М.З.Ровинский планирует провести 2 занятия.
Я надеюсь объяснить, как вычислять сумму значений произвольной рациональной функции во всех целых точках, в которых она определена (и какую сумму следует этому ряду приписывать, если он расходится).
Мы воспользуемся методом, которым изучается гамма-функция в книжке Э.Артина "Введение в теорию гамма-функции" (М.-Л.: ГТТИ, 1934).
Как следствие окажется, что сумма ряда $1+\frac{(-1)^m}{3^m}+ \frac{1}{5^m}+\frac{(-1)^m}{7^m}+\frac{1}{9^m}+\dots $ для целых $m\ge 1$ совпадает с $\pi^m$ с точностью до рационального множителя.
Этот рациональный множитель, связанный с числами Бернулли, имеет глубокий арифметический смысл.
Мы ограничимся изучением p-адических свойств чисел Бернулли Bm как функции от m, их различными определениями, и построим $p$-адические аналоги дзета-функции Римана $\zeta(s)=1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+ \frac{1}{4^s}+\dots$.
Для понимания происходящего желательно иметь представление об основных понятиях анализа (пределах и рядах) и арифметики (китайской теореме, цикличности $({\mathbb Z}/p^N{\mathbb Z})^{\times}$ при простом $p>2$...).
