Ссылки и комментарии к докладу <<Алгебраические задачи, связанные с геометрической 
непостроимостью>>, https://mccme.ru/nir/seminar/ 

(1) Вот ссылки к (пока гипотетической) элементарной формулировке критерия Галуа.  

Сама формулировка: конец п.9.2 в 
Элементы математики в задачах: через олимпиады и кружки - к профессии (электронная версия). 
Под редакцией А. Заславского, А. Скопенкова и М. Скопенкова. Изд-во МЦНМО, 2018. 
https://old.mccme.ru//circles//oim/materials/sturm.pdf

Простое доказательство теоремы Руффини-Абеля, подводящее к этому критерию 
(и, видимо, принадлежащее Абелю):  
пп. 8.4.C,F в [Sk21m], подробнее [Sk15].  
Изложение идеи на примере единственности способа решения квадратного уравнения: п. 8.3.E в [Sk21m]. 

[Sk21m] A. Skopenkov, Mathematics via Problems. Part I. Algebra. 2021, AMS, Providence.
https://www.mccme.ru/circles/oim/algebra_eng.pdf

[Sk15] A. Skopenkov, A short elementary proof of the Ruffini-Abel Theorem, arXiv:1508.03317

(2) В докладе были упомянуты статьи А. Шеня (https://arxiv.org/pdf/1801.04742) 
и А. Акопяна - Р. Фёдорова (https://arxiv.org/pdf/1709.02562). 
Как заметил Г. Мерзон, в них в основном обсуждаются построения одной линейкой, а в докладе 
говорилось о построениях циркулем и линейкой.  
Как заметила М. Федотова, если изначально даны две точки, то циркулем и линейкой можно построить 
всюду плотное множество точек, поэтому необходимость в выборе случайной точки отпадает. 
Иными словами, <<детерминированная построимость>> циркулем и линейкой равносильна построимости 
с возможностью выбора <<произвольной>> точки. 
Как заметил А. Заславский, видимо, аналогичное верно и для построений одной линейкой, 
если даны четыре точки общего положения.