В.В.Успенский планирует провести 3-4 занятия.
Для нечетного m пусть
Sm=Σx=1m cos(2π/m)x2,если m имеет вид 4k+1, и
Sm=Σx=1m sin(2π/m)x2,если m=4k+3. Тогда (Sm)2=m. Эту формулу нашел Гаусс, он использовал ee в одном из своих доказательств квадратичного закона взаимности. Лишь через несколько лет он сумел доказать, что сумма Sm всегда положительна, так что Sm рано квадратному корню из m. Гаусс записал в дневнике, что его озарение было подобно "вспышке молнии". Позднее многие известные математики предложили свои доказательства. Одно из самых элегантных принадлежит Дирихле, оно использует ряды Фурье.
Курс рассчитан на 3-4 занятия. Предполагается знакомство с понятием сравнения по модулю. Полезно (но необязательно) иметь представление о малой теореме Ферма и о квадратичных вычетах по простому модулю. Знакомства с рядами Фурье не предполагается, необходимые сведения будут сообщены.
