Г.А.Гальперин

Григорий Александрович Гальперин планирует провести 4-5 занятий.

Математика биллиардов

Аннотация

Биллиард — это такая динамическая система, в которой одна (биллиардная) точка движется равномерно и прямолинейно в области до тех пор, пока не столкнется с краем области: тогда точка упруго отразится от края и продолжит свое равномерное и прямолинейное движение до следующего столкновения. Область движения биллиардной точки называется биллиардным столом. На занятиях мы обсудим геометрические, арифметические и физические следствия этого простейшего закона для различных биллиардных столов. В основном, кроме первого занятия, мы будем заниматься биллиардами на многоугольных столах и физическими задачами, сводящимися к биллиардам в многоугольниках.

Занятие 1. Три типа биллиардов: биллиарды Биркгофа, Синая+ (Синая-Бунимовича), многоугольные биллиарды. Конфигурационное и фазовое пространства, теорема Пуанкаре о возвращении. Периодические и всюду плотные биллиардные траектории. Задачи о шарах (задачи Синая), об освещении и из теории чисел.

Занятие 2. Биллиард в прямоугольнике и тор. Биллиард в угле и динамическая система для числа "пи" (Гальперин). Упругие столкновения частиц на прямой и полупрямой. "Малая" задача Синая (биллиард в многогранном угле) и ее сведение к биллиарду на сфере.

Занятие 3. Биллиарды в рациональных многоугольниках. Теория Катка-Землякова о рациональных многоугольниках и обмотках кренделей.

Занятие 4. Биллиарды в треугольниках. Устойчивые и неустойчивые периодические траектории. Перпендикулярные траектории (Стёпин). Бифуркационная диаграмма периодических траекторий в треугольниках (Гальперин [Г]). Периодические орбиты в прямоугольных треугольниках (Cipra+Hanson+Kolan [CHK]) и их устойчивость (Гальперин+Д.Звонкин). Замыкание непериодической орбиты содержит вершину многоугольника (Бошерницан+Гальперин+Крюгер+Трубецкой).

Занятие 5. Биллиарды с лузами и периодические траектории в них. Конечность числа типов периодических траекторий в таких биллиардах (Гальперин + Делман +Трубецкой [ГДТ]). "Плохая" (неустойчивая) оценка сверху числа этих типов в рациональных многоугольниках [ГДТ]. "Хорошая" (устойчивая и асимптотически точная) оценка сверху числа этих типов в _произвольном_ многоугольнике [ГД].