На главную страницу ЛШСМ-2007

Владимир Викторович Доценко

Арифметика квадратичных форм

К 300-летию Леонарда Эйлера

В курсе, ориентированном на старшеклассников и первокурсников, планируется обсудить различные теоремы о представимости чисел в виде значений квадратичных форм (например, можно ли представить 3 в виде 5x²-7y² с рациональными x и y? с целыми x и y?).

Стилистика занятий смешанная, планируется 1–2 лекции и 2–3 семинара (в сумме 4 занятия).

Желательные предварительные сведения: базовые знания по арифметике (вплоть до квадратичных вычетов/невычетов).

1. Теорема Ферма–Эйлера о двух квадратах: классические доказательства, доказательство Д. Цагира.
2. Теоремы о трёх и четырёх квадратах.
3. Теорема Лежандра.
4. p-адические числа (простейшие свойства).
5. Символ Гильберта. Теорема Минковского–Хассе: идеи доказательства.
6. Применения.