Алексей Львович Городенцев

А.Л.Городенцев планирует провести 4-5 занятий.

Программа курса

Геометрическое введение в некоммутативную математику

категории и функторы; малые категории = = (некоммутативные) алгебры (без 1) = = (бесконечные) финитные матрицы (с некоммутирующими элементами); предпучки на малых категориях (частично упорядоченные множества и топологии versus триангуляции и симплициальные комплексы); категории Δ и Δ^opp;
задание предпучков "образующими и соотношениями": свободные модули над категорией = представимые функторы; лемма Ионеды, (ко)пределы и "определения при помощи универсальных свойств"; примеры вычислений пределов (пределы в категории множеств, p-адические числа, Q/Z и т. п.);
слой предпучка; всякий функтор является пределом представимых; примеры слоёв: нерв частично упорядоченного множества (или категории), триангуляции произведений, локализация коммутативных колец и т. п.;
пучки и топологии; пучковизация; топологии Гротендика; прямые и обратные образы; нерв как слой пучка локально постоянных функторов из отрезка ("случайных процессов")
когомологии симплициальных комплексов = когомологии пучков; точные категории, гомотопические группы и К-теория.

Основная идея курса — вбросить мысль, что правильная "некоммутативная алгебра" — это теория категорий, причём базисной интуитивной моделью категории должно быть не нечто трудновообразимое (вроде "категории алгебр" или "категории топологических пространств") — а малые категории (скажем, какое-нибудь любимое частично упорядоченное множество (например, множество T открытых подмножеств топологического пространства) или категория Δ конечных упорядоченных множеств и монотонных отображений); ключевым объектом тут, как всегда в алгебре, являются "модули" — нечто заданное образующими и соотношениями, на чём "алгебра" действует — это функторы, или предпучки (в интуиции примера T — это сечения "локальных систем" над частично упорядоченным множеством (например, сечения расслоений над топологическим пространством), а в интуиции примера Δ — это "триангулированные пространства" (симплициальные комплексы). Пучки — это объекты, возникающие в результате пополнения категории предпучков; тут обычный ШКОЛЬНЫЙ переход к пределу — надо его только правильно понять, чтобы p-адические числа, локализации коммутативных алгебр, измельчения триангуляций, фильтрации симплициальных комплексов остовами — описывались одними и теми же словами; вот такая, стало быть, у нас философия. Предполагается много задач (начиная от первообразной от 1/x и кончая разной комбинаторикой вокруг симплициальных комплексов).