| Предыдущее занятие | | В начало | | Следующее занятие |
|---|
Чётность (см. [5])
Вы, конечно, знаете, что числа бывают четные и нечетные.
Четные числа √ это те, которые делятся на 2 без остатка (например, 2, 4, 6 и т.п.). Каждое такое число можно записать в виде 2K, подобрав подходящее целое K (например, 4 = 2 ╧ 2, 6 = 2 ╧ 3, и т.д.).
Нечетные числа √ это те, которые при делении на 2 дают в остатке 1 (например, 1, 3, 5 и т.п.). Каждое такое число можно записать в виде 2K + 1, подобрав подходящее целое K (например, 3 = 2 ╧ 1 + 1, 5 = 2 ╧ 2 + 1, и т.д.).
Четные и нечетные числа обладают замечательными свойствами:
а) сумма двух четных чисел четна;
б) сумма двух нечетных чисел четна;
в) сумма четного и нечетного чисел √ нечетное число.
Докажем свойство а). Пусть одно из чисел равно 2а, другое равно 2б. Тогда их сумма равна 2а + 2б = 2(а + б) √ четное число.
Вводные задачи
1.1. Докажите приведенные выше свойства б) и в).
1.2. Какой (четной или нечетной) будет сумма нескольких а) четных чисел; б) нечетных чисел?
1.3. Докажите, что
а) произведение двух четных чисел четно;
б) произведение двух нечетных чисел нечетно;
в) произведение четного числа и нечетного числа √ четное число.
1.4. Каким (четным или нечетным) будет произведение нескольких а) четных чисел; б) нечетных чисел?
1.5. Можно ли разложить несколько арбузов а) в 3; б) в 4; в) в 98; г) в 99 корзин, расставленных по кругу, так, чтобы в любых двух соседних корзинах число арбузов отличалось на единицу?
Задачи для самостоятельного решения
1.6. Петя и Вася играют в такую игру: каждый из них записывает на бумажке по одному натуральному числу. Потом эти числа перемножаются, и если в результате получается четное число, то выигрывает Петя, а если нечетное, то Вася. Может ли один из мальчиков играть так, чтобы всегда выигрывать, как бы ни играл другой?
1.7. Придумайте четыре целых числа, сумма и произведение которых являются нечетными числами.
1.8. Дана квадратная таблица 4 х 4, в каждой клетке которой стоит знак "+" или "√" (см. рис.). За один ход можно поменять все знаки в любой строке или в любом столбце на противоположные. Можно ли через несколько ходов получить таблицу из одних плюсов?
а) + √ √ + √ + + √ √ + + √ + √ - +
б)+ + + + + + + + + + + +
в)√ + + + + + + + + + +
1.9. В строчку написаны числа 1 2 3 4 5 6. Лена и Максим по очереди ставят перед каким-нибудь из этих чисел знак: "+" или "√" (если перед этим числом еще нет знака). Когда перед каждым числом будет поставлен какой-нибудь знак, вычисляется значение полученного выражения (например: + 1 + 2 √ 3 + 4 + 5 √ 6 = 3). Если полученное число четное, то выигрывает Максим, а если нечётное, то - Лена. Может ли Максим выиграть?
1.10. Можно ли соединить между собой проводами семь телефонов так, чтобы каждый был соединён ровно с тремя другими?
Ответы
1.2. а) Ответ: сумма любого числа четных чисел будет четной.
б) Ответ: Сумма нечетного числа нечетных чисел будет нечетной, а сумма четного числа нечетных чисел будет четной.
1.3. Докажем, например, пункт в). Пусть четное число равно 2а, нечетное число равно 2б + 1. Тогда их произведение равно 2а ╧ (2б + 1) = 2 ╧ (2аб + а) √ четное число.
1.4. а) Ответ: произведение любого числа четных чисел будет четным.
б) Ответ: произведение любого числа нечетных чисел будет нечетным.
1.5. Для 4-х и для 98-ми корзин это сделать можно: например, положить в первую корзину 1 арбуз, во вторую √ 2 арбуза, в третью √ 1 арбуз, и т.д. (в корзинах с нечетными номерами √ по одному арбузу, в корзинах с четными номерами √ по два арбуза).
Ни в 3, ни в 99 корзин арбузы разложить нельзя. Заметим, что если два числа отличаются на 1, то они разной четности. Значит, учитывая условие задачи, четность числа арбузов в корзинах чередуется. В частности, четность числа арбузов в первой и в третьей корзинах одинакова, и поэтому эти числа не могут отличаться на единицу. Получили противоречие с условием задачи. Точно так же для 99 корзин.
1.7. На самом деле таких чисел не существует.
1.10. Ответ: нет. Указание: подсчитайте число концов проводов.
Чётность (см.[2])
В этой главе Вы не найдете содержательных математических идей. Здесь не будет ничего трудного и непонятного. Речь пойдет об одном несложном соображении √ "четности". Оно, несмотря на свою простоту, возникает при обсуждении самых разных вопросов и оказывается полезным при решении многих (в том числе и трудных) задач.
1. Чередование
Задача 1. На плоскости расположено 11 шестеренок, соединенных по цепочке (см.рис.). Могут ли все шестеренки вращаться одновременно?
Решение: Предположим, что первая шестеренка вращается по часовой стрелке. Тогда вторая шестеренка должна вращаться против часовой стрелки. Третья √ снова по часовой, четвертая √ против и т.д. Ясно, что "нечетные" шестеренки должны вращаться по часовой стрелке, а "четные" √ против. Но тогда 1-я и 11-я шестеренки одновременно вращаются по часовой стрелке. Противоречие.
Главным при решении этой задачи оказалось то, что шестеренки, вращающиеся по часовой стрелке и против, √ чередуются.
Нахождение чередующихся объектов √ основное соображение при решении следующих задач.
Задача 2. Конь вышел с поля а1 и через несколько ходов вернулся на него. Докажите, что он сделал четное число ходов.
Задача 3. Может ли конь пройти с поля а1 на поле h8, побывав по дороге на каждом из остальных полей ровно один раз?
Задача 4. Может ли прямая, не содержащая вершин замкнутой 11-звенной ломаной, пересекать все ее звенья?
Задача 5. На хоккейном поле лежат три шайбы А, В и С. Хоккеист бьет по одной из них так, что она пролетает между двумя другими. Так он делает 25 раз. Могут ли после этого шайбы оказаться на исходных местах?
Задача 6. Катя и ее друзья встали по кругу. Оказалось, что оба соседа каждого ребенка √ одного пола. Мальчиков среди Катиных друзей пять. А сколько девочек?
Отметим дополнительное соображение, возникающее при решении последней задачи: в чередующейся замкнутой цепочке объектов одного вида (мальчиков) столько же, сколько и объектов другого вида (девочек).
2. Разбиение на пары
Задача 7. Можно ли нарисовать 9-звенную замкнутую ломаную, каждое звено которой пересекается ровно с одним из остальных звеньев?
Решение: Если бы такое было возможно, то все звенья ломаной разбились бы на пары пересекающихся. Однако тогда число звеньев должно быть четным.
Отметим ключевой момент рассуждения: если предметы можно разбить на пары, то их число √ четно.
Вот еще несколько подобных задач:
Задача 8. Можно ли доску размером 5 х 5 заполнить доминошками размером 1 х 2?
Задача 9. Дан осесимметричный выпуклый 101-угольник. Докажите, что ось симметрии проходит через одну из его вершин. Что можно сказать в случае 10-угольника?
Задача 10. Все костяшки домино выложили в цепь. На одном конце оказалось 5 очков. Сколько очков на другом конце?
Задача 11. Из набора домино выбросили все кости с ╓пустышками╞. Можно ли оставшиеся кости выложить в ряд?
Задача 12. Можно ли выпуклый 13-угольник разрезать на параллелограммы?
Задача 13. На доске 25 х 25 расставлены 25 шашек, причём их расположение симметрично относительно диагонали. Докажите, что одна из шашек расположена на диагонали.
Методические замечания. При решении последней задачи часто возникают логические трудности. Это связано с тем, что на диагонали может оказаться не обязательно одна, но и любое нечетное число шашек. Для этой задачи наше утверждение о разбиении на пары можно сформулировать так: если из нечетного числа предметов образовано несколько пар, то по крайней мере один предмет остался без пары.
Задача 14. Допустим теперь, что расположение шашек в задаче 13 симметрично относительно обеих главных диагоналей. Докажите, что одна из шашек стоит в центральной клетке;
Задача 15. В каждой клетке квадратной таблицы размером 25 х 25 записано одно из чисел 1, 2, 3, ..., 25. При атом, во-первых, в клетках, симметричных относительно главной диагонали, записаны равные числа, и во-вторых, ни в какой строке и ни в каком столбце нет двух равных чисел. Докажите, что числа на главной диагонали попарно различны.
3. Четность и нечетность
Задача 16. Можно ли разменять 25 рублей при помощи десяти купюр достоинством в 1, 3 и 5 рублей?
Решение этой задачи основано на простом наблюдении: сумма четного числа нечетных чисел √ четна. Обобщение этого факта выглядит так: четность суммы нескольких чисел зависит лишь от четности числа нечетных слагаемых: если количество нечетных слагаемых (не)четно, то и сумма √ (не)четна.
Задача 17. Петя купил общую тетрадь объемом 96 листов и пронумеровал все ее страницы по порядку числами от 1 до 192. Вася вырвал из этой тетради 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. Могло ли у него получиться 1990?
Задача 18. Произведение 22 целых чисел равно 1. Докажите, что их сумма не равна нулю.
Задача 19. Можно ли составить магический квадрат из первых 36 простых чисел?
Задача 20. В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли расставить между ними знаки "+" и "√" так, чтобы значение полученного выражения было равно нулю?
Замечание: учтите, что отрицательные числа также бывают четными и нечетными.
Задача 21. Кузнечик прыгает по прямой, причем в первый раз он прыгнул на 1 см в какую-то сторону, во второй раз √ на 2 см и так далее. Докажите, что после 1985 прыжков он не может оказаться там, где начинал.
Задача 22. На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 1984, 1985. Разрешается стереть с доски любые два числа и вместо них записать модуль их разности. В конце концов на доске останется одно число. Может ли оно равняться нулю?
4. Разные задачи
В этом параграфе собраны более трудные задачи, решение которых, помимо четности, использует, как правило, и некоторые дополнительные соображения.
Задача 23. Можно ли покрыть шахматную доску доминошками 1 х 2 так, чтобы свободными остались только клетки а1 и h8?
Задача 24. К 17-значному числу прибавили число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Докажите, что хотя бы одна цифра полученной суммы четна.
Задача 25. В народной дружине 100 человек и каждый вечер трое из них идут на дежурство. Может ли через некоторое время оказаться так, что каждый с каждым дежурил ровно один раз?
Задача 26. На прямой отмечено 45 точек, лежащих вне отрезка АВ. Докажите, что сумма расстояний от этих точек до точки А не равна сумме расстояний от этих точек до точки В.
Задача 27. По кругу расставлено 9 чисел √ 4 единицы и 5 нулей. Каждую секунду над числами проделывают следующую операцию: между соседними числами ставят ноль, если они различны, и единицу, если они равны; после этого старые числа стирают. Могут ли через некоторое время все числа стать одинаковыми?
Задача 28. 25 мальчиков и 25 девочек сидят за круглым столом. Докажите, что у кого-то из сидящих за столом оба соседа √ мальчики.
Задача 29. Улитка ползет по плоскости с постоянной скоростью, каждые 15 минут поворачивая под прямым углом. Докажите, что вернуться. в исходную точку она сможет лишь через целое число часов.
Задача 30. Три кузнечика играют на прямой в чехарду. Каждый раз один из них прыгает через другого (но не через двух сразу!). Могут ли они после 1991 прыжка оказаться на прежних местах?
Задача 31. Есть 101 монета, из которых 50 фальшивых, отличающихся по весу на 1 грамм от настоящих. Петя взял одну монету и за одно взвешивание на весах со стрелкой, показывающей разность весов на чашках, хочет определить фальшивая ли она. Сможет ли он это сделать?
Задача 32. Можно ли выписать в ряд по одному разу цифры от 1 до 9 так, чтобы между единицей и двойкой, двойкой и тройкой, ..., восьмеркой и девяткой было нечетное число цифр?
Для преподавателей. Как уже было отмечено, "четность" не является содержательной математической идеей. Поэтому не имеет смысла посвящать ей отдельное занятие. Однако простота этой тематики позволяет решать задачи "на четность", начиная с самых первых занятий кружка. Не забывайте при разборе решений обращать внимание школьников на соответствующие соображения.
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
2. Поскольку при каждом ходе меняется цвет поля, на котором стоит кож, то имеет место чередование цветов: белого и черного.
3. Ответ: нет, не может. Так как конь должен сделать 63 хода, то последним (нечетным) ходом он встанет на поле другой четности, нежели a1; но h8 имеет тот же цвет.
4. Ответ: нет, не может. Если мы обойдем контур ломаной, переходя из каждой вершины в следующую, то каждый раз, пересекая прямую, будем оказываться в другой полуплоскости (прямая делит плоскость на две половины). Таким образом, имеет место чередование, и значит, количество вершин должно быть четным.
5. Ответ: нет, не могут. Будем называть расположение шайб правильным, если обходя вершины треугольника АВС именно в порядке А-В√С, мы получим обход по часовой стрелке, и неправильным в противном случае. Легко видеть, что при каждом ударе тип расположения меняется.
6. Ответ: пять. Если у кого-то из Катиных друзей соседи √ того же' пола, то очевидно, что все стоящие в кругу √ одного пола. Значит, мальчики и девочки чередуются и следовательно, девочек столько же, сколько и мальчиков.
8. Нельзя, так как общее количество клеток (25) не делится на два, а каждая доминошка покрывает две клетки.
9. Если ось симметрии не проходит через вершину, то данные 101 точка должны разбиваться на пары симметричных, что невозможно.
10. Поскольку внутри цепи все числа встречаются парами, а общее количество половинок домино с пятерками √ восемь, то и на другом конце цепи стоит пятерка.
11. Ответ: нет, нельзя. Докажем это от противного. Если такая цепь имеется, то одно из чисел 1, 2, 3 не встречается на концах. Пусть это число 3. Но так как внутри цепи троек четное количество, а всего их осталось после выкидывания костей с пустышками семь, то получаем противоречие.
12. Ответ: нет, нельзя. Если выпуклый многоугольник можно разрезать на параллелограммы, то его стороны обязательно разбиваются на пары параллельных.
13. Поскольку в противном случае шашки разбиваются на пары симметричных, то на диагонали обязательно должно стоять нечетное число шашек.
14. Допустим, что это не так. Соединим шашки, симметричные относительно какой-либо из диагоналей, ниткой. После этого разложим все шашки на "ожерелья" √ группы шашек, соединенных нитками. Тогда в каждом из "ожерелий" √ либо две, либо четыре шашки. Значит, общее количество шашек должно быть четным √ противоречие.
15. Поскольку единиц 25 штук, то на главной диагонали должна быть хотя бы одна единица (см. решение задачи 13). Аналогично, на главной диагонали есть двойка, тройка и т.д.
17. Ответ: нет, не могло. На каждом листе сумма номеров страниц нечетка, а сумма 25 нечетных чисел √ нечетна.
18. Среди этих чисел √ четное число "минус единиц", а для т то, чтобы сумма равнялась нулю, их должно быть ровно 11.
19. Ответ: нет, нельзя. Среди этих чисел одно (2) √ четное, а остальные √ нечетные. Поэтому в той строке, где стоит двойка, сумма чисел нечетна, а в других √ четна.
20. Ответ: нет, нельзя. В самом деле, сумма чисел от 1 до 10 равна 55, и изменяя в ней знаки, мы меняем все выражение на четное число.
21. Доказывается так же, как и в задаче 20, так как сумма 1 + 2 +... + 1985 нечетна.
22. Ответ: нет, не может. Проверьте, что при указанных операциях четность суммы всех написанных на доске чисел не меняется.
23. Ответ: нельзя. Каждая доминошка покрывает одно черное и одно белое поле, а при выкидывании полей а1 и Ь8 черных полей остается на 2 меньше, чем белых.
24. Разберите два случая: сумма первой и последней цифр числа меньше 10, и сумма первой и последней цифр числа не меньше 10. Если допустить, что все цифры суммы √ нечетны, то в первом случае не должно быть ни одного переноса в разрядах (что, очевидно, приводит к противоречию), а во втором случае наличие переноса при движении справа налево или слева направо чередуется с отсутствием переноса, и в результате мы получим, что цифра суммы в девятом разряде обязательно четна.
25. Ответ: нет, не может. Так как на каждом дежурстве, в котором участвует данный человек, он дежурит с двумя другими, то всех остальных можно разбить на пары. Однако 99 √ нечетное число.
26. Для любой точки, лежащей вне АВ, имеем А" √ В" = ~АВ. Если предположить, что суммы расстояний равны, то мы получим, что выражение ~АВ ~ АВ ~... ~ АВ, в котором участвует 45 слагаемых, равно нулю. Но это невозможно.
27. Ясно, что комбинация из девяти единиц раньше, чем девять нулей, получиться не может. Если же получилось девять нулей, то на предыдущем ходу нули и единицы должны были чередоваться, что невозможно, так как их всего нечетное количество.
28. Проведем наше доказательство от противного. Занумеруем всех сидящих за столом по порядку, начиная с какого-то места. Если на k-м месте сидит мальчик, то ясно, что на (k√2)-м и на (k+2)-м местах сидят девочки. Но поскольку мальчиков и девочек поровну, то и для любой девочки, сидящей на n-м месте, верно, что на (n√2)-м и на (n+2)-м местах сидят мальчики. Если мы теперь рассмотрим только тех 25 человек, которые сидят на "четных" местах, то получим, что среди них мальчики и девочки чередуются, если обходить стол в каком-то направлении. Но 25 √ нечетное число.
29. Ясно, что количество а участков, на которых улитка ползла вверх или вниз, равно количеству участков, на которых она ползла вправо или влево. Осталось только заметить, что а √ четно.
30. Ответ: нет, не могут. Обозначим кузнечиков А, В и С. Назовем расстановки кузнечиков АВС, ВСА и САВ (слева направо) √ правильными, а АСВ, ВАС и СВА √ неправильными. Легко видеть, что при любом прыжке тип расстановки меняется.
31. Нужно отложить данную монету в сторону, а затем разделить остальные 100 монет на две кучки по 50 монет, и сравнить веса этих кучек. Если они отличаются на четное число грамм, то интересующая нас монета настоящая. Если же разность весов нечетна, то монета фальшивая.
32. Ответ: нет, нельзя. В противном случае все цифры в ряду стояли бы на местах одной и той же четности.
Чётность(Внешкольные задачи)
Чет √ нечет
1. Сумма двух целых чисел нечетка. Четно или нечетно их произведение?
2. Сумма трех целых чисел четна. Четно или нечетно их произведение?
3. а) Может ли число, составленное из одних четверок, делиться на число, составленное из одних троек? б) А наоборот?
Чередование
4. Учитель написал на листке бумаги число 20. Тридцать три школьника передают листок друг другу, и каждый прибавляет к числу или отнимает от него единицу √ как хочет. Может ли получиться в результате число 10?
5. Может ли шахматный конь выйти с левого нижнего углового поля, обойти всю доску и, побывав на каждом поле по одному разу, оказаться на правом верхнем угловом поле?
6. Можно ли положить на шахматную доску 31 костяшку домино так, чтобы каждая костяшка закрыла два поля и чтобы остались свободными два противоположных угловых поля:
7. Парламент Огогендии образовал столько комиссий, что даже премьер-министр точно не знал, сколько их. К тому же каждый день парламент либо вводил в одну из комиссий одного нового члена, либо исключал одного члена из какой-либо комиссии. Однако ровно через год численность всех комиссий стала прежней. Докажите, что год был високосный.
Ответы
1. Если сумма двух чисел нечетка, то одно из них нечетно, а другое √ четно. Значит, их произведение четно.
2. Если сумма целых чисел четна, то среди них четное число нечетных чисел. Но так как всего чисел три, то среди них есть и четные числа. Значит, произведение четно.
3. а) да, например, 444 делится на 3, а 444 444 делится на 33;
б) нет, потому что нечетное число не может делиться на четное.
4. Нет, может получиться только нечетное число.
5. Нет, шахматный конь при каждом ходе меняет цвет поля, значит, 64-е поле его маршрута не может иметь тот же цвет, что 1-е.
6. Каждая костяшка домино покрывает черное и белое поля. Поэтому 31 костяшка покроет 31 белое и 31 черное поле, а в нашей области 32 белых поля и 30 черных полей.
7. Численность каждой комиссии претерпела четное число изменений. Значит, и общее число изменений, т. е. число дней, было четным.
Идеи и методы решения задач
Четность (Канель)
Многие задачи легко решаются, если заметить, что некоторая величина имеет определенную четность. Из этого следует, что ситуации, в которых эта величина имеет другую четность, невозможны. Иногда эту величину (функцию) надо сконструировать, например, рассмотреть четность суммы или произведения, разбить объекты на пары, заметить чередование состояний, раскрасить объекты в 2 цвета. Четность в играх √ это возможность сохранить четность некоторой величины при своем ходе (см. темы ╓Инварианты╞, ╓Делимость╞, ╓Игры╞).
Пример 1. Кузнечик прыгал вдоль прямой и вернулся в исходную точку (длина прыжка 1 м). Докажите, что он сделал четное число прыжков.
Решение. Поскольку кузнечик вернулся в исходную точку, количество прыжков вправо равно количеству прыжков влево, поэтому общее количество прыжков четно.
Пример 2. Существует ли замкнутая 7-звенная ломаная, которая пересекает каждое свое звено ровно 1 раз?
Решение. Допустим, что существует. Тогда пересекающиеся звенья образуют пары. Следовательно, количество звеньев должно быть четным. Противоречие.
Пример 3. У марсиан бывает произвольное число рук. Однажды все марсиане взялись за руки так, что свободных рук не осталось. Докажите, что число марсиан, у которых нечетное число рук, четно.
Решение. Назовем марсиан с четным числом рук четными, а с нечетным √ нечетными. Поскольку руки образуют пары, то общее число рук четко. Общее число рук у четных марсиан четно, поэтому общее число рук у нечетных марсиан тоже четно. Следовательно, число нечетных марсиан четно.
1. Можно ли разменять 25 рублей десятью купюрами достоинством 1, 3 и 5 рублей?
2. Девять шестеренок зацеплены по кругу: первая со второй, вторая с третьей и т.д., девятая с первой. Могут ли они вращаться? А если шестеренок n?
3. 100 фишек поставлены в ряд. Разрешается менять местами любые две фишки, стоящие через одну. Можно ли таким способом переставить фишки в обратном порядке?
4. Даны 6 чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Разрешается к любым двум из них прибавлять 1. Можно ли все числа сделать равными?
5. Все кости домино выложили в цепочку по правилам игры. На одном конце оказалась пятерка. Что может оказаться на другом конце?
6. Может ли прямая, не проходящая через вершины 11-угольника, пересекать все его стороны?
7. На столе стоят 7 перевернутых стаканов. Разрешается одновременно переворачивать любые два стакана. Можно ли добиться того, чтобы все стаканы стояли правильно?
8. В языке дикарей хотийцев всего два звука: ╓ы╞ и ╓у╞. Два слова означают одно и то же, если одно получается из другого при помощи некоторого числа следующих операций: пропуска идущих подряд звуков ╓ыу╞ или еууыы╞ и добавления в любом месте звуков ╓уы╞. Означают ли одно и то же слова еуыу╞ и ╓ыуы╞ ?
9. На доске написаны числа 1, 2,..., 101. Разрешается стереть любые два числа и написать их разность. Повторив эту операцию 100 раз, мы получим одно число. Докажите, что это число не может быть нулем.
10. Улитка ползет по плоскости с постоянной скоростью и каждые 15 минут поворачивает на 90'. Докажите, что она может вернуться в исходную точку только через целое число часов.
11. В трех вершинах квадрата сидели кузнечики. Они стали играть в чехарду: один из кузнечиков прыгает в точку, симметричную относительно другого. Сможет ли хоть один кузнечик попасть в четвертую вершину квадрата?
| Предыдущее занятие | | В начало | | Следующее занятие |
|---|