Математические кружки МЦНМО

Кружок "Олимпиады и Математика": материалы прошлых занятий
Пропущены тренировочные занятия (к региональному этапу всеросийской олимпиады и к московской олимпиаде; январь-февраль) и задачи для исследования (которые задавались продолжающим почти к каждому разу).
Если ссылки на материал нет, то занятие проходило по сборнику 'Математика в задачах' или его новой версии.

ТЕМЫ ЗАНЯТИЙ 2020/2021 уч. года
С октября 2020 по январь 2021 занятия проходили дистанционно в форме участия учеников в заочном туре Летней Конференции Турнира Городов (можете порешать и другие проекты) и в ММКШ.
К 19.02-12.03.2021. 1cdefghij*, 2, 3ab, 4abcdf*, 5ab, 6a*b*c*, 7a* из п. 4.1 <<Рациональные и иррациональные числа>>.
К 19-26.03. Порешайте задачи своего класса московской олимпиады (письменно; 11 класс - 1 день).
Ко 2.04-14.05. 1-8* из п. 10.3 <<Вписанные и описанные окружности>> (по старой версии - стр. 157-158).

ТЕМЫ ЗАНЯТИЙ 2019/2020 уч. года
К 18-25.09.2019. 1abc*, 2ab, 3ab, 4ab, 5ad*, 6abcd* из п. 2.2 и 1abc*d*, 2, 5ab* из п. 2.3 в [S20].
К 23.10-27.11. 1abcd, 2ab, 3, 4, 5, 7 из п. 1.5 Подсчет двумя способами (по электронной версии; в бумажной версии это п. 1.6). Задачи для исследования.
К 4-25.12. 2AB, 3, 7*, 8, 9, 10, 11 (9, 10, 11 для тривиальных), 13-22, 12 из п. 26.8 `Собери квадрат' (в бумажной версии это п. 25.8).
Более продвинутый материал: M. Skopenkov, Packing a cake into a box, Amer. Math. Monthly 118:5 (2011), 424-433. (то же в форме подборки задач - часть 1)

К 17-29.1.2020. Порешайте вариант своего класса регионального этапа (письменно).
К 5-19.02. 2AB, 3, 7*, 8, 9, 10, 11 (9, 10, 11 для тривиальных), 13-22, 12 из п. 26.8 `Собери квадрат' (в бумажной версии это п. 25.8).
К 4-25.03. 1, 2ab, 3, 4a, 5ab, 9ab из п. 5.3 (по бумажной версии).
С 18.03 по июль проходили индивидуальные консультации по задачам для исследования.

ТЕМЫ ЗАНЯТИЙ 2018/2019 уч. года
К 14-28.9.2018 (для начинающих): 2.1.4.abc и 1abc, 2a, 3ab, 4, 5abc, 7abc, 8ab из п. 2.5 `Линейные диофантовы уравнения'.
К 14-28.9 (для продолжающих): 1abcd, 2bef*, 3ad*e, 4abcd, 5abcd, 6* из п. 3.1 `Малая теорема Ферма'.
К 5-19.10: 1, 2ab, 3abcde, 4, 5, 6, 7ab*, 8abcd, 9abc, 10* из п. 23.1 `Порядок, тип, сопряженность'.
К 19.10-2.11: 1abc, 2abc(со штриховкой и дырами), 3, 4, 5abc*d*, 6ab по рисованию, стр. 123. Принесите на занятие цветные карандаши и стирательную резинку (можно даже линейку).
К 9-16.11: 1abcde*f*, 3abcdef, 4abcde*, 5, 6bcde*, 7ab(без условия непрерывности и для рациональных t,t_1,...,t_n) из п. 6.1 `В направлении неравенства Йенсена'.
К 23.11-7.12 (для продолжающих): 1eghij*, 2, 3b, 4cdf, 5a=5f, 6abc, 7a* из п. 4.1 и 1bdefg, 2*, 3(16,24,20*,15*,9,7,17,25*), 4cdef, 5, 6ab, 7.ZQ, 8(5,7,1,9*,25*,15*,16*,20*) из п. 9.3 (листок роздан).
К 7-14.12 (для продолжающих): 1elm, 2elm, 3, 4ab, 5a*b*c*d*, 6a*b*c* из п. 7.7.
К 7-14.12 (для начинающих): 1eghi, 2, 3b, 4cdf, 5a=5f, 6abc из п. 4.1 и 1ab, 2ab, 3ab, 4abc, 5abcdef, 6a*b* из п. 4.3.
К 28.12: 6bcde, 8ab, 15abcdef, 19abcd, 20ab, 22, 23, 24* из \S2 в [CEG]. Консультации по задачам для исследования.

К 6-13.02.2019 (для начинающих): 1ab, 2ab, 3ab, 4abc, 5abcde*f*, 6a*b* из п. 4.3 `теорема Безу и ее следствия'.
К 20.02-6.03 (для начинающих): вводные задачи 3, 4, 5 и 1a, 3*, 4, 5, 6, 7, 11, 12a, 21, 25*, 29, 31 из Прасолов, глава 13, Прасолов, глава 13
К 6.02-6.03 (для продолжающих): То же плюс из п. 9.3.1 (по розданному листку) и 17abcde*, 18abcdea'b', 19ab из п. 5.4.
К 20-27.03. 2ab, 3abc*, 4ab, 5abc, 6abс*d*, 7(21)(2n)*, 8*, 9ab из п. 21.5.
К 27.03-3.04. 2b, 3, 4b, 5a'b'c', 6abc, 7ab, 8abcd из п. 28.1 `Классическое определение вероятности' и 1ab, 2abc*, 3ab*, 4ab*, 5ab, 6, 7abc* из п. 28.2 `Более общее определение вероятности'.
К 10-17.04. 50ab, 51, 52ab, 55, 53, 54 из Прасолов, глава 13.
К 17.04-15.05. 1abc, 2ab*c*, 3abc*d, 4abc, 5abc из п. 4.4 и 1abc, 2abd, 3abcd, 4* из п. 4.6 и задачи для исследования (даны лично).

ТЕМЫ ЗАНЯТИЙ 2017/2018 уч. года
К 22.09.2017. Начинающие (=те, кто не получили на занятии листка с п. 5.4): 1cdefgh, 2, 3ab, 4ab из п. 4.1 `Рациональные и иррациональные числа' и 5.4.1abcde.
Продолжающие (=те, кто получили на занятии листок с п. 5.4): 3bc*, 5ab из п. 4.1 и 1abcdef*, 2abc из п. 5.4.
К 29.09. Начинающие: 4cd*, 5ab из п. 4.1 и 1f*g*, 2abcdef, 3 из п. 5.4.
Продолжающие: 1g*, 2def, 3, 5abc*, 6ab, 7ab, 8 из п. 5.4.
К 6-13.10. Тем, кто 29.09 и 6.10 не был или начал (или продолжил) решать листок с п. 4.1: 1cdefgh, 2, 3ab, 4abcd*, 5ab из п. 4.1 и 1abcdef*g*, 2abcdef, 3 из п. 5.4.
Остальным: 1abc*, 2ab*, 3ab, 4ab, 5a*d*, 6abcd* из п. 2.2.
К 20.10-3.11. Попроще: 1e, 2b, 3a, 4bb', 5, 6abс из п. 22.1 и 1a, 2, 3a из п. 22.2.
Посложнее: 2b, 3a, 4bb', 5, 6abс, 7ab* из п. 22.1 и 1ab*, 2, 3a, 4*, 5a*c* из п. 22.2 и 1ab, 2ad, 3, 5ab*, 6, 7, 8*, 9* из п. 22.3.
К 3.11-1.12. Попроще: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8*, 9 из п. 9.1.
Посложнее: 1abcd, 2a*, 3abc, 4a, 5, 6a, 7 из п. 11.5.
К 8-15.12. 3c, 4abc из п. 2.1 и 5ab (для квадратного трехчлена f), 6ab*, 7abcd из п. 2.2 `Простые числа' и 1c, 3ab*, 5abcd*, 6ab, 7abc, 8ab, 10bcde* из п. 2.5 `Линейные диофантовы уравнения'. (2.2.7b. Назовём четное число четнопростым, если оно не имеет положительных четных делителей, кроме себя и 2. Однозначно ли разложение четных чисел в произведение четнопростых?)
К 19.1.2018. Дорешайте задачи к 8-15.12 и прорешайте вариант своего класса (письменно).
26.1. Задачи регионального этапа. Дорешайте вариант своего класса (письменно) и 1ab, 2ab, 3ab из п. 4.2.
2-16.2. Начинающие: 1abc, 2abс, 3abc, 4ab*c* (для вещественных) из п. 4.2 Решение уравнений 3-й и 4-й степени.
Продолжающие: 1abc, 2abс, 3abcd, 4ab*c*, 5abc*, 6abcd, 7a*b* из п. 4.2 Решение уравнений 3-й и 4-й степени и 1abcd, 2abc, 3ab, 4abcd, 5abcde*f* из п. 4.5.
К 2-9.3. Задачи московских олимпиад. Зарешайте задачи своего 8, 9, 11 класса или задачи своего 10 класса (письменно).
К 16-30.3. 1a, 2b, 3abefcd*g, 4a, 5a* из п. 2.4.
6.4 занятие пройдет в виде самостоятельного решения задач. Это можно делать дома.
К 6-27.4. 4, 5, 9ab*, 12a из п. 14.2 и 2, 5ab, 6, 8, 9, 11*, 14 из п. 16.2.
К 4-11.5. 1ab, 2, 3*, 4, 5a, 7, 14, 13, 15 из п. 21.1 `Игры'.
К 18.5. 1ab, 2, 3, 4abcd, 5abc*, 7abc и 3, 2K, 3K*, 2r.abc*, 3r.8(4r-4)N, 2Kr.a, 3Kr.a* из п. 2.1.

ТЕМЫ ЗАНЯТИЙ 2016/2017 уч. года
Необязательное задание на лето 2016 (можно будет сдать в сентябре): порешайте указанные ниже задачи 2015/2016 уч. года из пунктов 9.1, 4.1, 21.1, 3.1, 23.1.
К 16-30.09.
Начинающие: 1abc, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc, 6abc, 7(21)(2n)(31), 9a из п. 21.5.1 `Выразимость для функций алгебры логики'.
Продолжающие (группа будет формироваться по итогам решения этого и следующих заданий): 1c, 2ab, 3abcde, 4ab, 5abc, 6abcd, 7(2n)(31)(3n)(41), 8*, 9a, 10* из п. 21.5.1.
К 30.09-14.10.
Начинающие: 1bcdefgh*, 2*, 3ab, 4abcd*e*, 5a*b* из п. 4.1 Рациональные и иррациональные числа.
Продолжающие: 1ab, 2ab (докажите, что не более трех), 4abc*, 5abc, 6, 8a, 5de*, 7ab*, 8b* из п. 8.1 График кубического многочлена. Дополнительный материал для отрешавших.
К 21-28.10. 1ab (со штриховкой и дырой), 2* (ежи равные), 3*, 5, 6ab* из п. 15.1 Рисование.
К 4-25.11: Все из п. 19.1. Графы под шубой.
Ко 2-16.12: 1ab, 2abс, 3abcd, 4ab*, 5bcd*, 6abcd, 7a*b* из п. 4.2 Решение уравнений 3-й и 4-й степени и 4.5.1a*b*c*d*e*.
К 10-17.2.2017, 3.3: Начинающие: 1, 2ab, 3abcde*, 4, 5, 6, 7ab* из пункта 23.1 `Порядок, тип, сопряженность'.
Продолжающие: 2ab, 3ab, 4abc*, 1a из п. 23.2 `Четность перестановки'.
К 17.3-7.4. 4, 5, 21, 29, 31, 50ab, 51, 52ab из Прасолов, глава 13 (если трудновато, то порешайте вводные задачи и 1a, 3, 6, 7, 11, 12a).
К 14.4-5.05. 1.4abc, 5.1d, 5.4, 5.5.bcd, 5.7abc, 5.9ab из параграфа 2 и 3.1.1.abcd, 3.1.3e* и 1abc*d*, 2abcef, 3abc, 5abc, 6abc, 8abc из п. 3.3 `Квадратичные вычеты'.
К 12-19.05. 2.5.7.abc и 1abcdefgh*i*, 2abcdef, 3 из п. 5.4.1 `Одно извлечение квадратного корня' и 5abc*, 6ab, 7ab, 8 из п. 5.4.2 `Одно извлечение корня четвертой степени'.

ТЕМЫ ЗАНЯТИЙ 2015/2016 уч. года
18.09-23.10. Начинающие. 19.1. Графы под шубой. Для тех, кто решит все эти задачи, кроме любых трех --- 19.2. Подсчеты в графах.
18.09-23.10. Продолжающие. Степенн\'ые последовательности.
9.10-6.11. Начинающие. 10.2. Вписанный угол.
9.10-6.11. Продолжающие. 10.3. Вписанные и описанные,
30.10-20.11. Начинающие. 2.1, 2.3. Делимость, НОД и НОК.
30.10-20.11. Продолжающие. 2.7. Целые точки под прямой.
27.11-18.12. Комбинаторика. 1ab, 2ab*, 4ab из пункта 1.1. 1abc*, 2ab, 3ab, 4ab*, 5a'b'c'ab из пункта 1.2.
12-19.2.2016. 1, 11, 2, 3, 4, 5, 6*, 7*, 8* из пункта 9.1 `принцип Карно'.
1-22.04. 1ab, 2, 3*, 4, 5a*, 7, 8*, 13, 15, 14 из пункта 21.1 `Игры'.
22.04-6.05. 1abcde*, 2abcdef* (устно), 3ad*e, 4abcd*, 5abcd, 6* из пункта 3.1 `Малая теорема Ферма'.
13-20.05. 1, 2ab, 3abcde*, 4, 5, 6, 7ab* из пункта 23.1 `Порядок, тип, сопряженность'.

ТЕМЫ ЗАНЯТИЙ 2014/2015 уч. года
16-30.09.2014. Начинающие. Подсчёт и комбинаторные тождества (1.1).
16-30.09.2014. Продолжающие. Комбинаторика булева куба (1.4).
16-30.09.2014. Отбирающие. Независимость и доказательства существования в комбинаторике (6.2). Далее по индивидуальным заданиям.
21.10-11.11. Начинающие. Вписанный угол. Задачи 1-9 на стр. 156.
21.10-11.11. Продолжающие. Вписанные и описанные многоугольники. Задачи 1-8 на стр. 157-158.
11.11-9.12. Начинающие. Раскраски графов (3.1).
11.11-9.12. Продолжающие. Хроматический многочлен (3.3).
9-16.12. Начинающие. Симметрические многочлены.
9-16.12. Продолжающие. Почти симметрические многочлены. (Занятия по материалам московской осенней выездной школы.)
13-20.1. Продолжающие. Почти симметрические многочлены.
31.1. Мастер-класс по решению уравнений в СУНЦ МГУ.
3-17.02. Начинающие: 2.1.2ab*c, 2.2.1abc*. Плоские графы (2.4).
3-17.02. Продолжающие: Плоские графы (2.4).
17-31.3. Начинающие. Применения движений: задачи 1-7 на стр. 169-170. Классификация движений: задачи 1-4 на стр. 179.
17-31.3. Продолжающие. Аффинные преобразования: задачи 1-10 на стр. 188-189.
7-28.4. Зацепления и пересечения для систем точек: \S1, \S2.1.2.

ТЕМЫ ЗАНЯТИЙ 2013/2014 уч. года
19.09-3.10.2013. Начинающие. Раскраски графов (3.1).
19-3.10.2013. Продолжающие. Степенные последовательности.
3-17.10.2013. Начинающие. Линейные диофантовы уравнения.
3-17.10.2013. Продолжающие. Квадратичные вычеты.
24.10-7.11.2013. Начинающие. Биссектрисы, высоты и описанная окружность.
24.10-7.11.2013. Продолжающие. Полувписанная окружность.
21-28.11.2013. Начинающие. Подсчеты с подмножествами.
21-28.11.2013. Продолжающие. Подсчет двумя способами (1.5).
4-18.3. Решение уравнений при помощи одного извлечения корня. Доклад Д. Ахтямова.
18.3-13.5. Начинающие. Подсчет двумя способами: задачи 1-5 из пункта 1.5.
18.3-13.5. Продолжающие. Локальная лемма Ловаса: задачи 1-7 из пункта 6.2.
27.5-10.6. Продолжающие. Досдача зачета. Окрестности многоугольников и многогранников. Задачи 0, 1, 2 из темы `3.3. Полная средняя кривизна'.
27.5-10.6. Начинающие. Досдача зачета. Биссектрисы, высоты и описанная окружность. Задачи 1-7 на стр. 121.

ТЕМЫ ЗАНЯТИЙ 2012/2013 уч. года
27.09-4.10.2012. Начинающие. Линейные диофантовы уравнения.
27.09-4.10.2012. Продолжающие. Квадратичные вычеты
11-18.10.2012. Начинающие. Пути в графах.
11-18.10.2012. Продолжающие. Планарные графы.
25.10-1.11.2012. Начинающие. Вписанный угол.
25.10-1.11.2012. Продолжающие. Вписанные и описанные многоугольники.
8-15.11.2012. Начинающие. Подсчеты с подмножествами.
8-15.11.2012. Продолжающие. Таблицы.
22.11-6.12.2012. Занятия по материалам московской осенней выездной школы.
13-20.12.2012. Начинающие. Построимость циркулем и линейкой.
13-20.12.2012. Продолжающие. Теорема Гаусса о построимости правильных многоугольников .
31.01-14.02.2013. Начинающие. Задачи на построение и ГМТ, связанные с площадями.
31.01-14.02.2013. Продолжающие. Дополнительные построения.
14-28.03.2013, Начинающие. Перестановки.
14-28.03.2013, Продолжающие. Раскраски и лемма Бернсайда.
4-11.04.2013. Радикальная ось.
11-18.04.2013. Конические сечения.
25.04-16.05.2013. Начинающие: рациональные и иррациональные числа.
25.04-16.05.2013. Продолжающие: примеры трансцендентных чисел.
23-30.05.2013. Комбинаторика.
6,14.06.2013. Досдача зачета. Геометрия.

ТЕМЫ ЗАНЯТИЙ 2011/2012 уч. года
14.09.2011 (среда, а не четверг!). Устная олимпиада.
22.09, 29.09 и 6.10.2010. Начинающие. Рациональные и иррациональные числа.
22.09, 29.09 и 6.10.2010. Продолжающие. Еще одно доказательство из Книги: неразрешимость уравнений в радикалах (начало).
13-20.10.2011. Начинающие. Биссектрисы, высоты и описанная окружность. Задачи 1-7 на стр. 121.
20-27.10.2011. Продолжающие. Полувписанная окружность.
3-17.11.2011. Продолжающие. Циклические группы.
3-17.11.2011. Начинающие. Перестановки (1-я серия).
24.11, 1-8.12.2011. Решение уравнений 3-й степени.
15-29.12.2011. Продолжающие. Степенные последовательности для графов.
15-29.12.2011. Начинающие. Пути в графах.
2-9.02.2012. Пути в графах.
22.03-5.04, 19.4.2012. Применения малой теоремы Ферма и теоремы Эйлера.
12.04, 26.04, 10.05. Геометрия: теорема Карно.
17, 24 и 31.05. Алгебра: конечные суммы и разности.
5.06. Комбинаторика N-мерного куба.

ТЕМЫ ЗАНЯТИЙ 2010/11 учебного года.
22.09.2010 (среда, а не четверг!). Устная олимпиада.
30.09 и 7.10.2010. Решение уравнений 3-й и 4-й степени.
14-28.10.2010. Теорема Рамсея.
28.10-18.11.2010. Принцип Дирихле для площадей. (В.В. Прасолов, Задачи по планиметрии, 21-3.)
25.11-16.12.2010. Вписанный угол.
20-27.01.2011. Инверсия (проводит В. Омельяненко).
10-17.02.2011. Квадратичные вычеты.
14-21.04.2011. Неравенства (проводит В. Брагин)
5.05-19.05.2011. Теорема Менгера о k-связных графах.
2-9.06.2011. `Непрерывная' комбинаторика (А.С. Штерн).
16-23.06.2011. Степенные последовательности для графов. Задачи для исследования.

ТЕМЫ ЗАНЯТИЙ 2009/10 учебного года.
16.09.2009 (среда, а не четверг!). Устная олимпиада.
24.09.09 и 1.10.09, 8-9 классы. Перестановки.
24.09.09 и 1.10.09, 10-11 классы. Раскраски и лемма Бернсайда.
8, 15 и 22.10. 8-9 классы. Применение движений. 10-11 классы. Применение подобий.
29.10.09, 5 и 12.11.09~. Решение уравнений 3-й и 4-й степени.
12, 19 и 26.11.09. Основные понятия теории графов (для некоторых - задачи по топологической теории графов).
3 и 17.12.09. Геометрические построения.
28.01 и 4.02.2010. 10-11 классы: конечные суммы и разности. Доклад В. Болбачана.
28.01 и 4.02.2010. 8-9 классы: подсчеты с подмножествами.
11-25.02. 8-9 классы: линейные диофантовы уравнения.
11-25.02. 10-11 классы: анализ, оценки и неравенства. Доклад П. Долгирева.
1-22.04. 10-11 классы. Путёвые перестановки и доказательство теоремы Абеля.
1.04, 8.04 и 15.04. 8-9 классы. Применения комплексных чисел.
29.04-6.05. Малая теорема Ферма. Применения.
13.05-20.05. Сдача зачетов по прошлым темам.
27.05-10.06. Прямая Эйлера.
17-24.06. Приближения чисел.

ТЕМЫ ЗАНЯТИЙ 2008/09 учебного года.
17.09.2008 (среда, а не четверг!). Устная олимпиада.
25.09.08 и 2.10.08. Функции алгебры логики и их суперпозиции.
9-16.10.08. 10-11 классы. Подсчеты в графах. Турниры.
9-16.10.08. 8-9 классы. Раскраски графов.
23-30.10.08. Классическая геометрия.
27.11 и 4.12.2008. 10-11 классы. Непостроимость правильных многоугольников.
27.11 и 4.12.2008. 8-9 классы. Рациональные и иррациональные числа.
11-18.12.08. Теорема Хелли.
29.01-12.02.09. Комбинаторика N-мерного куба.
19.2.09. Окрестности многоугольников и многогранников. Задачи 0, 1, 2 из темы `3.3. Полная средняя кривизна'.
19.03.09 и 2.04.09. 10-11 классы. Комплексные числа и геометрия.
19.03.09 и 2.04.09. 8-9 классы. Вписанный угол.
9.04.09 и 23.04.09. Пути в графах.
7-14.05.09. Линейные диофантовы уравнения.
21-28.05.09. Теорема Карно.

ТЕМЫ ЗАНЯТИЙ 2007/08 учебного года.
19.09.2007 (среда, а не вторник!). Устная олимпиада.
25.09, 2.10 и 9.10. 8-9 классы. Основы теории графов.
25.09 и 9.10. 10-11 классы. Планарные графы и теорема Куратовского.
2.10, 10-11 классы. А. Я. Канель-Белов.
16.10 и 23.10. 8-9 классы. Линейные диофантовы уравнения.
16.10 и 23.10. 10-11 классы. Малая теорема Ферма.
13.11, 20.11 и 27.11. Геометрия (Протасов).
4.12 и 11.12, 8-9 классы. Инварианты (Пермяков).
4.12 и 25.12, 10-11 классы. Парламентские комиссии и динамические системы.
11.12, 10-11 классы. А. Я. Канель-Белов.
18.12 и 25.12, 8-9 классы. Комбинаторика раскрасок.
18.12, 10-11 классы. Гамильтоновы графы. Задача для исследования. А. Ю. Веснин.
17.1, 24.1 и 31.1.08. 8-9 классы. Неравенства. Базовые методы.
17.1, 24.1 и 31.1.08. 10-11 классы. Геометрическая интерпретация.
31.1, 7.02 и 14.02.08. 8-9 классы. Комбинаторная геометрия.
31.1, 7.02 и 14.02.08. 10-11 классы. Кривые и их кривизна.
17.04, 8-9 классы. А. Я. Канель-Белов, Конструкции.
24.04.08, 8.05.08 и 15.05.08. 10-11 классы. Грубые оценки.
24.04.08, 8.05.08 и 15.05.08. 8-9 классы. Неравенства.
22.05.08 и 19.06.08. Комбинаторика.