From shen@mccme.ru Fri Apr  8 14:23:10 2005
Date: Fri, 8 Apr 2005 14:21:46 +0400
From: Alexander Shen <shen@mccme.ru>
To: skopenko@mccme.ru

 \documentclass[twocolumn,12pt]{article}
\usepackage{russcorr,russadd,mztimesm}
\usepackage{fullpage}
\begin{document}

\textbf{��� ������}

1.~��᫮ $x$\� ����ࠫ쭮�. �� �⢥ত���� $2x>70$, $x<100$,
$3x>25$, $x\geqslant 10$, $x>5$ ��� ������� � �� �����. ����
ࠢ�� �᫮ $x$?

2.~�� �⢥ত���� \�� �᫮ $A$ ������� ��~$2$\��, \�� �᫮ $A$
������� ��~$4$\��, \�� �᫮ $A$ ������� ��~$8$\��, \��
�᫮~$A$ ������� ��~$16$\��\ �� �����, � ���� ����୮�.
�����?

3.~�� �⮫� ����� $4$ ����窨, �� ���孥� ��஭�
������ ����ᠭ� �, �, $4$, $5$. ����� �������襥 �᫮
����祪 �㦭� ��ॢ�����, �⮡� 㡥������  �  ��⨭����
�⢥ত���� \�� �᫨ �� ����� ��஭�\� ���᭠�,
� �� ��㣮�\� ��⭮� �᫮\��? ����� ������?

[���㦤����: �離�, ⠡���� ��⨭����]

\textbf{������ ������}

4.~���� ������� ���� �� ��� �ᥫ $1$, $2$ � $3$. ����� �����,
����᪠�騩 �⢥� \�� ��\��, \�� ���\��, \�� �� ����\��, �㦭�
������, �⮡� ��।����� ���㬠���� �᫮? (���� �ᥣ�� ������
�ࠢ��.)

5.~� ��஡�� ����� ����窨, �� ��⨢��������� ��஭�� ������
����ᠭ� �ᥤ��� �᫠: �� �����\� �᫠ $1$ � $2$,
�� ��㣮�\� $2$ � $3$ � ⠪ �����. ��� ���栬 � � �,
ᨤ�騬 ��� ����⨢ ��㣠, ᮮ���� � ⮬, ����� ����窨
������� � ��஡��, � �����뢠�� ���� �� ��� (����� �����
᢮� ��஭�). �ந�室�� ⠪�� ࠧ�����:

A: � �� ����, �� �� ��襩 ��஭�.

�: � �� ����, �� �� ��襩 ��஭�.

A: � �� ����, �� �� ��襩 ��஭�.

�: � � ����, �� �� ��襩 ��஭�.

�� ����ᠭ� �� ����窥 � ��� ���㦤��� �����?

% ���� ��� ��ਠ��

6.~� ⥬��� ������ ������ $2$ ���� � $3$ ��� ���. �஥
������ �� �⮬ ��諨 � �������, ������ �� �ﯥ (�� ���� ��
梥�) � ��諨 ���� �� ��㣨�, �� ����뢠���. �ந��諠
᫥����� ��ᥤ�. ����: \�� ����� �� ��� �ﯠ, ��⨩?\��\
��⨩: \�� �� ���� ������\��. ����: \�� ����� �� ��� �ﯠ,
��ன?\��\ ��ன: \�� �� ���� ������\��. ����: \�� � ⥯���
� ����, ����� �� ��� �ﯠ\��. ����� �ﯠ �뫠 �� ��ࢮ� � ���
�� ���㦤��?

7.~\�� �ந�������� ��� ����ࠫ��� �ᥫ ࠢ�� 36,\� ᪠���
����.\� �� �� �� �᫠?\��\ ����, ���㬠�, �⢥⨫: \�� ������
�������筮.\��\ ����� ���� ᮮ�騫 �㬬� ��� �ᥫ. \�� ��
ࠢ�� ������ �������筮\��,\� ���㬠�, �⢥⨫ ����. ���� �뫠
ࠢ�� �㬬�, ᮮ�饭��� ��⥩?

8.~��� ������� �����뢠�� ���� ����� � ���� ����
��������, ����뢠�� ����� � ���������� ������� �� ��� �� ��� ��
���.

A: � �� ����, ����� �� ��� ��������. (���஡���: � �� ����
        ᪠���� ����୮, ����� �� ���� ��ਠ�⮢: ��� ����,
        ��᭠� ���� �����, ��� �����\� ����� ����.)

B: � �� ����, ����� �� ��� ��������.

C: � �� ����, ����� �� ��� ��������.

A: � �� ����, ����� �� ��� ��������.

B: � � ⥯��� ����, ����� �� ��� ��������.

������ 梥� �������� �� ��� � B? ��� �� ���㦤��?

%  [��भ��, ��⥬���᪨� ����������� � ࠧ���祭��, �.~251]

9.~������� ���� ᥩ�, ���뢠���� ᥪ�⭮� �������樥� ���, �
$10$ ��砫쭨���. ���� ࠧ�᫠�� �� ���쬠 ⠪, �⮡� ��� $7$
��砫쭨���, ᮥ����� �������� �� ���ଠ��, ᬮ��� ������
ᥩ�, � �������~$6$ ��砫쭨���\� ���. �������⥫쭮� ���������:
$6$ ��砫쭨��� �� ⮫쪮 �� ����� ������ ᥩ� �ࠧ�, �� � ��
����� ᮪���� ��ॡ�� ��ਠ�⮢.

10.~��⥬�⨪ R ᪠��� ��⥬�⨪�� P � S: \�� � ���㬠� ���
����ࠫ��� �᫠. ������ �� ��� ����� �������, � �㬬� ��
����� $100$. ��⥬�⨪� P � ᥩ�� ᮮ��� (�� ᥪ��� ��~S)
�ந�������� ��� �ᥫ, � ��⥬�⨪� S � ᮮ��� (�� ᥪ���
��~P) �� �㬬�. �� �믮���� ���頭��� � �।����� �⣠����
���㬠��� �᫠. ����� P � S �ந���� ᫥���騩 ������:

P: � �� ���� ᪠����, 祬� ࠢ�� ���㬠��� �᫠.

S: � ��࠭�� ����, �� �� �⮣� �� ᬮ���.

P: ����� � ���� ���㬠��� �᫠.

S: ����� � ⮦� �� ����.

����� �᫠ �뫨 ���㬠��? (����� ��⮢ �� ��祣�, ����� 1977-3)

11.~� �ॢ��� �६��� � ����� ��த� ���� �����. � ������� �� ���
�뫠 ����. �� ��ࠬ ����� ��室��� �� ����� � 㧭����� ⠬
�� ��த᪨� ᯫ�⭨. ��� � ᠬ� �뫨 ᯫ�⭨����. ��
���⠢�﫮 ����讥 㤮�����⢨� 㧭��� � ����୮�� �쥩-�
����\� 㧭����� ��� �� �⮬ ����. ������ ���� �����᭮�
�ࠢ��� ᮡ����� ��㪮᭨⥫쭮: ��� � ��� ���� �������
��祣� �� ᮮ�頫���, ⠪ ��� ����� �� ���, 㧭�� � ᮡ�⢥����
�����, � �� �� ���� �룭�� �� ���� �� ����. ��� ��� � ����,
�� ������� � ��த �ਥ堫 �����騩 ᯫ�⭨�. �� ��� ��
����� � �� �����蠭�� ���: \�� � �� � ��� ���殢 ���
����\��. �������� ��, �� � ⠪ �� �����. �� �����
���㬠����\� � �� $n$\� � ���� �� $n$ ���殢, � ������ �뫨
������ ���, �룭��� �� �� ⮬�. ��� ���㦤��� �����? ��
ᮮ�騫 �� ᯫ�⭨�? (��भ��, ��⥬���᪨� ����������� �
ࠧ���祭��, ���������� ।���� ��ॢ��� �.�.���த��᪮��)

% �����: ��祬� ����� �� �룮��� �� ࠭��?

[���㦤����: ����� ��⥬���᪨� ��� ��� �����?]

\textbf{���������}

12.~��⭥ ������� ᮮ����, �� �� ������� � ������� � �� ������
������� ������� �����, ����� ��� ᨭ�� 蠯�� (⠪, �⮡� �� ��
����� 梥�), � ��⥬ ���� ��訢��� �� ��।�, ����� �� ��
蠯��, ��稭�� � ��᫥����� (����� ����� 梥� 蠯�� ���
����� ��। ���). �� �⢥�� ���ࠢ��쭮, ����५���. ��
����� $k$ ������ ����� ��࠭�� ᣮ������� ⠪, �⮡�
����५﫨 �� �����~$k$, � ��� �� ������ਢ�����?
(����騫 �.\,��業��)

13.~��� ��ப�� A,B,C ࠧ���� ᥬ� ����: A � B ������� �� ��
�����, � C ����砥� ����. (�� ����� ࠧ��; ᯨ᮪ ���� ��࠭��
�����⥭ �ᥬ, ��ப� ����� ᢮� �����, �� �� ����� �ᥤ��.)
��ப� A � B ���� ���������� ���ଠ樥� � ᢮�� ����� (����
�� C) ⠪, �⮡� 㧭��� ����� ��� ��㣠, �� �⮡� �� �� ����
�� ���� C �� ᬮ� ��।�����, � ���� ��� ��室���� (�� ����
᢮��). ��� �� �� ᤥ����?
(����� ���������� � ��᪮�᪮� ���������, �. Math.Intelligencer)

14.~�� ��㣫� �⮫�� ᨤ�� ������� �� ���� 祫����. ������� �� ���
�� ������ �������� ����� ��� ����� 蠯�� (��砩�� � ������ᨬ�
�롨�� 梥� � ࠢ�묨 ����⭮��ﬨ). ��᫥ �⮣� ����� ��
���, ���� ��� ��㣨� 蠯��, �� �� ���� ᢮��, ����� ������� ��
�㬠��� ���� �� ����: \�� ��� 蠯�� �����\��, \�� ��� 蠯��
��ୠ�\��\ ��� \�� �� ����\��. �᫨ ����뢠����, �� ��-�
㣠��� � ���� �� 㪠��� ����୮�� 梥�, � ������� ����砥�
�ਧ. ��� �� ᣮ������� ��࠭�� � ᢮�� ����⢨��, �⮡�
���ᨬ��쭮 㢥����� 蠭�� �� ����祭�� �ਧ�? (T.~Ebert)

15. (������ 䮪�� � ���⠢�� CEBIT, ��᪠��� �.��થ���)
����᭨� ���� ������ ����, �।������ ��⥫� �� \��
����\��, ��⥬ ����� ����� ᢥ��� �����, ��������� �� �
������ � �� ���� (����� ����ᮢ�����) ������. �� ����
������ ��� ࠧ, ��᫥ 祣� �।������ ��᪮�쪨� ��⥫�
������� �ந������ ��������� �᫠. ��᫥ �⮣� ��
�����뢠�� �᫮ ����, ࠢ��� �㬬� ��������� �ᥫ, �
᫥����� ���� ����뢠���� �����������. ����᭨� ᥪ��
䮪��.

16. (Bysantine agreement) ������� ������� � ����������
��᪮�쪨� �ନ�, ����� ������������ ��� � ��㣮� ᮮ�饭�ﬨ
�� e-mail� ����� �����㭥 �ࠦ����. (����饭�� ���⠢������ ��
����� � �� �����������.) ������� ���஬ ���뫠�� �������
���������� �ਪ��: ����㯠�� ��� ����㯠��. �� ���⭨� �����
���� �।�⥫�� (������ �������). ����� �� ��⠢��� ⠪��
����᪨� ��⠢, ���஬� ᫥���� �� ���� ����������, �⮡�
�� ���� �ਪ���� �� ������� �뫨 �믮����� ��� �᫮���: (1)
�� ���� ���������� ����㯠�� ��� ����㯠�� �����६����; (2)
�᫨ ������� �� �।�⥫�, � ���� ��᫠� �ᥬ ��������栬
���� � �� �� �ਪ��, � �� ���� ���������� �믮���� ���
�ਪ��. ��� �� �����, �᫨ ��࠭������ ��砥�, ����� �����
�������� ��������楢 ����.

\end{document}
