А.А.Разборов планирует провести два занятия.
Пусть N — множество натуральных чисел, E — чётных, P — простых, а S — множество всех квадратов натуральных чисел. Знаменитую теорему Лагранжа можно компактно сформулировать как равенство S+S+S+S=N, а не менее знаменитую гипотезу Гольдбаха — как P+P⊇ E.
Изучением поведения подмножеств целых чисел (а также более сложных алгебраических структур) относительно имеющихся операций занимается (в тесном сотрудничестве с традиционной теорией чисел) арифметическая комбинаторика. Приведённые выше задачи — «прямые»: в них множество A известно, и требуется что-то доказать про более сложные образования типа A+A. Нас же будут интересовать «обратные» задачи, которые (довольно неожиданно!) оказываются не менее сложными и интересными. Пусть, скажем, множество A конечно, и всё, что про него известно — это то, что |A+A| «намного меньше», чем |A|2. Что можно сказать про строение A? Уже этот кажущийся простым вопрос весьма далёк от окончательного решения, и мы поговорим про задачи такого рода, а также про красивую и богатую теорию, построенную в попытках научиться их решать. Стоит отметить, что эти вещи в последнее время нашли довольно неожиданные применения в довольно далёких областях таких, как, скажем, гармонический анализ и Theoretical Computer Science.
