Гаянэ Юрьевна Панина

Алгебра многогранников

Г.Ю.Панина планирует провести 4 занятия.

Выпуклые многогранники можно складывать по Минковскому. А если научиться интегрировать по эйлеровой характеристике, то станет можно их вычитать по Минковскому. При этом многогранники выворачиваются наизнанку, становятся отрицательными, принимают причудливые формы, и появляются красивые картинки. Кроме того, мы организуем многогранники в градуированную алгебру (это и есть алгебра многогранников) — замечательный объект, придуманный недавно и проясняющий многое в геометрии многогранников (и не только).

От слушателей не требуется предварительных знаний, однако неплохо иметь представление о том, что такое коммутативная группа и эйлерова характеристика.

Программа курса

Выпуклые многогранники (мы ограничимся двух- и трехмерными): грани, опорная функция, веер, сумма Минковского. Что происходит с опорными функциями и веерами при сложении по Минковскому.
Эйлерова характеристика (напомним вкратце, что это такое и простые примеры, когда она бывает нужна: классификация двумерных поверхностей, причесывание ежиков,...), интегрирование по эйлеровой характеристике (интеграл по эйлеровой характеристике проще, чем интеграл Лебега), свертка по эйлеровой характеристике.
Вычитание по Минковскому. Много примеров. Группа виртуальных многогранников. Красивые веера виртуальных многогранников. Рисунки на резиновых мячах. Сферический "Инь и Янь".
Алгебры и градуированные алгебры: определение и простые примеры. Многогранные функции (= выпуклые цепи в терминологии А. Хованского). Алгебра многогранников.
Логарифм и экспонента от многогранников (это совсем не те логарифмы, которыми мучают абитуриентов. Это общий алгебраический прием.) Градуированные компоненты алгебры многогранников: препарируем многогранники — отдельно ребра, отдельно грани...
Зачем все это было нужно? Задача равносоставленности для группы параллельных переносов (классическая вариация на тему третьей проблемы Гильберта). Инварианты Хадвигера.
К чему это привело? Задача об f-векторе.