2, 8.1 for m=2n+1=3, 8.1 for m=2n+1, 8.1 for m=2n first step.
По `Элементам комбинаторной...' Прасолова: теорема Хопфа 18.9ab.
По parsa_join.pdf: доказательство теорем 1 и 3*, (сообщите замечания по всему тексту)*.
По eliminat.pdf: сообщите замечания по \S1 (до замечания 1.5 включительно) и по \S3 (до теоремы 3.2 включительно); необходимость в теоремах 1.2, 1.3, 1.4; Remark 1.5b; достаточность в теореме 1.2 для d=n_1+n_2, d-2>n_1,n_2, ориентируемых N_1 и N_2 (можно пользоваться без доказательства тем же, чем в bookeng), 1.2a (under the assumptions of Theorem 1.2 for d=n_1+n_2, orientable N_1, N_2, and general position map f, the number fN_1\cdot fN_2 equals to \pm\deg_0F, where F:N_1\times N_2\to B^{n_1+n_2} is defined by F(x,y)=f(x)-f(y)), 1.2b (... and to (fN_1\times fN_2)\cdot\delta_2, for some orientation on \delta_2), 1.2c (... and to the degree of the map \t f:d(N_1\times N_2)\to S^{n_1+n_2-1}, for some orientation on S^{n_1+n_2-1}), 1.2d (if any of these numbers is zero, then the map \t f is null-homotopic), 1.2e* (for a connected n-manifold N a map dN\to S^{n-1} is null-homotopic if and only if it extends to N); теорема 3.1 для d=6, N_1=D^2 и N_2=D^3, теорема 3.1 для d=n_1+n_2+1, n_1,n_2>1, ориентируемых N_1 и N_2 (можно пользоваться без доказательства утверждением 1.2e*).
По bookeng.pdf: прочитайте и сообщите замечания по \S1, \S4, \S5 (до теоремы 5.4 включительно), \S8 (до утверждения 8.4a включительно); 8.3, 8.4a (без незаузленности); (прочитайте \S7 без аппендиксов и сообщите замечания)*Timur, 8.4.bc (можно пользоваться без доказательства тем же, что в bookeng), 8.1 (existence of an almost embedding), 8.8a (obtain the condition only for disjoint \sigma,\tau), 8.10, 8.8b for d=0, 8.7 for d=0 (using 8.9).
По [S20]: 10.8.1a, 10.8.2a, 10.8.1b, 10.8.2b, 10.9.1, 10.9.5ab, 10.9.2(свободные), 10.9.3, 11.2.2a, 11.2.3a(Z_2)(свободные) (по бум. версии; use without proof that any subgroup of $\Z^k$ is isomorphic to $\Z^l$ for some $l\le k$), из 11.6, 11.7 (по эл. версии).
По [CS16]: 3.1*.
По [S]: 4.6.6ab, 4.6.7ab, 4.6.9a, 4.6.10abc*, 4.6.10d (прочитайте), 4.6.9bcd*e*, 4.7.4abcdefg*h*, 4.9.6b*, 6.6.2abc, прочитайте и выскажите замечания по формулировкам: 6.6.3.abcd, 6.6.4abcd, 6.6.5ab; 6.6.6abc, 1.6.3ab, 1.6.5ab.
По alg-alm-emb: L3.
Не разобранные темы, входящие в программу курса: По [S20]: 11.2.3a(свободные), 5.8.1acde. Any subgroup of $\Z^k$ is isomorphic to $\Z^l$ for some $l\le k$ (start with k=2; use primitive elements).
По [S]: 6.6.6bc, 4.7.5a*, 1.6.3b, 1.6.5ei, 1.6.6acd*, 1.6.7abc.
По bookeng: 2.2ab (PL, (b) for n=2, используйте без док-ва [RS, 3.27] и 1.1, подсказка), 4.5bdefcag.
По [DS22]: 2.1, 1.10, 1.8, 1.9.
Только следующие темы будут повторены в новом курсе: [S20, 8.10, 14.4], \S3.
К новому курсу. По alg-alm-emb. [RS72, \S5; 5.6.ii, 5.8, 5.9] For every m construct an immersion a_m : R^m \to R^{2m} which is approximately linear outside the unit ball, and has a single double point (hint)

Домашние задания осени 2022
18-25.07: [KS21], по [KS21e]: 2.5.3, 2.5.4abcde (see definitions before Addendum 2.4.3), [DS22].
К 8-15.08: Th 1.1ab* (=>), Th 1.4* (=>); C121a mod Th 123, L232, R251: E<=>EH, R252b*.
К 22-28.08: 1.5.6, 5.8.5, 8.5.1abcdef, 8.4.2ab, 8.5.3.
К 18.09.2022: по [S20]: 13.1.1abcd*e, 6.8.2, 6.8.3ab и по [RS72]: 5.2.1, 5.2.3, 5.4*.
К 24.09: 8.3.6cd, 8.5.2abcd, 8.3.4a и по [RS72, \S5]: 2.1, 2.3, 4* (без Addendum) и по [S20]: 6.8.3a, 13.1.1c, 10.6.1, 10.6.2ab, 10.6.3ab, 10.6.4ac.
Ко 2.10: по [S20]: 10.6.4acd, 11.2.1abc (G=Z_2), 11.3.1abcd, 11.3.2abcd, 11.3.4ab (далее используйте 11.3.3 без док-ва) и по [S]: 5.14.4c, 7.2.8b*, 7.2.9bad*c* и по [RS72]: 5.4*.
К 9.10: по [S20]: 6.8.4ab, 11.2.1cd (G=Z_2), 11.3.2d, 11.3.3 и по [S]: 7.2.8b*, 7.2.9bad*c* и по [RS72]: 5.4*.
К 16.10: по [S20]: 11.2.1c (G=Z_2) и по [RS72]: 5.4, 5.4.Addendum*, 5.5 ( сильная теорема Уитни о вложении для PL случая; используйте 3.27 без док-ва).
К 23.10: [RS72, 5.4, 5.4.Addendum*Emil], [S, 8.3.4f*Timur], [Sk06, Lemma 4.3].
К 30.10: [RS72, 5.4.Addendum for M=R^m], [Sk06, Lemmas 4.2 and 4.3], [S, 5.9.2a], [S20, 6.8.3b, 6.8.4ab], [Hu69, Lemma 11.1 for W the complement to some (m+n)-balls in D^{m+n}, 11.2, 11.3, for strong g.p.: 11.4]*Emil.
К 6.11: По [AMS+]: Local Disjunction Theorem 1.9 for r=2=k (hint: Remark 3.1.c), for r=2\le k-1, Global Disjunction Theorem 1.11.a для r=2 (это аналог теоремы 5.9.2a для почти-вложимости; hint: use the Local Disjunction Theorem 1.9, and use without proof that the preimage of a regular neighborhood is a regular neighborhood). [S20, 6.8.5abcd, 6.8.6, 9.8.7abc, 9.9.2a для k=2 и j=0, j=1*]; далее используйте 9.9.2a без док-ва. From EmbedsE.pdf: L3 mod L4 for i=n-1, L3 mod L4. [S, 5.9.3, 5.9.2a] [Sk06, Lemma 4.2] (используя [RS72, 5.12.1] без док-ва), [RS72, 5.14, 5.15, 5.12.1 + 5.16 for p,q>2, mod lemmas and 5.6]*TimurSlava, [Hu69, Lemma 11.1 for W the complement to some (m+n)-balls in D^{m+n}, 11.2, 11.3, for strong g.p.: 11.4]*Emil.
К 13.11: По [AMS+]: Local Disjunction Theorem 1.9 for r=2=k (hint: Remark 3.1.c), for r=2\le k-1, Global Disjunction Theorem 1.11.a для r=2 (это аналог теоремы 5.9.2a для почти-вложимости; hint: use the Local Disjunction Theorem 1.9, and use without proof that the preimage of a regular neighborhood is a regular neighborhood). [S20, 6.8.5cd, 6.8.6*, 9.9.2a для k=2, 9.9.2a]. По [S]: 4, 5ab, 3, 2a из п. 5.9 и 4.6.8ab*Emil. [Sk06, Lemma 4.2] (всюду используйте [RS72, 5.12.1] без док-ва), [RS72, 5.10, 5.14, 5.15, 5.12.1 + 5.16 for p,q>2, mod lemmas and 5.6]*TimurSlava, [Hu69, Lemma 11.1 for W the complement to some (m+n)-balls in D^{m+n}, 11.2, 11.3, for strong g.p.: 11.4]*Emil.
К 20.11:По [AMS+]: Local Disjunction Theorem 1.9 for r=2=k (hint: Remark 3.1.c), for r=2\le k-1, Global Disjunction Theorem 1.11.a для r=2 (это аналог теоремы 5.9.2a для почти-вложимости; use without proof the Local Disjunction Theorem 1.9, and `the preimage of a regular neighborhood is a regular neighborhood'). [KS21e, Theorem 1.3.1a], (any almost embedding from a 3-complex to a 1-connected 6-manifold is homotopic to an almost embedding whose restriction to any simplex is an embedding), [Sk06, 8.2, 8.1 for m=2n+1=3], [S20, 9.9.2a для k=2, 9.9.2a], [S, 4.6.8b*],
К 27.11: По [AMS+]: Local Disjunction Theorem 1.9 for r=2=k (hint: Remark 3.1.c), for r=2\le k-1; [KS21e, Theorem 1.3.1a], (any almost embedding from a 3-complex to a 1-connected 6-manifold is homotopic to an almost embedding whose restriction to any simplex is an embedding); [S, 4.4.7a]; [Sk06, 8.2, 8.1 for m=2n+1=3, 8.1 for m=2n+1], Theorem 2.1.b mod Lemmas 3.1 and 3.2, Lemma 3.2 mod Lemma 3.3 for i=n-1, for i\le n-1, [RS72, 5.12.1 for p,q>2 mod lemmas]*Timur,
К 4.12: По [AMS+]: Local Disjunction Theorem 1.9 for r=2=k (hint: Remark 3.1.c), for r=2\le k-1; [S, 4.4.7a]; [Sk06, 8.2, 8.1 for m=2n+1=3, 8.1 for m=2n+1, 8.1 for m=2n first step],
К 11-18.12 и к повторению в январе 2023: [S, 4.4.7a], [Sk06, 8.2, 8.1 for m=2n+1=3, 8.1 for m=2n+1, 8.1 for m=2n first step, 8.3], [S20, 14.6.4 a (только корректность) b (только эпиморфность; подсказка: Фоменко-Фукс, п. 10.1)], Theorem 2.2.b*Timur, 5*Emil.
[Hu69] J. F. P. Hudson, Piecewise-Linear Topology, Benjamin, New York, Amsterdam, 1969.
[HH63] A. Haefliger and M. W. Hirsch, On existence and classification of differential embeddings, Topology 2 (1963), 129--135.
[RS72] C. P. Rourke and B. J. Sanderson, Introduction to Piecewise-Linear Topology, Springer, 1972. (К. П. Рурк и Б. Дж. Сандерсон, Введение в кусочно-линейную топологию, Москва. Мир. 1974.)
[RS99] D. Repovs and A. B. Skopenkov. New results on embeddings of polyhedra and manifolds into Euclidean spaces, Russ. Math. Surv. 54:6 (1999), 1149--1196.
[Sk16c] Embeddings in Euclidean space: an introduction to their classification.

Примеры красивых теорем, которые изучались ранее: [S20, пункты 9.1, 11.1, 12.1, 16.1]. John Milnor: Spheres. По [S20]: 5ab, 6, 7ab, 9abcdef из п. 14.5 и 4a, 5b*, 6, 7abce, 8c из п. 15.1 и 1, 2 (эвристика), 3a (разберите доказательство), 5ab, 4 из п. 15.2 и 1ab, 2a, 3, 4, 5 из п. 15.3 и 1ab, 3ab, 5, 7ab, 4, 2 (разберите доказательства) и 2d, 3ab из п. 9.4 и 9.5.1 (подсказки: п. 9.6, 9.7) и 1abcdfg, 2abcd, 3abcdfg, 6a, 7abc, 8abcd* из п. 9.8 и 2ab, 3, 4, 1, 5ab*, 6a из п. 9.9 и 2.1, 3.1, 2.2a, 4.1, 2.2b, 2.3ab (без вложений), 2.2c, 5.1a из \S12.
Unknotting Theorem 2.4 Докажите (для PL случая) the Penrose-Whitehead-Zeeman Theorem 6.1; сформулируйте свойства регулярных окрестностей, используемые в доказательстве [RS99, \S8]; from now on use without proof [RS99, Engulfing Lemma 8.1]. [HH63, Theorem 3.1.a]. From now on: use the Smale-Hirsch theorem 15.3.6 without proof. Theorem 6.5 (подсказка: Lemma 2.2.W_0'). По атласу. [RS72, 7.12, 7.13, 7.14]

НМУ, весна 2013: аннотация и программа (в окончательную программу вошли пункты 1,2,4,5,6), видеозаписи лекций.
НМУ, осень 2013: аннотация и программа, видеозаписи лекций.
НМУ, осень 2015: аннотация и программа.

Препятствия и алгоритмы в алгебраической топологии

Домашние задания (Если источник не указан, то задание по электронной версии книги [S20]. Бумажная версия книги [S20] доступна в библиотеке МФТИ - просите 2-е издание 2020 года - но нумерация в ней может отличаться. Окончательны только задания с жирными датами. Перед решением каждого задания обновите pdf-файл книги. См. выше: задачи со звездочкой принимаются только у того, кто сделал все задачи без звездочки на данный день, кроме, быть может, двух. Готовьте к рассказу не засчитанные Вам задачи из предыдущих заданий, используемые в Ваших решениях текущего.)
К 6.09: 10.4.3abcd, 10.4.4abcde (замечание 8.6.3 эл. версии = замечание 8.4.3 бумажной версии) и 1abcd, 2b*, 3abc, 4abcd, 5abc из п. 10.5.
К 13.09: 10.5.5de*, 10.5.6abcd и по [S20eng, \S10.6]: 1ab, 2ab, 3a, 4abc, 5abcd, 6ab, 7* (используйте без доказательства 10.6.3b).
К 20.09: 7abcd, 9abc*d*e, 8abc из п. 10.5 и по [S20eng]: 8.6.5c и 6b, 9a, 11abcd из п. 10.6 и 1aT, 1aN, 1bc, 2ab (без HP^2), 4, 5a из п. 10.7.
К 27.09: 9ae, 10abcd, 11abcd из п. 10.5. Далее по [S20eng]: 8.6.5c, 10.6.6b, 10.6.13(1,3a,4a), 10.6.13*(4bc,5bd,7) и 1aN, 2a (без HP^2), 5b из п. 10.7. Саше: сначала подготовьте к сдаче 1aT, 1b, 2b, 4, 5a из п. 10.7.
К 4.10: 10.5.9e (не используя классификации), 10.5.11c. По [S20eng]: 8.6.5c, 10.6.13(5bd,7,11abcd), 10.7.1aN* (далее используйте без доказательства), 10.7.7a (используйте без доказательства 10.7.8 и 8.6.5d), 10.8.2.
К 11.10. По [S20eng]: 8.6.5c, 10.7.7a*b (используйте без доказательства 10.7.8 и 8.6.5d), 10.8.1a, 9.1.3 (mod 9.2.1, 9.4.6ab, 9.5.1), 6.7.8ab*, 10.6.9b*.
К 18.10. По [S20eng]: 8.6.5c, 10.7.3 (mod всего), 10.8.1b, 10.6.10*. Для тех, кто сдал большинство задач про умножение, по [S]: 1.6.3abcdef, 1.6.4abc*d*.
К 25.10: 10.5.4a, 10.5.9bde. По [S20eng]: 10.7.3 (mod всего). Только для тех, кто уже сдал большинство задач без * про умножение из всех заданий, по [S]: 1.6.5, 1.6.2(iii=>ii), 1.6.2(ii=>iii) и 3ab, 4ab, 5, 6ab из п. 9.2.
К 1.11: По [S20]: 10.6.13 (10.6.11a), 10.7.3 (mod всего), 10.9.1, 10.9.3 (только равносильность невырожденности тому, что в выключной формуле). Только для тех, кто уже сдал большинство задач без * про умножение из всех заданий, по [S]: 1.6.2(ii<=>iiS<=>iii<=>iiiS), 9.2.7ab, 9.2.8ab, 9.2.9ab.
К 8.11: По [S20]: 10.6.13 (10.6.11a), 10.9.3. По [S]: 4.7.1a и 5.3.9 (без доказательства тройной зацепленности), 4.8.2, прочитайте 4.2.8bс, 4.8.1abcde, 4.8.3abc. Только для тех, кто уже сдал большинство задач без * и без `только' из всех заданий, по [S]: 1.6.2(ii<=>iiS<=>iii<=>iiiS), 9.2.8ab, 9.2.9ab, 1.5.3c.
К 15.11. По [S]. 4.8.4 и 1abc, 2, 3 (i<=>ii<=>iii), 4, 5ab из п. 4.9. Только для тех, кто уже сдал большинство задач без * и без `только' из всех заданий: 9.6.7abcd.
К 22.11. По [S]: 4.9.6, 4.10.1ab, 4.10.2 (только для изотопности), 4.7.1a (доказательство тройной зацепленности); только для тех, кто уже сдал большинство задач без * и без `только' из всех заданий 9.6.7bd. По [S20, бум. версии]: 11.2.1ab, 11.3.2abc.
К 29.11. По [S]: 4.10.2 (только для изотопности). По [S20, бум. версии]: 11.3.2abde*, 11.3.3, 11.3.4ab. По [S20]: 9.1.8, 9.2.2abс, 9.2.3ab (используйте без доказательства теорему классификации).
К 6.12. По [S20]: 2abс, 4ac*, 1 (mod 5) из п. 9.2 и 9.7.6. По [S20, бум. версии]: 7.1.5ab, 7.1.6a, 7.1.7ab, 7.2.1ab, 7.2.3ab, 7.2.5 (подсказка: п. 7.3), 7.2.6a.
К 13.12. По [S20]: 9.2.1 (mod 9.2.5), 9.7.6. По [S20, бум. версии]: 7.1.6a, 7.1.7abc, 7.2.2, 7.2.3ab, 7.3.1abc, 7.3.2ab, 7.2.5, 7.2.6ab, (единственность ориентируемого двулистного накрытия над данным 2-многообразием), 9.8.1abcd*e*fg*. Только для тех, кто уже сдал большинство задач без * и без `только' из всех заданий, по [S20, бум. версии]: 7.1.1ab, 7.1.2b, 7.1.3, 7.1.6b, 11.3.2fg (используйте без доказательства, что гомотопные отображения индуцируют одинаковые гомоморфизмы).
К дифф. зачету 20.12 (по лекции 13.12). То же.
Изученное в прошлые годы.
По [S20eng] 10.7.5c*d*e*, 10.7.6*, 10.7.1c*. По [S20, бум. версии]: 11.2.1c, 15.4.5*6,
1, 3, 5, 6, 2 из п. 5.10 и 9abc, 10, 11 из п. 1.5. 5.2.1, 5.2.2, 5.2.3(1<=>3), 5.2.4a, 5.2.7abc*. 5.3.1abc, 5.3.2 (2ab, 4ab), 5.3.3, 5.3.4abc, 5.3.5, 5.3.6a, 5.3.6b (4.3.4bc), 5.3.7, 5.3.9* (доказательство тройной зацепленности). 5.4.1ab, 5.4.2. (\S6) 5.11.1abc, 5.13.2a*b*, 5.13.3ad, 5.14.1a*bde. 5.13.3b, 5.13.4ab и 1afg, 3ab, 2(=>), 4 из п. 5.14 5.11.4, 5.11.5ab, 5.13.4c, 5.12.7ab* (without `deformation'). 4bc, 5ab, 6 из п. 5.13 и 5.11.3, 5.11.2b, 5.12.7ab, 5.12.8ab* (without `deformation'), 5.14.1g, 5.14.2(=>), 5.7.4 (d=2k=4; mod 5.14.2), 5.8.2c (d=2k=4; mod the analogue of 5.14.2), [S20, 11.7.6b]. 4bc, 5b, 6 из п. 5.13 и 5.11.2b, 5.12.7a*b*, 5.12.8ab*, 1.5.12, 5.11.5c, 5.13.5c, 5.13.4bc, 5.13.6, 5.11.2b и 5.8.2d (d=2k=4; подсказка в \S7). 1abcdef, 2abcd*, 3ab*c*d*e*, 4ab*c* из п. 5.15.
По атласу: 2.1ab, 5.1bc, 5.1e (well-defined, for l=1, mod2).
По arXiv:math/0604045: Example 5.7.a for l=1, Example 5.7.d* for m=n+2=3. И по статье.
5.4.4, 5.7.1a, 5.13.4bc (hint: Remark 1.5.5.c), 5.13.6, 5.11.2b, 4.9.6e, 4.7.4h*, Remark 1.5.5.c, Lemma 2, Theorem 1.9 for k=r=2 (hint: Remark 3.1.c), И теоремы Уитни о вложимости n-многообразий.

Дополнительные главы по препятствиям и алгоритмам в алгебраической топологии.  Курс проходит по четвергам, 12.30-13.15 и 13.45-14.30, для тех, кто успешно решает обычные главы (или уже сдал их).

Домашние задания (Окончательны только задания с жирными датами. Перед решением каждого задания обновите pdf-файл книги.)
К 5.09: задачи 8.6.5ab из эл. версии [S20].     
К 12.09: По эл. версии [S20]: 8.6.5ab. По invasurf.pdf: 1.1.4a, 1.1.3 (невложимость), comment in \S2.5. По [ABM+]: 5.2, 5.9abc.
К 19.09: По эл. версии [S20]: 8.6.5a. [S, 6.7.3] для k=2. По invasurf.pdf: 1.1.4b, 1.1.3 (невложимость), 1.1.3, (For any maximal $k$-forest $T\subset K$ defined before 2.4.1 and $k$-face $\sigma\subset K-T$ there is a unique non-empty $k$-cycle $\widehat\sigma$ in $T\cup\sigma$...). По [ABM+]: 6.5, 7.2abc, 5.4a.
К 26.09: (\Delta_6^2 is Z_2-embeddable to CP^2), (\Delta_6^2 is Z-embeddable to CP^2), use without proof that CP^2 is a closed 4-manifold whose (integer, or mod2) intersection form has matrix (1) in some basis; non-existence of integer van Kampen number [Garaev, Remark 6abc]; по invasurf.pdf: (comment on the connectedness assumption after Theorem 1.1.6).
К 3.10: (\Delta_6^2 is Z_2-embeddable to CP^2), (\Delta_6^2 is Z-embeddable to CP^2), (\Delta_7^2 is Z_2-embeddable to the connected sum of 30 CP^2)*, use without proof [S, 6.7.1] and that CP^2 is a closed 4-manifold whose (integer, or mod2) intersection form has matrix (1) in some basis. По invasurf.pdf: (comment on the connectedness assumption after Theorem 1.1.6), 1.1.4c, 2.4.2ab (mod 2.2.1b), 1.1.5b (mod 2.4.1 and 1.1.6), (For any $k$-face $\sigma\subset K-T$ there is a unique, up to multiplication by $-1$, non-zero primitive integer $k$-cycle $\widehat\sigma$ in $T\cup\sigma$.)
К 10.10: По invasurf.pdf: (comment on the connectedness assumption after Theorem 1.1.6), 1.1.4c, 1.1.5b (mod 2.4.1 and 1.1.6), 2.4.2c (k=2), 1.1.5c (mod 2.4.2c, 2.4.1Z and 1.3.1).
К 17.10: По invasurf.pdf: 2.4.1c, (footnote 11 for k>2, mod 2.2.1b)*, подготовьте решение про \widehat\sigma к 3.10. Example from Remark 1.3.g of [DS22]. [Bing, Theorems I.1.ABCD]. [AP24]: Example 3 (find a mistake), Lemma 6 (mod A := '$\st_\sigma\Delta'$ intersects $\Gamma$ exactly by $\sigma_1\cap\Gamma$'; either give a proof or find another gap).
К 24.10: Emil - equivalent definitions of PL embeddability into R^d. По invasurf.pdf: 2.4.1c. (There are a connected 2-complex $K$ and its 2-face $\sigma$ such that $K-\sigma$ is an integer maximal tree, and the coefficient of $\sigma$ in any integer 2-cycle in $K$ is divisible by 2.) [Bing, Theorem I.2.A]. In [AP24], in the notation from the proof Lemma 6: A* ($\Gamma\cap\sigma_1 = \Gamma\cap\st_\sigma\Delta'$), B ($\Gamma\cap\alpha$ is a face of $\Delta$ for any face $\alpha$ of $\Delta$), C (disprove: $\Gamma\cap\sigma_1=\widehat\sigma$).
К 31.10: По invasurf.pdf: 1.1.4c (mod 1.3.1, 2.4.1c, and integer analogue of 2.3.1). [AP24]: A*, Lemma 8 mod Lemma 6. (Given three pairwise tangent-transversal submanifolds [S20eng, 8.6.5c], the sum of their normal spaces at any point of their triple intersection is the normal space to the triple intersection.) Timur: [S20, 8.6.5d], Emil: equivalent definitions of PL embeddability into R^d.
К 7.11: (Equivalent definitions of PL embeddability into R^d, plan from Emil). По [S]: 6.14.7ab (mod аппроксимации самотранстверсальными погружениями). Timur: [S20, 8.6.5d], Emil: on diploma work,
К 21.11: [S20, 8.6.5d], [S20, 8.6.5b'] = (if u\sqcup v:S^2\sqcup S^2 is a self-transverse immersion, then u^{-1}(v(S^2)) is a 1-cycle in S^2), [S, 6.14.7bc] (mod аппроксимации самотрансверсальными погружениями), (Take the cone in 3-space over the 8-figure in the plane. The obtained map D^2 \to \R^3 is approximable by immersions.) Igor: [AP24], A.
К 28.11: [S20, 8.6.5d]. (Take the cone in 3-space over the 8-figure in the plane. The obtained map D^2 \to \R^3 is approximable by immersions.) (Every smooth map S^2\to\R^4 is approximable by immersions; use Sarde theorem; [Pr04, \S17.3].) По [Al22]: Remark 4ab. [S, 6.14.7c], [AMS+, Lemma 2.4 for l=2 and n=3] (mod аппроксимации самотрансверсальными погружениями). По [AP24]: the `obvious' fact from Lemma 7 (prove or disprove)*.
К 5.12: (Take the cone in 3-space over the 8-figure in the plane. The obtained map D^2 \to \R^3 is approximable by immersions.) (Every smooth map S^2\to\R^4 is approximable by self-transverse immersions; use Sarde theorem; [Pr06, теорема 22.1]) (Every smooth immersion S^2\to\R^3 is approximable by self-transverse immersions)*. [S, 6.14.7c], по [AMS+]: Lemma 2.4 for l=2 and n=3 (Emil: Lemma 2.4 for n>l>0) (все mod аппроксимации самотрансверсальными погружениями). [AP24]: Lemma 7 (mod the `obvious' fact). Timur: (Every smooth map S^2\to\R^3 is approximable by smooth maps whose differentials are non-degenerate outside a finite set; use Sarde theorem for tangent or jet spaces)*. Emil: [S, 6.14.7d*].

Studied earlier, and / or future plans
[BF09], Proposition 1.3. [FH10], Proposition 2, Corollary 3. [AP24], Theorem 2.
Применение аппроксимации погружениями --- принципа плотности Смейла-Громова. [Wa16, Theorem 4.2.3] = [Pr04, \S17.3]
Расслоения над сферами со слоем сфера, последовательности Гизина и Серра. Спектральная последовательность расслоения; когомологии с коэффициентами в кольцах. Главные расслоения, структурная группа, universal bundle, пространства BG, EG.
[KS21e: 2.5.1] [SS23]: 1.2 (only if), 3.1ab, 2.2ab.
Classify smooth embeddings into R^5 of S^2\times D^1, (of punctured S^2\times S^1)*, (of the boundary connected sum of two copies of S^2\times D^1)*; use without proof that any two embeddings into R^5 of S^2 are isotopic. Examples 3.4ab, 3.1abc, 3.2*, 3.3* (use without proof Unknotting Spheres Theorem 2.3 and isotopy of embeddings S^k\times[0,1] coinciding on S^k\times0 and having homotopic normal vector fields to S^k\times0)).

Аннотация и программа близкого курса `Алгоритмы распознавания реализуемости гиперграфов-2', 2021. Литература: [S, параграфы 4, 5, 6], [S16].

О параллельных курсах по одной теме

По нашему мнению, курсы (топологии) должны быть устроены так, что
(a) полученные студентами знания и умения были адекватны программе курса и оценке студента за курс; это достигается за счет
* приема экзамена по курсу в основном теми, кто не ведет этот курс;
* публикации (на страничке курса в интернете) в начале семестра программы, правил сдачи экзамена, информации об общих критериях математической культуры на занятиях и на экзамене, а также списка необходимых знаний и умений из предыдущих курсов (как это делается на ДА; чтобы студенты строили работу в семестре, отталкиваясь от этих правил, и выбирали курсы - если выбор возможен - отталкиваясь от объявленного уровня курса, а студенты, не изучавшие эти предыдущие курсы, предупреждались о трудностях).
(b) занятия вели авторы признанных в стране и в мире (научных и методических) работ по данному направлению;
(c) студенты получали еженедельные задания (в основном по материалу лекции), успешное решение которых несложно (для тех, кто разобрался с лекцией и прошлыми заданиями) и дает возможность получить успешную оценку за курс даже без серьезной траты времени на подготовку к экзамену;
(d) каждый студент мог хотя бы раз в 2 недели рассказать (лично преподавателю или у доски) хотя бы одну задачу (тем самым и потренироваться к экзамену и завоевать очки, влияющие на экзамен).
(e) сильные и мотивированные студенты могли серьезно изучить объемный материал, содержащий глубокие идеи; слабые или немотивированные студенты могли без перегрузки получить хорошую или удовлетворительную оценку, за которой стоят адекватные знания (это достигается, например, за счет выделения разных уровней обучения в рамках одного курса)
(f) могли приниматься непопулярные решения, но через смягчение и мотивирующий разговор со студентами (например, решение о дополнительных занятиях из (3) выше можно смягчить включением небольшой части предварительного материала в занятия по данному курсу, необязательностью дополнительных занятий для сдавших соответствующие курсы на `отлично', и объяснением тех разочарований, к которым может привести попытка изучать более продвинутый материал без базового).
Здесь экзаменом называется экзамен или дифф. зачет.
М. Блудов, А. Рухович, А. Скопенков.

Вот еще мнения о том, как должны быть устроены курсы (топологии). Я сознательно привожу разные (в т.ч. противоположные) мнения, чтобы стимулировать профессиональное обсуждение разных мнений. Нужно, чтобы
(b') вместе с авторами, упомянутыми в (b), занятия вели молодые талантливые преподаватели, в результате чего (вместе с их научным ростом) они постепенно вырастали бы, вплоть до уровня лектора МФТИ;
(g) более продвинутые темы изучались бы только после более базовых (например, как на ОКТЧ + ДА линейно-алгебраический метод изучается только после применений правила суммы и произведения в комбинаторике).
(g') более продвинутые темы не обязательно изучались бы после более базовых;
(h) немотивированные студенты могли стать более мотивированными за счет того, что материал прокладывает путь от ярких интересных студентам результатов к нужным для результатов методам и теориям;
(h') немотивированные студенты могли стать более мотивированными за счет того, что материал прокладывает путь от нужных студентам методов и теорий к интересным и ярким результатам.
Преподаватели, выдвинувшие в частной переписке принцимы (g',h'), не дали разрешения опубликовать здесь их имена. Я укажу здесь эти имена, когда получу разрешение.
Принципы (a,b,b',c,d,e,f,g,h) реализованы на курсах (1), (2), (3a), (3b) выше (b'- всегда на дифф. зачетах и экзаменах и, при наличии достаточного количества студентов, на занятиях). М. Блудов не ответил на вопрос о том, какие из вышеприведенных принципов реализованы на курсе Дифференциальная геометрия и топология. Я укажу здесь ответ, когда получу его.

Курс гомотопической топологии в 4 семестре ФПМИ, проводимый Д.М. Скуридиным, параллелен курсам (2,4) из списка в начале этой страницы. Программа курса не представлена лектором на обозрение студентов перед началом семестра; я предложил лектору представить программу и поставлю здесь на нее ссылку, когда это будет сделано. Необходимые соответствия и допустимые несоответствия в наших разных курсах по одной теме не обсуждались до начала семестра; я предложил лектору их обсудить и укажу здесь результаты, когда это будет сделано.

Алгебраическая топология многообразий в интересных результатах

Домашние задания (Если источник не указан, то задание по электронной версии книги [S20]; если задачи нет в электронной версии, то по бумажной 2020 года версии. Следите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг! Окончательны только задания с жирными датами. В заданиях используйте без доказательства следующий факт и его обобщения на многообразия с краем и Z-коэффициенты: if N is a closed smooth n-manifold, P and Q are its closed smooth p- and q- submanifolds, intersecting transversely, then [P]\cap[Q] = [P\cap Q] \in H_{p+q-n}(N;Z_2)). )
К 8.09: 11.9.2abc*de, 11.9.3abcd*, 11.4.1ab, 11.4.2ab.
К 15.09: прочитайте п. 10.2; 10.3.1a, 10.3.3abc (mod 10.1.7), из п. 10.4, 10.7.0 (пересечение k-симплекса \sigma и клетки \tau^*, двойственной к k-симплексу \tau, равно \delta_{\sigma\tau}), 10.7.1abcd, 11.9.2bc*de, 11.9.3bcde*.
К 22.09: из п. 10.4, 10.7.1bcd, 10.7.2ab, 10.8.1ab, 10.8.2ab, 11.4.1ab, 11.4.2a, 11.9.3e* (mod 11.2.3) и 1, 3 (подсказка), 2(своб.части)(кручения)* 6(унимод)* из п. 10.9.
К 29.09: из п. 10.4, 6.2.3d, 10.7.2a' (формула Лейбница; подсказка: для граней a\supset b триангуляции опишите грани барицентрического подразбиения, из которых сосотоит a\cap b*), 10.7.2ab, 10.7.3a, 11.2.2a, 11.9.4, 11.9.5a и 3 (подсказка), 2(своб.части)(кручения)*, 5ab*, 6(унимод)* из п. 10.9.
К 6.10: 10.7.2b, 10.9.5a, 11.2.2a (ни a, ни b не содержат граней на границе), 11.2.3a(mod2)b(mod2), 11.9.5bcde (mod 11.2.3), 11.9.7, 11.9.8ab*.
К 13.10: 6ab*cc'd*e, 1a (негомеоморфность S^3), 8c, 1b, 1a* из п. 11.9 (mod 11.2.3, 11.4.2c, 11.4.6ab, 11.9.6bd, 14.5.7b и 14.7.4c) и 11.4.4b.
К 20.10: 2c*d, 3ab, 4acd, 5 из п. 11.4 (hint to 4d: use im\partial \cap \im\partial = 0, im i \cap_\partial \ker\partial = 0, and non-degeneracy of the intersection forms \cap and \cap_\partial) и 11.3.5, 11.9.9* (mod того же, что к 13.10, и \pi_j(SO_7)=0 для j=4,5,6), 16.3.2 (необходимость), 9.7.7 (первое равенство, mod 16.2.1a), 16.5.2a (mod 16.4.1a), 16.5.3a (mod 16.5.2b и 16.4.1c).
К 27.10: 2d, 3b, 4cd, 5 из п. 11.4 и 8.3.2abcde (по бумажной версии), 8.8.1de, 8.8.2abcd, 14.6.2, 14.6.3abc (для n=2); подсказка: [DNF, ч.2, 23.1, 23.3Б] или Прасолов2004, 18.3, 18.5.
К 3.11: 14.6.3bc*, 14.6.1-1 (mod 14.6.3c; подсказка: [DNF, ч.2, \S23.3]) и по [S22]: 2abcde, 3* (подсказка: Claim in p. 14) и по [Ka]: 7.5, стр. 195, 7.8 (mod 7.7), стр. 200, invariance of signature (mod 7.7).
К 10.11: 14.6.3c*, 14.6.4a и по [Ka]: стр. 206, (right trefoil \ne left trefoil), (square \ ne granny), прочитайте стр. 252 и определения 10.1 и 10.2, (|q^{-1}(0)|\ne|q^{-1}(1)|)*, стр. 259(v)* и по [DNF, ч.2, \S23.4] (для !гомологической! функции Арфа \Phi, см. текст): 0a (постройте оснащенный тор, для которого \arf\Phi=1), 1a (функция Арфа - не гомоморфизм; указание: рассмотрите тор со стандартным оснащением), 1b (=1 для M\subset S^3 со стандартным оснащением), 1с* (=1).
К 17.11: 14.6.4b (сюръективность) (инъективность); подсказка: [DNF, ч.2, \S23.2] и по [DNF, ч.2, \S23.4] (для !гомологической! функции Арфа): 0b* (вычислите инвариант Понтрягина для композиции S^6\to S^5\to S^4 гомотопически нетривиальных отображений), 1b (=1 для M\subset S^3 со стандартным оснащением), 1с (=1), 2a (independence of a symplectic basis), 3a (если g(M)\ge2, то существует \alpha\ne0, для которого \Phi(\alpha)=0), 3b (=3), 3c (если \alpha\ne0 и \Phi(\alpha)=0, то можно уменьшить число ручек оснащенной перестройкой), 3d (the surgery preserves \arf\Phi).
К 24.11: по [Ha62A] 3.3 for n=2, d=4, r=1 (read 3.2; spherical modification = surgery) и по [DNF, ч.2, \S23.4] 0b* (вычислите инвариант Понтрягина для композиции S^6\to S^5\to S^4 гомотопически нетривиальных отображений), 1, 2a (independence of a symplectic basis), 2b* ($\arf\Phi=0$ if and only if there is a symplectic basis $a_1,...,a_g,b_1,...,b_g$ such that $\Phi(a_1)=...=\Phi(a_g)=0$)*, 3, 3c (если \alpha\ne0 и \Phi(\alpha)=0, то можно уменьшить число ручек оснащенной перестройкой), 3d (the surgery preserves \arf\Phi) и 14.6.1-2 (mod корректности инварианта Понтрягина).
К 1.12: по [Ha62A]: 3.3 (read 3.2; spherical modification = surgery; далее можно использовать без доказательства) и по [DNF, ч.2, \S23.4]: 0b* (гомотопна ли нулю композиция S^6\to S^5\to S^4 гомотопически нетривиальных отображений), 1*, 3, 3c (если \alpha\ne0 и \Phi(\alpha)=0, то можно уменьшить число ручек оснащенной перестройкой) и 14.6.1-2 (mod корректности инварианта Понтрягина) и (any stably trivial 3-dimensional vector bundle over S^2 is trivial), (any two smooth embeddings $S^4\to S^8$ are isotopic; modulo results used in the lecture without proofs).
К 8.12: [Ha62A, 3.3], (any stably trivial 3-dimensional vector bundle over S^2 is trivial), (any two smooth embeddings $S^4\to S^8$ are isotopic; modulo results used in the lecture without proofs), read [Sk16s, \S\S1-3], prove that the Haefliger invariant E^{6k}_D(S^{4k-1}) \to \Z, the signature \pi_{6k+1}(S^{2k+1}) \to \Z, and the Haefliger invariant \pi_{6k+1}(S^{2k+1}) \to \Z are homomorphisms (assuming that they are well-defined), calculate the Haefliger invariant for Example 2.1a (hint: [Ha62A, \S4]).
К 15.12: 1 (the intersection form of V is even), 2a (calculate the Haefliger invariant \varkappa(f) for Example 2.1a), 2b* (calculate the Haefliger invariant \varkappa(f) for Example 2.1b using any formula), 3 (the Haefliger invariant \pi_{6k+1}(S^{2k+1}) \to \Z is well-defined and is zero), 4 (the Haefliger invariant \varkappa(f) is independent of framed V for fixed framed f), 5 (the Haefliger invariant \varkappa(f) is independent of framed cobordism of framed f). Hint: [Ha62A, \S4, 2.8, 2.7].
К экзамену: (the Haefliger invariant \varkappa(f) is injective; hint: [Ha62A, 3.5]; use Theorem 6.3.b), (the Haefliger invariant \varkappa(f) is independent of framing of f; hint: [Ha62A, 2.3, 2.4, 2.9]), Example 3.1.

Классификация зацеплений

Алгебраическая топология с геометрической точки зрения

Мотивированное и доступное изложение основ топологии

См. также:
Санкт-Петербургская заочная олимпиада по топологии.
А.А. Ошемков, А.Б. Скопенков, Студенческие олимпиады по геометрии и топологии, Матем. просв. 11 (2007) 131-140.

Другие ранее исполненные курсы

Последнее обновление/Last modification 16.08.2025.
Contacts: s*open*o@mccme.ru, *:=k. Пожалуйста, направляйте пожелания и замечания Аркадию Борисовичу Скопенкову, s*open*o@mccme.ru, где *=k.