Четыре занятия.
С точки зрения практики, любой узел можно развязать, если очень постараться. Впрочем, иногда это бывает очень тяжело. Зато некоторые узлы развязываются сами собой, когда этого от них меньше всего ждут.
По поводу теории: если один конец веревки, выходящей из узла, намертво приварить к другому, то узел может и не развязаться. Например, трилистник, никак не развяжешь. Строго доказать это не так просто.
Более общий вопрос звучит следующим образом: даны два узла (со сваренными
концами); можно ли из одного сделать другой? Я докажу следующий знаменитый
результат: из трилистника нельзя сделать зеркально симметричный трилистник
(правый и левый трилистники изображены на рисунке).
После этого я надеюсь рассказать про замечательный подход к построению инвариантов узлов -- про инварианты Васильева.
Первая часть будет понятна школьникам. Вторая часть потребует некоторого знания линейной алгебры.