В недавно вышедшем сборнике (М.Айглер, Г.Циглер «Доказательства из Книги», Москва, Мир, 2006) в главе 4 приведено очень красивое доказательство того, что каждое простое число вида 4n+1 есть сумма двух квадратов, предложенное английским математиком Хис-Брауном в 1984 г. Из личного разговора с ним лектор (В.А. Быковский) узнал, что он опирался на метод доказательства арифметических тождеств, разработанный в 20-х годах прошлого века российским математиком, академиком Я.В. Успенским. Он совершенно элементарный и для его понимания достаточно обычной школьной математики.

В курсе будет подробно изложен метод Я.В. Успенского и его применения. В частности, будет доказана теорема Якоби о том, что количество представлений натурального d суммой двух квадратов целых чисел равно учетверенной разности между количеством делителей d вида 4k+1 и 4k+3.