Я собираюсь поговорить об одном сюжете, находящемся на стыке математики и физики. Это — решёточные модели, и применяющийся для их исследования комплексный анализ.

Тема эта невообразимо богатая; если взять за начало отсчёта модель Изинга — модель намагничивания материала, — то её плоский случай оказывается связан с задачей о разбиениях на домино (или, что то же самое, задачей о паросочетаниях). Эта задача, как выясняется (и о чём можно прочитать, например, здесь и здесь), решаема для плоских графов в терминах определителей и пфаффианов; для неплоских же возникает суммирование по их различным вложениям в сферу с g ручками. С другой стороны, графы, вложенные в поверхности рода g возникают и в задачах подсчёта некоторых гауссовых интегралов (о чём будет рассказывать Д.Звонкин), и, кажется, эти задачи связаны через предельный переход и теорию поля.

Ветка, идущая от этой задачи в другую сторону — исследование форм границ кластеров, нахождение вероятности пробоя, и связанные с ней двумерные задачи. Она выходит на теорию вероятностей и теорию случайных процессов, оказываясь связанной с комплексным анализом и конформными отображениями. И на этом участке происходит тот, начавшийся лет десять назад, прорыв, о котором я рассказывал в прошлом году — эволюция Шрама-Лёвнера: описание случайных кривых ответа через конформную параметризацию и броуновское движение.

Оказывается, для доказательства этого ответа приходится придумывать, что же такое комплексный анализ для функций, определённых на решётке — то, чему была посвящена прошлогодняя лекция С.П. Новикова. И именно об этом мы и будем говорить.

Оказывается, для доказательства этого ответа приходится придумывать, что же такое комплексный анализ для функций, определённых на решётке. И именно об этом мы и будем говорить.

Как и в прошлом году, от слушателей потребуется интуитивное (но не более) понимание теории вероятностей, и минимальное знакомство с комплексными числами. Хотя курс и будет слегка пересекаться с прошлогодним, это пересечение будет не очень большим, так что, надеюсь, он будет интересен всем!

Лекция 1. Модель Изинга намагничивания, распределение Гиббса и температура. Задача о вероятности пробоя, петлевая FK-модель, задача о форме границы. Принцип конформной инвариантности как ключ к нахождению ответов, экскурс в комплексный анализ: голоморфные (т.е. комплексно-дифференцируемые) и гармонические функции, их свойства, связь конформности (сохранения углов) и комплексной дифференцируемости.

Лекция 2. Дискретно-гармонические и дискретно-голоморфные функции на треугольной и квадратной решётках. Дискретный аналог комплексного анализа: бесконечная дифференцируемость дискретно- голоморфных функций, дискретная интегральная теорема Коши.

Лекция 3. Нахождение дискретно-гармонической наблюдаемой в задаче о пробое. Нахождение дискретно-голоморфной ("фермионной") наблюдаемой в задаче о форме границы на квадратной решётке при критической температуре.

Лекция 4. Использование наблюдаемых для нахождения ответов: формулы Карди для вероятности пробоя на треугольной решётке, SLE как формы границы. Открытые вопросы.

Кроме того, часть интересных вещей я собираюсь разбить на серию простых задач и вынести в листочки. Так, слушатели смогут сами полностью решить одномерную модель Изинга и убедиться, что в ней намагничивание невозможно (а, соответственно, фазовые переходы отсутствуют), и доказать, что в двумерной модели Изинга при достаточно низкой температуре намагничивание есть. Несколько простых задач будут сопровождать новые понятия курса (дискретную и обычную комплексную дифференцируемость, связь голоморфности и гармоничности); мы сделаем также экскурс в теорию вероятностей, "подготовив почву" для последней лекции курса.