На главную страницу ЛШСМ-2003

Аркадий Борисович Скопенков

Введение в топологию двух- и трехмерных многообразий

Продолжительность: 5 занятий

Будут приведены примеры двумерных и трехмерных многообразий и способов работы с ними. Будут продемонстрирована естественность и эффективность применения алгебраических методов. Изложение построено вокруг проблем реализуемости графов на поверхностях и двумерных полиэдров (т.е. гиперграфов) в трехмерных многообразиях. Предварительные сведения не нужны; желательно наличие пространственного воображения и знакомства с графами.

Примерная программа (с запасом)

1. Вложимость графов в плоскость и поверхности. Форма пересечений поверхности и алгоритм распознавания рода графа.
2. Двумерные полиэдры (гиперграфы). Цилиндр и конус над графом. Декартово произведение графов.
3. Вложимость двумерных полиэдров в трехмерное пространство.
4. Примеры трехмерных многообразий: прямые и косые произведения двумерных многообразий и окружности (или отрезка).
5. Вложимость двумерных полиэдров в трехмерные многообразия. Когомологии графов. Специальные полиэдры и когомологическое препятствие Матвеева к их вложимости в трехмерные многообразия.
6. Общее положение и теорема вложимости двумерных полиэдров в пятимерное пространство. Теорема Борсука-Улама и пример двумерного полиэдра, не вложимого в четырехмерное пространство.