ДОБАВКА НА КАНИКУЛЫ, 10-11 класс, 23 декабря..

1. На ребрах выпуклого многогранника расставлены стрелки так, что в каждую вершину хотя бы одна стрелка входит и из каждой вершины хотя бы одна стрелка выходит. Докажите, что найдутся 2 грани, границу которых можно обойти по стрелкам.

2. Дан граф, степень каждой вершины которого не меньше k, (k > 2). Докажите, что в этом графе найдется простой цикл длины не меньшей, чем k+1.

3. Докажите, что существует многоугольник с равными углами, длины сторон которого в некотором порядке равны числам 1, 2, 3, ..., 2002.

4. У каждого из двух равных правильных додекаэдров отметили по 9 вершин. Докажите, что первый додекаэдр можно так совместить со вторым, чтобы по крайней пять его отмеченных вершин совпали с отмеченными вершинами второго.

5. В лагерь приехали m мальчиков и d девочек. Каждая девочка знакома не более, чем с 10 мальчиками, а каждый мальчик - не менее, чем с одной девочкой. Оказалось, что у каждого мальчика больше знакомых девочек, чем у любой знакомой с ним девочки - знакомых мальчиков. Докажите, что d не меньше, чем 1,1m.