Мы сейчас знаем о строении Вселенной примерно столько же, сколько древние люди знали о поверхности Земли. Точнее, мы знаем, что небольшая часть Вселенной, доступная нашим наблюдениям, устроена так же, как небольшая часть трёхмерного евклидова пространства. Иначе говоря, мы живём на трёхмерном многообразии (3-многообразии).
Кругосветным путешествиям и построениям полных атласов может предшествовать априорная классификация маломерных многообразий — вопрос о том, где мы «на самом деле» живём заменяется на вопрос где мы могли бы жить? Эта классификация (требующая некоторых естественных ограничений на многообразия) тривиальна в размерности 1, допускает красивый полный ответ в размерности 2, полученный в XIX веке, и составляет исключительно трудную проблему в размерности 3. В этой проблеме совсем недавно достигнуты замечательные результаты, обзор которых и составляет цель курса.
Г.Б.Шабат предполагает провести 4 занятия. В основном они будут происходить в лекционной форме, но будут сопровождаться коллективным обсуждением как можно более подробных описаний возможных Вселенных.
Примерная программа:
1. О глобальной топологии Земли и Вселенной; локальные и глобальные координаты. Карты и атласы. Компактность как конечность атласов; ориентируемость (не окажется ли сердце кругосветного путешественника справа?). Задача классификации маломерных компактных ориентируемых многообразий.
Примеры 3-многообразий. Пять интерпретаций трёхмерной сферы. О жизни в 3-мерном торе (по Терстону). Эрлангенская программе Клейна, другие однородные многообразия. Плоскость Лобачевского и её многомерные версии.
2. О топологии и римановой геометрии. Кривизна и сумма углов треугольника. Теорема egregium и земные карты, сохранение углов и площадей (путешественники и налоговики). Геодезические и кругосветные путешествия, немного о трёхосном эллипсоиде. Формула Гаусса-Бонне.
Об истории 5-го постулата, эксперименты Гаусса. Кривизна Вселенной; отступление об общей теории относительности. Немного о Большом взрыве.
Фундаментальная группа. Её некоммутативность как признак отрицательной кривизны. Алгоритмическая неразрешимость проблемы слов. Реализуемость конечнопредставленных групп как фундаментальных групп 4-многообразий и 3-многообразий. Приложение к алгоритмической разрешимости проблем классификации маломерных многообразий.
3. Грубая классификация 3-многообразий. Аналоги в соседних размерностях, отступление об алгебраических поверхностях.
Гомологические и гомотопические трёхмерные сферы. Гипотеза Пуанкаре и её современное состояние. О потоках Риччи и результатах Перельмана.
Разложение многообразий в связные суммы. Асферические и аторические 3-многообразия. Геометрическая гипотеза Терстона и её современное состояние.
4. Гиперболические поверхности и их площади. Гиперболические 3-многообразия и их объёмы. Примеры, результаты, гипотезы и открытые вопросы.
