Рассмотрим разложение натурального числа в сумму невозрастающих натуральных слагаемых, например 14 = 4+4+4+2. Такому разложению сопоставляется его диаграмма Юнга:

Рассмотрим всевозможные диаграммы Юнга. Проведем ребро из диаграммы A в диаграмму B, если B можно получить из A добавлением одной клетки. Получаемый бесконечный ориентированный граф называется графом Юнга:

В первой части курса мы дадим явную формулу для числа путей, соединяющих две заданные вершины в графе Юнга.

Во второй части курса мы будем изучать положительные гармонические функции на графе Юнга. Положительная функция на вершинах ориентированного графа называется гармонической, если ее значение в каждой вершине равно сумме значений в вершинах, в которые из нее выходит ребро. Задача описания таких функций называется задачей нахождения границы Мартина графа. Во второй части курса мы и найдем границу Мартина графа Юнга.

Для понимания первой части не нужно ничего, кроме умения перемножать многочлены. Во второй части потребуется не вполне элементарная техника, однако все формулировки будут доступны школьникам, а все доказательства — первокурсникам.