А.Я.Канель-Белов планирует провести 3–4 занятия.
Пусть F: Cn→ Cn — полиномиальное отображение комплексного пространства в себя. Когда оно обратимо? Необходимым условием является локальная обратимость в каждой точке. Знаменитая проблема Якобиана утверждает, что это условие является достаточным. В течение более чем 20 лет, вплоть до 1968 года, проблема Якобиана считалась решённой для n=2, с тех пор каждые несколько месяцев появляются новые «доказательства».
С проблемой Якобиана тесно связана гипотеза Диксмье, формулировка которой для n=1 выглядит невинно: пусть P, Q — многочлены от x и (d/dx), причём PQ– QP=1. Верно ли, что (d/dx) можно выразить через P и Q. Это утверждение до сих пор не доказано. Другое, близкое, утверждение именуется теоремой Абьенкара–Моха и выглядит как олимпиадная задача (каковой и является). Пусть P, Q, R — многочлены, причём R(P(x),Q(x))=x. Доказать, что либо степень P делит степень Q, либо наоборот. Получившему самостоятельное доказательство этой теоремы обещается вкусный приз.
В отличие от занятий 2006 года основное внимание будет уделено не столько самой проблеме Якобиана, сколько связанным с ней задачам.
