М.Сапыкина и Кр. Бьерклев планируют провести 2 занятия.
Курс посвящен изучению квадратичного отображения f(x)=ax(1-x), определенного на отрезке [0,1]. В качестве мотивировки рассмотрим такую (действительно используемую в биологии) модель роста популяции: если x — это число особей в популяции в некотором году, то на следующий год их число станет равно —f(x)=ax(1-x). Постоянная a здесь определяется данной биологической системой. Допустим, мы хотим сделать долговременный прогноз числа особей согласно этой модели. Тогда для данного x0 в год 0 мы будем изучать последовательность x1=f(x0), x2=f(x1)=f(f(x0)), x3=f(x2)=f(f(f(x0))), и так далее. Здесь xn — это число особей в год~ n.
Нас интересует поведение xn для больших n. Стабилизируется ли последовательность xn? Как сильно изменится значение xn для большого n, если чуть-чуть изменить x0? Оказывается, ответы на эти вопросы очень чувствительны к малейшим изменениям параметра&nbs;a: для одного значения a поведение последовательности xn может быть "регулярным", а для сколь угодно близкого~ — хаотическим . В ходе курса мы формализуем эти понятия, расскажем о некоторых методах их изучения, приведем примеры. Мы также обсудим важнейшие результаты о квадратичном отображении, многие из которых были получены лишь в последние годы.
