На главную страницу ЛШСМ-2006

Вадим Олегович Бугаенко

Поле алгебраических чисел и кольцо целых алгебраических чисел

В.О.Бугаенко планирует провести 1-2 занятия.

Задача. Существует ли ненулевой многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого является число

a) $\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5+\sqrt7$

б) $\sqrt2+\sqrt[3]3$?

Если Вы умеете решать эту задачу, то скорее всего, большая часть содержания представляемых занятий Вам знакома.

На занятиях мы решим более общую задачу (впрочем, решить исходную задачу, не применив метода, который годится и в общем случае, вряд ли возможно).

Определения:

1. Корень ненулевого многочлена с целыми коэффициентами называется алгебраическим числом.
2. Корень ненулевого многочлена с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом единица называется целым алгебраическим числом.

Основные результаты:

1. Сумма, произведение и частное алгебраических чисел являются алгебраическими числами.
2. Сумма и произведение целых алгебраических чисел являются целыми алгебраическими числами.

Планируется провести 2 занятия. На первом из них мы не будем выходить за рамки матшкольной программы. Желательно быть знакомым с основами теории систем линейных уравнений (нам понадобится лишь факт, что однородная система линейных уравнений, в которой неизвестных больше, чем уравнений, всегда имеет нетривиальное решение). Мы докажем замкнутость множества алгебраических чисел относительно арифметических операций.

Когда же (на втором занятии) дело дойдёт до случая целых алгебраических чисел, то для понимания потребуется знание основ линейной алгебры (первого курса мехмата заведомо достаточно).